精品解析：广东肇庆市端州中学2025-2026学年第二学期高一数学期中检测试题

2025-2026学年第二学期高一级数学科期中检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. －2 C. D. 4 2. 已知和都是单位向量，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 3. 两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ） A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线 4. 在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（ ） A. B. 8 C. D. 32 7. 如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 10. 已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. (多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是（ ） A. MN∥平面APC B. C1Q∥平面APC C. A，P，M三点共线 D. 平面MNQ∥平面APC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 中，，，，则______． 13. 已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 14. 如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）当z为纯虚数时，求m的值； （2）当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： （1）点对应的复数； （2）三角形的面积. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）若的面积，求b，c的值. 18. 如图在四棱锥中，，分别是的中点，． （1）求证：平面； （2）若点F在棱上且满足，平面，求的值． 19. 在锐角中，内角的对边分别是，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一级数学科期中检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. －2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值． 【详解】解：由是纯虚数，得，解得． 故选：A. 2. 已知和都是单位向量，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据向量的三角不等式进行求解即可． 【详解】根据向量的三角不等式得. 故选：C． 3. 两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ） A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线 【答案】D 【解析】 【分析】设直线与直线分别与两条直线与直线相交于点，讨论点与点的位置关系即可求解. 【详解】已知直线与是异面直线，直线与直线分别与两条直线与直线相交于点， 根据题意可得当点与点重合时，两条直线相交，当点与点不重合时，两条直线异面， 所以直线的位置关系是异面或相交. 故选:D． 4. 在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数与向量坐标关系及向量减法求对应点，即可得对应复数. 【详解】由题设，则， 所以向量对应的复数为. 故选：D 5. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 6. 已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（ ） A. B. 8 C. D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出正四棱锥，借助于求得斜高长，即可计算侧面积. 【详解】 如图，是四棱锥的高，于点，连接，则， 因正方形的边长为4，则， ， 故正四棱锥的侧面积为. 故选：D. 7. 如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 8. 位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图， 当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的性质和运算法则求出复数，进而利用共轭复数的定义，复数的模的计算公式，复平面坐标及几何意义分析判断选项． 【详解】， ， ，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确； 复数满足， 复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， ，故的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，再利用向量的模的计算公式分析判断选项A、B，利用向量垂直时数量积为0判断选项C，利用投影向量公式分析判断选项D． 【详解】向量，的夹角为 ，且，， ， 选项A：，， ，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：， ，故C正确； 选项D：向量在向量上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 11. (多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是（ ） A. MN∥平面APC B. C1Q∥平面APC C. A，P，M三点共线 D. 平面MNQ∥平面APC 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，根据线面平行的判定可判断；对于B，由A知AN∥C1Q，根据线面平行的判定可判断；对于C，由A知，A，P，M三点共线；对于D，由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，由此可判断. 【详解】如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN,设AM，CN交于点I， 由可得AM，CN交于点P，则平面APC，所以A选项错误； 对于B，由A知M，N在平面APC内，由题知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC， C1Q平面APC，所以C1Q∥平面APC，所以B选项正确． 对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确． 对于D，由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以D选项错误． 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 中，，，，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】设，在中，根据余弦定理：  ， 代入已知条件得  . 整理得 ，解得（为负，舍去），因此. 13. 已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 14. 如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据内切球特征及球的截面的特征可确定所求截面即为等边的内切圆，由此可求得截面面积. 【详解】是边长为的等边三角形， 球与平面、、分别相切于的各边的中点， 平面截球所得的截面为的内切圆， 的内切圆半径， 则所求的截面圆的面积是． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）当z为纯虚数时，求m的值； （2）当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数实部为0、虚部不为0的定义列不等式组求解； （2）先计算时的值，代入实系数方程后利用复数相等的充要条件列方程组求解. 【小问1详解】 复数 ，其中实部为 ，虚部为 ， 由纯虚数的定义得：   ，解得. 【小问2详解】 当时，  ， z是关于x的方程的一个根，得：   ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程 得 . 16. 已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： （1）点对应的复数； （2）三角形的面积. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）设点坐标，计算可得，根据，借助于坐标运算可得结果； （2）由向量的夹角公式可求出，进而求出，由三角形的面积公式计算可得结果. 【小问1详解】 设点坐标，对应复数. 由题意知，点坐标， ∴， ∵平行四边形中，， ∴,解得：，，∴点对应的复数为. 【小问2详解】 由题意可得：，， ， ∵，∴， ∴三角形面积. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）若的面积，求b，c的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由正弦定理得到； （2）结合（1）中的，利用三角形面积公式得到，由余弦定理求出. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 因为，即，解得， 由余弦定理得，所以， 综上，. 18. 如图在四棱锥中，，分别是的中点，． （1）求证：平面； （2）若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【小问1详解】 取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面 又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以. 19. 在锐角中，内角的对边分别是，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理的推论计算即可得； （2）借助正弦定理可将边化为角，再结合锐角三角形性质计算即可得. 【小问1详解】 因为，则， 则， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以，则， 由正弦定理，得， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $