精品解析：安徽省淮南市寿县部分学校 2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

安徽寿县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 3. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 5. 如图，已知直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（　　） A. B. C. D. 7. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 如图，在中，是角平分线，交点，若，，则的值是(　　) A B. C. D. 9. 如图，是直立在高速公路边水平地面上交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（   ） A 4米 B. （2+2）米 C. （4﹣4）米 D. （4﹣4）米 10. 如图，在中，，，为上任意一点，为中点，连接在上且，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，反比例函数的图象上有两点A和B，横坐标分别是a和b，且，过点A作y轴平行线，过点B作x轴平行线，交于点C，连接，若面积为2，则_____． 12. 如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB和线段CD表示两根电线杆，线段AD和BC表示两根拉紧的铁丝，AD和BC交于点P．测量得米，点P距地面的高度为3米，则CD的长为______米． 13. 如图．在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________． 14. 如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶3海里到处，再从处向正东方向行驶5海里到处，此时这艘船与出发点处相距__________海里. 三、解答题：本大题共9小题，共90分． 15. 计算：． 16. 已知抛物线过（1，0），（0，-3）两点，且对称轴为直线：x=2，求此抛物线的解析式． 17. 如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且．求证：． 18. 足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 19. 如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为． （1）求证：点是弧的中点； （2）若，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； （3）连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标． 21. 小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 22. 如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上． （1）证明：△AEF∽△BFC． （2）若AB=，BC=1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC． ①求线段DQ的长． ②试判断△PCE的形状，并说明理由． 23. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为． （1）求这条抛物线对应的函数关系式； （2）连接，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽寿县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式（其中）是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数．检查各选项，只有选项B符合此定义． 【详解】解：二次函数要求自变量的最高次数为2，且系数不为0． 选项A：，的最高次数为1，是一次函数； 选项B：，的最高次数为2，且系数，符合定义； 选项C：，分母有未知数，不是二次函数； 选项D：，分母有未知数，不是二次函数； 故选：B． 2. 关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据绝对值的意义将整理为， 根据图象与轴有四个不同的公共点得到判别式，代入列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 由题意得，且当时，， 即， 解得：． 故选：． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，二次函数的判别式和与x轴交点的关系，解题的关键是熟练掌握．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 3. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 4. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 5. 如图，已知直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：D． 6. 如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据翻折变换性质得到DE＝CE、CF＝DF；设AD＝2k，则DB＝3k；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：设AD＝2k，则DB＝3k， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°， ∴∠EDA＋∠FDB＝120°， 又∵∠EDA＋∠AED＝120°， ∴∠FDB＝∠AED， ∴△AED∽△BDF， 由折叠得CE＝DE，CF＝DF， ∴△AED的周长为7k，△BDF的周长为8k， ∴△AED与△BDF相似比为7：8， ∴CE：CF＝DE：DF＝7：8． 故选：A． 【点睛】主要考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形的周长之比等于相似比，学会根据条件用字母表示相应的线段长度． 7. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义；根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解． 【详解】解：，， 平分， ，， ， 过点作， 平分， ， ，即：，解得：， ， 故选D． 9. 如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（   ） A. 4米 B. （2+2）米 C. （4﹣4）米 D. （4﹣4）米 【答案】D 【解析】 【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题． 【详解】在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°， ∴CM=MB•tan30°=12×=4， 在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°， ∴∠MAD=∠MDA=45°， ∴MD=AM=4米， ∴CD=CM-DM=（4-4）米， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型． 10. 如图，在中，，，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数得到，再利用中位线定理得到，最后根据三点共线的时，的值最小即可解答． 【详解】解：取的中点， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当三点共线的时，的值最小 ∴， 故选． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，反比例函数的图象上有两点A和B，横坐标分别是a和b，且，过点A作y轴平行线，过点B作x轴平行线，交于点C，连接，若面积为2，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键. 延长交轴于点，根据条件可得，继而，利用反比例函数k值的几何意义进行解答即可. 【详解】解：延长交轴于点， ∵点和点，横坐标分别是和，且， ， ∵轴，面积为， ， ， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ， 故答案： 12. 如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB和线段CD表示两根电线杆，线段AD和BC表示两根拉紧的铁丝，AD和BC交于点P．测量得米，点P距地面的高度为3米，则CD的长为______米． 【答案】12 【解析】 【分析】过点作的垂线，交于点，证明，，即可得到，，根据，即可求出的长度． 【详解】解：过点作的垂线，交于点，如图所示 ∵， ∴ ∴ 由题意可得：米，米 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴米 故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，找到等量关系，联立方程是解答本题的关键． 13. 如图．在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 详解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==． 故答案为． 点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 14. 如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶3海里到处，再从处向正东方向行驶5海里到处，此时这艘船与出发点处相距__________海里. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答． 根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， ，海里， 海里，海里， （海里）， （海里）， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共90分． 15 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值运算即可． 【详解】解： ． 16. 已知抛物线过（1，0），（0，-3）两点，且对称轴为直线：x=2，求此抛物线的解析式． 【答案】y=-x2+4x-3 【解析】 【详解】试题分析：根据题意设出抛物线的解析式为y=a（x-2）2+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐标代入，利用待定系数法求得即可． 试题解析：设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+k.把A(1,0),B(0,−3)的坐标代入,得 解得. ∴y=−(x−2)2+1=−x2+4x−3. 即这个二次函数的解析式为y=−x2+4x−3. 17. 如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．先证明，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，推出，再证明，再利用“两组对应的角相等的两个三角形相似”即可得到结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球能射进球门 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的函数表达式为，把代入函数表达式即可解答； （2）把代入函数表达式即可求出y的值，然后做出判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 球能射进球门． 19. 如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为． （1）求证：点是弧的中点； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理． （1）连接，证明，即可证明点是弧的中点； （2）连接，证明，列出比例式，计算即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴； ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是弧的中点； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴； ∵ ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（舍去）， 故． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； （3）连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标． 【答案】（1）；； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为； （2）过作轴交于，设，则，故，根据二次函数性质可得答案； （3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立方程组，即可解得点的坐标． 【小问1详解】 解：把、，代入， 可得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为， 把代入得，， 解得，， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：过作轴交于，如图所示： 设，则， ， ， ， 当时，取最大值， 此时的坐标为； 【小问3详解】 解：直线下方存在点，使得，理由如下： 过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图所示： 由（2）知， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把、坐标代入可得，， 解得： 直线的解析式为：， 则 解得，或 的坐标为． 21. 小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 22. 如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上． （1）证明：△AEF∽△BFC． （2）若AB=，BC=1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC． ①求线段DQ的长． ②试判断△PCE的形状，并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）2-；（3）等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质知，从而得出，转化得到相似； （2）连接EQ，根据AB=，BC=1计算出BF的长度，从而判断都是等腰直角三角形，算出AF、DE的长度，再根据PQ是CE的垂直平分线得出EQ=CQ，设，则，解直角三角形算出x即可； （3）设，则，根据利用勾股定理建立等量关系解出再证明全等即可． 【详解】解：（1）∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴△AEF∽△BFC （2）①连接EQ，PQ是CE的中垂线，如图： ∵AB=，BC=1，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，四边形ABCD是矩形 ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴ 设，则，在直角三角形DEQ中： ，解得： 故DQ的长为； ②设，则，PQ是CE的中垂线 ∴ ∴即 解得： ∴ 又∵ ∴△APE≌△BCP ∴即 ∴△PCE是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查矩形折叠问题、勾股定理、中垂线的性质，转化相关的线段与角度之间的关系是解题关键． 23. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为． （1）求这条抛物线对应的函数关系式； （2）连接，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点坐标为，利用勾股定理及其逆定理求得为直角三角形，即可得到； （3）求得，推出，得到点与点重合，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，，在抛物线上， 则， 解得， ∴这条抛物线对应的函数关系式为； 【小问2详解】 解：，理由如下， 令，则， 解得或 ∴点坐标为， ∵为的中点，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点符合条件，点与点重合， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $