第六章 课时分层评价11 平面向量数量积的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价11　平面向量数量积的综合应用 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.已知向量a＝(1，3)，｜b｜＝，且a与b的夹角θ＝，则｜a－2b｜＝(　　) A. B.2 C. D.2 答案：C 解析：根据题意，向量a＝(1，3)，则｜a｜＝＝，则有(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝10＋4×5－4×××＝10，所以｜a－2b｜＝.故选C. 2.已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝，｜a－2b｜＝3，则a·b＝(　　) A.－2 B.2 C.－1 D.1 答案：D 解析：由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又｜a｜＝1，｜b｜＝，所以a·b＝1.故选D. 3.已知向量a＝(－2，－1)，b＝(1，2)，若a在b上的投影向量为c，则c·(a＋b)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：B 解析：因为a＝(－2，－1)，b＝(1，2)，所以a在b上的投影向量为＝××(1，2)＝，所以c＝.因为a＋b＝(－1，1)，所以c·(a＋b)＝－＝－.故选B. 4.在直角梯形ABCD中，AB＝8，CD＝4，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝(　　) A.32 B.48 C.64 D.80 答案：D 解析：因为·(＋)＝·＋·，所以由数量积的几何意义可得，·的值为｜｜与上投影的数量的乘积.又AB＝4，所以·＝32.同理可得·＝8×6＝48，所以·(＋)＝32＋48＝80.故选D. 5.(多选)已知向量a＝(cos θ－2sin θ，sin θ－2cos θ)，b＝(1，2).若0＜θ＜2π，｜a｜＝｜b｜，则θ的值可以为(　　) A. B.π C. D. 答案：ABD 解析：因为｜a｜＝｜b｜，所以(cos θ－2sin θ)2＋(sin θ－2cos θ)2＝12＋22，化简整理可得8sin θ·cos θ＝0，则sin θ＝0或cos θ＝0.因为0＜θ＜2π，所以θ＝或π或.故选ABD. 6.(多选)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，1)，e是与b同向的单位向量，则下列结论正确的是(　　) A.a＋b与a共线 B.单位向量e＝ C.向量a在向量b上的投影向量为－e D.若c＝，则a⊥c 答案：BD 解析：对于A，因为a＋b＝(－1，2)，所以不存在实数λ，使得a＋b＝λa，则a＋b与a不共线，故A错误；对于B，e＝＝×(－3，1)＝，故B正确；对于C，a在b上的投影向量为｜a｜cos 〈a，b〉＝＝e＝－e，故C错误；对于D，因为a·c＝2×＋1×＝0，所以a⊥c，故D正确.故选BD. 7.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，m)，且a⊥(2a－b)，则｜a－2b｜＝　　　　. 答案：5 解析：根据题意，2a－b＝(－1，4－m)，因为a⊥(2a－b)，所以a·(2a－b)＝1×(－1)＋2×(4－m)＝0，所以m＝，所以a－2b＝(－5，－5)，所以｜a－2b｜＝＝5. 8.已知向量a，b满足a＋b＝(5，－2)，a－b＝(－1，6)，令a，b的夹角为θ，则cos θ＝　　　　. 答案：－ 解析：因为a＋b＝(5，－2)，a－b＝(－1，6)，所以a＝＝(2，2)，b＝(5，－2)－(2，2)＝(3，－4)，所以｜a｜＝＝2，｜b｜＝＝5，a·b＝2×3＋2×(－4)＝－2，所以cos θ＝＝＝－. 9.已知四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，AB＝2，且＝，则·＝　　　　. 答案：4 解析：如图所示，因为＝，所以M为CD中点，·＝·(＋)＝·(＋)＝·(＋)＝·＋＝｜｜·｜｜cos∠BAD＋｜｜2＝2＋2＝4. 10.(13分)如图，已知A(1，1)，B(5，4)，C(2，5)，设向量a是与向量垂直的单位向量. (1)求单位向量a的坐标； (2)求向量在单位向量a上的投影向量的模； (3)求△ABC的面积S△ABC. 解：(1)设a＝(x，y)， 依题意有＝(4，3)，｜｜＝5，｜a｜＝1， 且a⊥，即a·＝0，所以 所以a＝(－，)或a＝(，－). (2)设向量与单位向量a的夹角为θ，在单位向量a上的投影向量为h，则｜h｜＝｜｜｜cos θ｜＝＝｜·a｜. 又因为＝(1，4)，所以当a＝(－，)时，｜h｜＝＝；当a＝(，－)时，｜h｜＝＝. 所以向量在单位向量a上的投影向量的模为. (3)S△ABC＝｜｜｜h｜＝×5×＝. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在△ABC中，＋＝0，·＝－，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形 C.等边三角形 D.等腰(非等边)三角形 答案：D 解析：由＋＝0，可得·＋·＝0，即(＋)·＝0，所以有(＋)·(－)＝－＝0，即｜｜＝｜｜.因为·＝··cos B＝cos B＝－，0°＜B＜180°，所以B＝120°，所以△ABC为等腰(非等边)三角形.故选D. 12.(多选)在平面四边形ABCD中，｜｜＝｜｜＝｜｜＝·＝1，·＝，则(　　) A.｜｜＝1 B.⊥ C.＝ D.·＝ 答案：ABD 解析：因为｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，·＝｜｜｜｜cos B＝，可得B＝，所以△ABC为等边三角形，则｜｜＝1，故A正确；因为｜｜＝1，所以＝1，又·＝1，所以＝·，得－·＝·(－)＝·＝0，所以⊥，故B正确；根据以上分析作图，由A、B项可知△ACD为等腰直角三角形且∠ACD＝90°.又因为∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝150°，而∠ADC＝45°，所以BC与AD不平行，故C错误；·＝(＋)·＝·＋＝1×1×cos 30°＋12＝，故D正确.故选ABD. 13.在△ABC中，BC＝4，·＝11，若D为BC的中点，则｜｜＝　　　　. 答案： 解析：由题意得＝＋)，所以＝＋＋2·)，故4＝＋＋2·，又＝(－)2＝＋－2·，两式相减得4－＝4·，所以4－16＝44，所以｜｜＝. 14.(15分)已知点A(m，2)，B(1，1)，C(2，4). (1)若｜＋｜最小，求实数m的值； (2)若与夹角的余弦值为，求实数m的值. 解：(1)由已知得＝(m－2，－2)，＝(－1，－3)，所以＋＝(m－3，－5)， 所以｜＋｜＝， 所以当m＝3时，｜＋｜取最小值. 所以实数m的值为3. (2)cos 〈，〉＝＝＝，化简得m2＋8m－48＝0，解得m＝4或m＝－12.经检验，m＝4和m＝－12均满足－m＋8＞0，所以实数m的值为4或－12. 15.(5分)(多选)如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.设在上的投影向量为λ，则下列说法正确的是(　　) A.λ的值为 B.λ的值为 C.｜｜＝ D.｜｜＝ 答案：BD 解析：上的投影向量为｜｜cos ∠BAC·＝2××＝，所以λ＝，故A错误，B正确；＝＋＝＋＝＋－)＝＋，｜｜2＝＝＋)2＝(4＋2·＋9)＝×(13＋2×2×3×)＝，所以｜｜＝，故C错误，D正确.故选BD. 16.(17分)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，D是线段BC上一点，且＝，F为线段AB上一点. (1)若＝x＋y，求x－y的值； (2)求·的取值范围. 解：(1)因为＝， 所以－＝－)， 得＝＋. 因为＝x＋y， 所以x＝，y＝， 所以x－y＝. (2)因为在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝， 所以∠CAB＝，BC＝， 所以·＝(＋)·＝·＋·. 设｜｜＝x，由题意得x∈， 所以·＝·＋· ＝｜｜｜｜cos ∠CAB－｜｜2 ＝x－x2＝－(x－)2＋. 因为x∈[0，2]， 所以－(x－)2＋∈， 所以·. 学生用书⬇第33页 学科网（北京）股份有限公司 $