精品解析：山西阳泉市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

阳泉市2025~2026学年度八年级第一学期期末教学质量监测试题 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将条形码粘贴在答题卡上规定位置，并认真核对条形码的信息与考生本人信息是否一致． 2．全部答案在答题卡上完成，严格按照答题卡填涂要求作答，在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本试题满分120分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 地铁是城市轨道交通的一种，2025年2月22日，太原地铁1号线正式开始运营，下面分别是我国北京、太原、重庆、深圳的地铁图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 经过两点有且只有一条直线 D. 垂线段最短 4. 若是分式，则不可以是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年阳泉市推进智慧校园建设，某学校采购的微型传感器尺寸约为米，这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④． 其中能使成立的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 为治理城市污水，需铺设一段全长500米的污水排放管道，由于情况有变，设原计划铺设管道米，列方程为，根据方程，可知省略的部分是（ ） A. 实际工作时每天铺设的管道比原计划降低了20%，结果延误3天完成了这一任务 B. 实际工作时每天铺设的管道比原计划降低了20%，结果提前3天完成了这一任务 C. 实际工作时每天铺设的管道比原计划提高了20%，结果延误3天完成了这一任务 D. 实际工作时每天铺设的管道比原计划提高了20%，结果提前3天完成了这一任务 8. 若，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 6 9. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，E在BC的延长线上，连接AE，∠E=2∠CAD，下列结论： ①AD⊥BC； ②∠E=∠BAC； ③CE=2CD； ④AE=BE． 其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_______． 12. 一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为_______． 13. 小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为_____． 14. 如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是______． 15. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中中选取一个合适的数代入求值． 18. 在三角形边长关系的探究课上，老师给超越实践小组的成员每人分发了一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．该实践小组有两位成员制作的三角形三条边的数据（单位：）如下： 超越实践小组成员 第一条边 第二条边 第三条边 欣欣 4 4 4 轩轩 a ________ （1）欣欣制作的三角形每个内角的度数为________． （2）试判断轩轩制作的三角形中a的值能否为3，并说明理由． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； （2）连接，求证：． 20. 科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 记者：你们是用10天完成4500米长的高架桥铺设任务的？ 工程师：是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍． （1）通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度． （2）请求出该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？ 21. 某小组利用延时课进行三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年10月28日 成员 组长：李刚 成员：梅小青 桑研 胡蕾 知识储备 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 问题解决 题干 如图，点D在上，点E在上，、相交于点P． 任务 （1）若，求的度数； （2）试猜想与之间的关系，并说明理由． 22. 阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” （1）按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； （2）请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； （3）在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 23. 问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知等边纸片中，点D，E分别是边上的点，连接，将沿折叠得到，连接与． 【初步探究】当折痕平行时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； （3）当是直角三角形时，若，求的长； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （4）当是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉市2025~2026学年度八年级第一学期期末教学质量监测试题 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将条形码粘贴在答题卡上规定位置，并认真核对条形码的信息与考生本人信息是否一致． 2．全部答案在答题卡上完成，严格按照答题卡填涂要求作答，在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本试题满分120分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 地铁是城市轨道交通的一种，2025年2月22日，太原地铁1号线正式开始运营，下面分别是我国北京、太原、重庆、深圳的地铁图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C、选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，完全平方公式和积的乘方，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 经过两点有且只有一条直线 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 4. 若是分式，则不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式． 根据分式的定义，分母必须含有字母，否则不是分式. 检查各选项，只有C选项不含字母. 【详解】解：选项A： 含字母 ， 选项B： 含字母 ， 选项C： 中 是常数，不含字母， 选项D： 含字母 ， A、B、D选项中代数式的分母中均含有字母，因此它们是分式，不符合题意， 选项C中代数式的分母中不含有字母，因此它不是分式，符合题意． 故选：C． 5. 2025年阳泉市推进智慧校园建设，某学校采购的微型传感器尺寸约为米，这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：． 6. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④． 其中能使成立的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， 添加①，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③，运用角边角判定； 添加④，运用角角边判定． 综上所述，可以使的有①③④，共3个， 故选：C． 7. 为治理城市污水，需铺设一段全长500米的污水排放管道，由于情况有变，设原计划铺设管道米，列方程为，根据方程，可知省略的部分是（ ） A. 实际工作时每天铺设的管道比原计划降低了20%，结果延误3天完成了这一任务 B. 实际工作时每天铺设的管道比原计划降低了20%，结果提前3天完成了这一任务 C. 实际工作时每天铺设的管道比原计划提高了20%，结果延误3天完成了这一任务 D. 实际工作时每天铺设的管道比原计划提高了20%，结果提前3天完成了这一任务 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，代数式的意义，根据方程的意义与方程中代数式意义判定即可． 【详解】解：∵原计划每天铺设管道米， ∴代表实际每天铺设管道比原计划降低了20%， ∵所列分式方程为， 为实际工作时间，为原计划工作时间， ∴实际时间比原计算长了三天， ∴省略的条件为：实际工作时每天铺设的管道比原计划降低了20%，结果延误3天完成了这一任务． 故选：A． 8. 若，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】完全平方公式的运用，，代入数值即可． 【详解】解：由，可得： 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式，并灵活运用是解题的关键． 9. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的性质，解二元一次方程组，求代数式的值；根据题意得求出m，n代入求值即可． 【详解】解：∵点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为， ∴解得， ∴， 故选B． 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，E在BC的延长线上，连接AE，∠E=2∠CAD，下列结论： ①AD⊥BC； ②∠E=∠BAC； ③CE=2CD； ④AE=BE． 其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】等腰三角形的性质，“三线合一”，顶角的平分线，底边的高和底边上的中线，三条线互相重合便可推得. 【详解】解：①∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC； ②∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAC=2∠CAD， ∵∠E=2∠CAD， ∴∠E=∠BAC； ③无法证明CE=2CD； ④∵在中，AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠ACB=∠E+∠CAE，∠E=∠BAC， ∴∠B=∠EAB， ∴AE=BE． 【点睛】掌握等腰三角形“三线合一”为本题的关键. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，得到答案． 【详解】解：． 12. 一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角板的性质得到，，然后利用角平分线的概念得到，，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵一副三角板如图方式摆放， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角板中角的运算，角平分线的概念，三角形内角和定理的运用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 13. 小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式除法运算．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， ∴被污染的代数式为， 故答案为：． 14. 如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，求出，由题意得：，推出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定与性质．作点Q关于的对称点，连接，则，则，可得当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，从而得到的最小值为的长，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为13． 故答案为：13 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，求一个数的立方根，零次幂，逐项计算即可求解； （2）根据整式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ＝ ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 由题意得：、2、0， 当时，原式． 18. 在三角形边长关系的探究课上，老师给超越实践小组的成员每人分发了一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．该实践小组有两位成员制作的三角形三条边的数据（单位：）如下： 超越实践小组成员 第一条边 第二条边 第三条边 欣欣 4 4 4 轩轩 a ________ （1）欣欣制作的三角形每个内角的度数为________． （2）试判断轩轩制作的三角形中a的值能否为3，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不能为3； 理由：欣欣制作的三角形塑料管的长度为， 当a的值为3时，第一条边为3，第二条边为， 则第三条边为， ∵， ∴3，2，7不能构成三角形， ∴轩轩制作的三角形a的值不能为3． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形三边关系，求不等式组的解集． （1）先判断欣欣制作的三角形是等边三角形，据此求解即可； （2）当a的值为3时，求得三边的长，利用三角形三边关系即可判断； 【小问1详解】 解：由题意得三边长都是4， 欣欣制作的三角形是等边三角形， 则每个内角的度数为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 解：所作图形如图： （2） 证明：由作图知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作线段、作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质． （1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于D，再分别以、D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线交于E，最后连接，即可． （2）先证明，得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 记者：你们是用10天完成4500米长的高架桥铺设任务的？ 工程师：是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍． （1）通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度． （2）请求出该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？ 【答案】（1）300米 （2）8天 【解析】 【分析】（1）设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米，根据用10天完成4500米长的高架桥铺设任务列分式方程并求解即可； （2）求出原计划所需天数，减去实际所用的天数即可得到提前完成任务的天数． 【小问1详解】 解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该建筑集团原来每天铺设高架桥300米； 【小问2详解】 解：， 答：该建筑集团提前8天完成铺设任务． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21. 某小组利用延时课进行三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年10月28日 成员 组长：李刚 成员：梅小青 桑研 胡蕾 知识储备 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 问题解决 题干 如图，点D在上，点E在上，、相交于点P． 任务 （1）若，求的度数； （2）试猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是灵活应用三角形外角的性质． （1）由三角形的外角性质可求得，再由三角形的外角性质即可求解； （2）由三角形的外角性质可得，，从而可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 22. 阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” （1）按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； （2）请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； （3）在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （）先提“” ，再用十字相乘的方法即可求解； （）根据十字相乘的方法把分成两个整数的积，再求这两个整数的和即可； 此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 【小问1详解】 解：二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后将与的值代入式子中即可得到， 故答案为： 【小问2详解】 解： ， ； 【小问3详解】 解：∵， ，，，，，， ∴可能为：，，． 23. 问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知等边纸片中，点D，E分别是边上的点，连接，将沿折叠得到，连接与． 【初步探究】当折痕平行时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； （3）当是直角三角形时，若，求的长； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （4）当是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】 （1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（1）知：， 同理可得，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）或2（4）或 【解析】 【分析】（1）由得出，从而得出，进而得出，从而得出，从而是等边三角形； （2）可证得，，从而得出； （3）分两种情形：当时，可得出，从而得出结果；当时，可得出，从而得出结果； （4）分三种情形：当时，；当时，；当时，． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：如图1， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴ 综上所述：或2； （4）解：如图， 当时，， 如图， 当时，， ∴ 如图， 当时，， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $