2.1 不等式及其性质教学设计 2025-2026学年北师大版 数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦“不等式及其概念”核心知识点，通过跷跷板、汽车限速等生活场景导入不等关系，以绳子围正方形和圆的面积问题为支架，引导学生从实际问题中抽象出不等关系，衔接后续不等式表示方法的学习。 该资料特色在于以生活实例为载体，通过探究正方形与圆面积大小关系培养抽象能力和推理意识，列不等式步骤教学强化模型意识。既帮助学生提升从现实问题中抽象数学模型的能力，也为教师提供了可操作的探究式教学方案，落实新课标核心素养要求。

第二章 不等式与不等式组 北师大版(2024) 2.1 不等式及其性质（第2课时） 一、教学目标 1.经历从具体不等式中寻找解的过程，理解不等式的解、解集和解不等式的概念，掌握其核心含义. 2.能准确掌握不等式的解集在数轴上的表示方法，区分空心圆圈与实心圆点的使用场景. 3.体会＂从具体到抽象＂的数学思想，提升对不等关系的符号化与图形化表达能力. 二、教学重点及难点 重点：理解不等式的解、解集和解不等式的概念，掌握解集在数轴上的表示方法. 难点：区分不等式的＂解＂与＂解集＂的不同含义，以及在数轴上正确表示含等号与不含等号的解集. 三、教学过程 【探究新知】 探究：不等式的解与解集. 教师提问：在学习这节课的新知识前，我们先来回顾一下：什么是解方程？什么是方程的解？ 【师生活动】学生回顾解方程与方程的解的概念，小组交流讨论，教师在学生交流后进行总结. 答案预设： 求方程的解的过程叫作解方程. 使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解. 教师：类似地，你认为什么是不等式的解？让我们一起学习今天的课程. 教师提问：在上一课由树围估算树龄的问题中，我们得到不等式：6＋x＞10. 你能找到满足这个不等式的x的一些值吗？ （1）x＝3，4，5，5.5 能使不等式 6＋x＞10成立吗？ 【师生活动】学生代入数值验证，判断x＝3，4，5，5.5 能否使不等式6＋x＞10成立，再结合解方程的经验，在小组内交流不等式的解的特点，教师注意适时引导. 答案预设： 3 4 5 5.5 不能 不能 能 能 教师总结引出不等式的解的概念：在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解. 例如，5是不等式 6＋x＞10的一个解，4.2，5.5，6，7，8，···也是这个不等式的解. 教师提问：（2）你能找出多少个使不等式 6＋x＞10 成立的x的值，你是怎样找的？ 【师生活动】学生代入数值验证后，发现满足 6＋x＞10 的 x 有无数个，并在小组内交流寻找这些解的方法. 答案预设： 所有大于 4 的实数都满足不等式，因此有无限多个x的值. 教师总结引出不等式的解集的概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式. 例如，不等式 6＋x＞10 的解集是 x＞4，不等式 x－1≤2 的解集是 x≤3；不等式 x2＞0 的解集是所有非零实数. 教师点拨：进一步理解： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在该解集中 教师拓展：不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 区别 不等式的解集是由满足这个不等式的未知数的所有值组成的； 不等式的解是能使不等式成立的未知数的值． 联系 不等式的解集包含不等式的解，不等式的解是不等式的解集中的具体数值，不等式的所有解组成了不等式的解集． 举例：如 x＜7 是不等式 x－3＜4 的解集，而 x＝4 是不等式 x－3＜4的一个解，且 x＝4 在 x＜7 这个范围内. 设计意图：通过代入数值验证不等式的解，引导学生从“单个解”过渡到“解集”的概念，帮助学生理解不等式的解与解集的区别与联系，同时类比解方程的经验，培养学生的知识迁移能力. 在探究过程中，让学生体会不等式解的无限性，掌握从具体到抽象的数学思维方法，为后续学习解不等式奠定基础. 【探究新知】 探究：用数轴表示不等式的解集. 教师提问：大家回想一下数轴的数轴三要素是什么？ 学生：1.原点；2.单位长度；3.正方向； 教师提问：你能在数轴上表示不等式 6＋x＞10 的解集吗？不等式 x－1≤2 的解集又该如何表示呢？与同伴进行交流. 【学生活动】学生以小组为单位讨论如何在数轴上表示不等式，通过辨析空心圆圈与实心圆点的用法，自主完成数轴表示，并在组内交流展示. 答案预设： （1）不等式 6＋x＞10 的解集 x＞4 可以用数轴上表示 4 的点右边的部分来表示. 表示解集的方法： 如图，在表示 4 的点上绘制竖线，右边部分上方绘制平行于数轴的射线. 在数轴上表示 4 的点的位置上画空心圆圈，表示 4 不在这个解集内. （2）不等式 x－1≤2 的解集 x≤3 可以用数轴上表示 3 的点及其左边的部分来表示. 在数轴上表示 3 的点的位置上画实心圆圈，表示 3 在这个解集内. 教师总结： 解集 ：在数轴上表示数 的点左边的部分，包括数 对应的点，这一点画成实心圆点； 解集 ：在数轴上表示数 的点左边的部分，不包括数 对应的点，这一点画成空心圆圈； 解集 ：在数轴上表示数 的点右边的部分，包括数 对应的点，这一点画成实心圆点； 解集 ：在数轴上表示数 的点右边的部分，不包括数 对应的点，这一点画成空心圆圈． 设计意图：本环节先通过回顾数轴三要素，唤醒学生的旧知识，再引导学生探究如何在数轴上直观表示不等式的解集. 在辨析空心圆圈与实心圆点的用法中，帮助学生理解解集的边界特征，培养“数”与“形”结合的思维能力. 同时，通过小组合作与自主实践，让学生掌握用数轴表示解集的规范方法，提升其数学表达的严谨性与直观性，为后续解不等式组奠定基础. 教师拓展：用数轴确定不等式的解集主要有三个步骤： （1）画数轴：画出标准数轴. （2）定边界：根据不等式解集中的数据确定边界. 若有等号，则边界点就用实心圆点表示；若没有等号，则边界点就用空心圆圈表示. （3）根据解集中不等号的方向，确定数轴中表示解集的线的方向，“大于向右，小于向左”. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1．不等式的解： 在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解. 2．不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 求不等式解集的过程叫作解不等式. 3．用数轴表示不等式的解集 (≥、≤)有等号，是实心点；(＞、＜)无等号，是空心圆. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 北师大版(2024) 2.1 不等式及其性质（第3课时） 一、教学目标 1.经历探究不等式基本性质的过程，理解并掌握不等式基本性质1、2、3，能准确表述其内容. 2.能熟练应用不等式的基本性质对不等式进行变形，并能解简单的不等式，在数轴上表示其解集. 3.对比等式的基本性质，理解不等式基本性质与等式基本性质的区别与联系，培养类比与辨析的数学思维. 二、教学重点及难点 重点：理解并掌握不等式的基本性质，尤其是性质3（乘除负数时不等号方向改变），并能熟练应用性质进行不等式变形. 难点：准确应用不等式的基本性质3进行变形，以及区分不等式与等式基本性质的差异. 三、教学过程 【探究新知】 探究：不等式的基本性质1、2、3. 教师提问：我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ 【学生】记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 用式子表示：如果a=b，那么a±c=b±c. 等式的基本性质2：在等式的两边都乘或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 用式子表示：如果a=b，那么，. 教师：不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？根据等式的基本性质可以对方程进行变形，进而求解方程. 类似地，为了对不等式进行变形，就需要研究不等式的基本性质. 教师讲解：通过以往的学习，我们不难理解以下结论： (1) 如果a＞b，那么b＜a. (2) 如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 提问：除此之外，你认为不等式还有哪些性质呢？ 【师生活动】学生通过回顾等式的基本性质，再类比猜想不等式的性质，通过举例验证（如在不等式两边加、减、乘、除不同数），自主思考，并在小组内交流发现. 教师引导学生从等式性质迁移到不等式性质，在学生探究时进行适当地引导. 教师提问：同学们结合刚才小组讨论，回答下面的问题： （1）如果在不等式的两边都加或都减同一个数，那么不等式还成立吗？请你举几例说明. 【学生举例回答】∵3＜5，∴3+2＜5+2，3－2＜5－2. 所以，在不等式的两边都加或都减同一个数，不等号的方向不变. 教师追问：很好，把数换成代数式，上面的结论还成立吗？ 举例：小明今年的年龄用 a 表示，小明爸爸今年的年龄用 b 表示，显然 a<b，十年后小明和爸爸的年龄之间的大小关系是怎样的？两年前呢？ 【学生活动】学生结合小明与爸爸的年龄实例，分析得出十年后年龄关系和两年前年龄关系，得出结论，并在小组内交流这一结论的普遍性. 答案预设： ∵a＜b， ∴十年后的年龄a+10＜b+10， 两年前的年龄a－2＜b－2. 教师归纳总结不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变. 用字母表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c； 如果a＜b，那么a±c＜b±c. 教师提问： （2）如果在不等式的两边都乘同一个不等于 0 的数，那么不等式还成立吗？请你举几例说明.并与同伴进行交流. 【学生交流讨论】 学生1举例：∵3＜5， ∴3×2＜5×2，. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. 学生2：如3＜5，3×(－2)＞5×(－2). 所以上面的总结是错的. 教师：看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. 【学生活动】学生以小组为单位，围绕“不等式两边乘同一个非零数时不等号的变化”展开讨论，通过举例验证，结合多个实例，最终总结出不等式的基本性质 2，并在全班交流分享结论. 教师追问：那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导. 学生举例：∵6＞2， ∴6÷2＞2÷2，，6÷(－2)＜2÷(－2). 所以，当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变. 教师总结归纳不等式的基本性质2和3： 不等式基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 用字母表示： 如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc，a÷c＞b÷c； 不等式基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，a÷c＜b÷c. 设计意图：不等式的基本性质是本节课的重点. 通过类比等式性质、举例验证、对比辨析等环节，使学生体会不等式性质与等式性质的联系与区别，尤其是乘除负数时不等号方向改变的核心要点. 在探究过程中充分体现了“从特殊到一般”和“分类讨论”的数学思想，这对学生提升逻辑思维能力、深化对数学思想方法的认识起到了渗透作用. 【探究新知】 探究：用不等式的基本性质解. 教师提问：在前面的学习中，我们猜想，无论绳长l取何值，圆的面积总大于正方形的面积， 即. 你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？ 【学生活动】学生回顾不等式的基本性质，先分析l2为非负数，再比较与的大小，结合不等式的基本性质 2，推导出结论，并在小组内交流推导过程，验证该结论的正确性. 答案预设： ∵， ∴，即， 又∵， ∴. 设计意图：不等式的基本性质应用是本节课的难点. 通过圆与正方形面积比较的实例，让学生在运用性质推导结论的过程中，体会“从基本事实到结论”的逻辑链，巩固对不等式基本性质2的理解与应用. 【典型例题】 例 根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上： (1) x－5＞－1； (2) －2x≥3. 解：(1) 根据不等式的基本性质1，两边都加5，得 x＞－1＋5， 即 x＞4. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 解：(2) 根据不等式的基本性质 3，两边都除以－2，得 . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 设计意图：通过例题讲解，巩固理解不等式的基本性质1、3，以及解集在数轴上的表示方法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏，及时发现并纠正学生在性质应用（尤其是乘除负数时不等号方向）和数轴表示中的错误. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.不等式基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变. 不等式基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 北师大版(2024) 2.1 不等式及其性质（第1课时） 一、教学目标 1.经历从实际问题中抽象出不等式的过程，理解不等式的概念，认识不等号（＞、＜、≥、≤、≠）的含义. 2.能规范运用不等号表示简单的不等关系，结合生活与数学背景解释不等式的实际意义. 3.体会＂用数学符号描述不等关系＂的建模思想，提升从实际问题中抽象出数学模型的能力. 二、教学重点及难点 重点：理解不等式的概念，掌握不等号的含义，能正确列出简单的不等式. 难点：从实际问题中抽象出不等关系，并准确用不等式进行表达，理解不等式的实际意义. 三、教学过程 【探究新知】 探究：了解不等关系. 教师引入不等式：对于跷跷板、拔河比赛、手机流量、汽车限速和打折购物方法的选择等生活场景，你也许并不陌生，但你是否想过它们与某种“不等关系”有关？其实，与相等关系相比，不等关系更为普遍. 教师提问：如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆. (1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？ 【学生活动】学生结合生活中的不等关系实例，独立分析绳子围正方形面积问题，推导出正方形面积不大于25 cm2时绳长l满足的不等式，并在小组内交流推导思路与结果. 教师点拨：“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“≤”表示.(读作“小于或等于”) 例如，x不大于10可以表示为x≤10（读作“x小于或等于10”）. 答案预设： 因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为，得面积为，要使正方形的面积不大于25 cm2，就是． 即． 教师提问：(2)如果要使圆的面积不小于100 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？ 【学生活动】学生结合生活中的不等关系实例，独立分析圆的面积问题，推导出圆的面积不小于100 cm2时绳长l满足的不等式，并在小组内交流推导思路与结果. 教师点拨：“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号“≥”表示. (读作“大于或等于”) 答案预设： 因为圆的周长为l，所以圆的半径为． 要使圆的面积不小于100 cm2，就是． 即． 教师追问：(3)当l＝8时，正方形和圆的面积哪个大？l＝12呢？ 【学生活动】学生自主思考，独立完成计算后在小组内交流结果. 教师巡视并指导计算过程，在学生完成后组织全班分享，引导学生观察并总结“周长相等时，圆的面积大于正方形的面积”这一规律. 答案预设： 当l＝8时，正方形的面积为(cm2)． 圆的面积为(cm2)． ∵4＜5.1，∴此时圆的面积大． 当l＝12时，正方形的面积为(cm2)． 圆的面积为(cm2)． 此时还是圆的面积大． 设计意图：通过问题(1) (2)直接建立不等关系；通过问题(3)体会同类量之间最常见的是比大小问题，并发展学生的归纳猜想能力. 在解决这一串问题的过程中，让学生体会不等式与方程、函数一样，也是刻画事物变化规律的重要模型，并初步感知最优化思想. 教师提问：你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试． 【师生活动】学生独立思考与计算，请1名学生代表板书，进一步解释猜想的合理性. 【学生活动】所有学生一起说出哪个面积更大. 所以得出结论：用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即. 教师讲解：因为分子都是，相等，分母，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有. 【探究新知】 探究：列不等式. 教师提问：（1）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李外部尺寸的长、宽、高之和不得超过160 cm. 设行李的长、宽、高分别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李外部尺寸的长、宽、高满足的关系式. （2）通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄. 通常规定以树干离地面1.5 m 的地方为测量部位. 某树栽种时的树围为6 cm，在一定生长期内每年增加约1 cm，设经过x年后这棵树的树围超过10 cm，请你列出x满足的关系式. 【学生活动】学生独立思考列出代数式，教师选两名学生回答，其他同学判断正误；教师顺势引导学生观察几个代数式的共同特征. 教师点拨：注意两个问题题目中的关键词，即（1）中的“不得超过”，（2）中的“超过”. 答案预设： （1）根据题意可得：a＋b＋c≤160. （2）根据题意可得：6＋x＞10. 设计意图：通过有一定探索性的问题，让学生充分感受生活中存在大量的不等关系，由此说明不等式在实际生活中无处不在，初步体会不等式是刻画量与量之间关系的一种重要模型. 同时，初步渗透根据数量关系列不等式的方法. 需注意教学的关注点应放在学生是否会分析问题中的数量关系，是否会建立合理的不等关系. 【探究新知】 探究：不等式的概念. 教师提问：由上述问题分别得到如下关系式：，a＋b＋c≤160，6＋x＞10. 观察这几个关系式，它们有什么共同特点？与同伴进行交流. 【师生活动】学生独立思考，小组讨论后选派代表作答，教师引导学生共同完成总结. 学生：这几个关系式都是用不等号连接的式子. 教师总结不等式的概念：一般地，用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫作不等式. 注意：用不等号“≠”连接的式子也是不等式. 设计意图：意在让学生抽象概括不等式的概念，教学时，如果学生存在困难，那么可以让学生将所列出的不等式与等式进行对比，然后类比等式的概念得出不等式的概念，发展学生的类比思想和语言表达能力. 对于不等号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)，教师要组织学生说出它们各自的含义，使学生理解符号的意义，发展学生文字语言与符号语言相互转换的能力. 【课堂互动】 教师提问：生活中存在许多不等关系，请你举几个用不等式表示的例子，并与同伴进行交流. 【学生活动】学生结合生活实例，独立思考并列举用不等式表示的不等关系，随后在小组内交流各自的例子，辨析不等关系的合理性与不等式的准确性，并派代表在全班分享. 教师拓展1：列不等式就是用不等式表示代数式之间的不等关系． 表示不等关系的步骤： (1)分析题意，找出题中的各种量； (2)寻找各种量之间的不等关系； (3)用代数式表示各种量； (4)用适当的不等符号将表示不等关系的量连接起来. 教师拓展2：常用的不等号有以下五种： 名称 符号 读法 实际意义 举例 小于号 ＜ 小于 小于、不足、低于、少于 大于号 ＞ 大于 大于、高出、超过、多于 小于等于号 ≤ 小于或等于 不大于、不超过、至多、最多 大于等于号 ≥ 大于或等于 不小于、不低于、至少、最少 不等于号 ≠ 不等于 不相等 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.不等式概念：一般地，用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫作不等式. 用不等号“≠”连接的式子也是不等式. 2.列不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $