专题10平行四边形寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题10平行四边形寒假预习讲义（1） · 轻松吃透定义，能快速识别平行四边形，秒辨对边 / 邻边、对角 / 邻角，建立图形直观认知； · 熟记性质 + 判定核心结论，能对着图形说清边、角、对角线的特殊关系，做到性质会用、判定会选； · 避开高频易错坑，能通过图形快速区分 “一组对边平行且相等” 和易混表述，不踩判定误区； · 掌握基础解题思路，能简单运用性质求边长、角度，用判定证平行四边形，解锁 “图形 + 逻辑” 解题思维； 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形的定义 2.平行四边形的性质 3.平行四边形的判定定理 4.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.由平行四边形性质求解 2.由平行四边形性质证明 3.平行四边形性质综合应用 4.等腰梯形的定义 5.等腰梯形的性质定理 6.平行四边形构成判定 7.补全平行四边形的条件 8.数平行四边形的个数 9.平行四边形判定证明 10.由平行四边形判定性质求解 11.由平行四边形判定性质证明 12.平行四边形判定性质应用 13.求平行线间的距离 14.平行线间距离的应用 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.平行四边形的定义】 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作，读作 “平行四边形ABCD”。▶ 核心判定依据：直接由定义可判定一个四边形是平行四边形（两组对边分别平行）。 ▶ 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 【知识点02.平行四边形的性质】 平行四边形的对边、对角、对角线均具有特殊性质，且为中心对称图形（对称中心是对角线的交点），但一般不是轴对称图形。 1. 边的性质 两组对边分别平行且相等。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 两组对角分别相等，邻角互补。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（邻角互补可由对边平行直接推出）。 3. 对角线的性质 对角线互相平分（对角线的交点为每条对角线的中点）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD。 【知识点03.平行四边形的判定定理】 判定需满足一个四边形具备以下条件之一，即可证为平行四边形，分边、角、对角线三类判定，定义为最基础判定方法。 1. 从 “边” 判定（3 种，核心） ① 定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（最基础）； ② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 几何语言：∵AB=CD，AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 ③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（“平行且相等” 需针对同一组对边，易错点）； 几何语言：∵AB∥CD，AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 2. 从 “角” 判定（1 种） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 3. 从 “对角线” 判定（1 种） 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 几何语言：∵ 四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD∴ 四边形ABCD是平行四边形。 4. 判定易错点提醒 ❌ 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）； ❌ 一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形（无判定依据，可构造反例）； ❌ 对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形。 【知识点04.高频易错点总结】 【题型1.由平行四边形性质求解】 【典例】已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【跟踪专练1】小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一条边长为16m，则它的邻边长为 m． 【跟踪专练2】如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2.由平行四边形性质证明】 【典例】两组对边分别 的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别 ；平行四边形的两组对角分别 ；平行四边形的对角线 ． 【跟踪专练1】在中，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则 ． 【题型3.平行四边形性质的综合应用】 【典例】如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO 【跟踪专练1】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 个． 【跟踪专练2】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【题型4.等腰梯形的定义】 【典例】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【跟踪专练1】如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积 ． 【跟踪专练2】计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【题型5.等腰梯形的性质定理】 【典例】在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 【跟踪专练1】如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过 s，使． 【题型6.平行四边形构成判定】 【典例】以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 【跟踪专练2】依据图中所标数据，下列图形一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【题型7.补全平行四边形的条件】 【典例】如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为 ．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 【跟踪专练1】下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【题型8.数平行四边形的个数】 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练1】如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【跟踪专练2】如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型9.平行四边形判定证明】 【典例】在四边形中，，，则四边形是 （填四边形名称）． 【跟踪专练1】如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（    ） ①四边形是平行四边形；    ②； ③是的中线；    ④ A．①②③④ B．②①④③ C．③②④① D．④②③① 【跟踪专练2】如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为 时，线段． 【题型10.由平行四边形判定性质求解】 【典例】如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（ ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在上，且，，连接，图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【题型11.由平行四边形判定性质证明】 【典例】如图．▱ABCD，EF//AB，GH//AD，MN//AD，图中共有 个平行四边形． 【跟踪专练1】如图1，平行四边形中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 【跟踪专练2】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【题型12.平行四边形判定性质应用】 【典例】为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 【跟踪专练1】如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一动点，E是直线AB上的一动点．若以E，D，O，A为顶点的四边形恰好为平行四边形，则点E的坐标为 ． 【题型13.求平行线间的距离】 【典例】如图，直线，则直线a，b之间的距离是（    ）    A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【跟踪专练1】设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ． 【跟踪专练2】已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【题型14.平行线间距离的应用】 【典例】已知直线，若直线上的一点A到直线的距离为2cm，则直线上一点到直线的距离是 ． 【跟踪专练1】如图，，，，以下三角形和三角形面积相等的有（    ） ①三角形；②三角形；③三角形；④三角形；⑤三角形． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【跟踪专练2】如图，在中，E为边延长线上一点，连结，．若的面积为6，则的面积为 ． 1．如图，在中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．求证：四边形EGFH是平行四边形． 2．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 3.．如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 4．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 5．直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记． (1)若，则线段与的公共点个数可能为______； (2)若取最小值且，则的取值范围是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10平行四边形寒假预习讲义（1） · 轻松吃透定义，能快速识别平行四边形，秒辨对边 / 邻边、对角 / 邻角，建立图形直观认知； · 熟记性质 + 判定核心结论，能对着图形说清边、角、对角线的特殊关系，做到性质会用、判定会选； · 避开高频易错坑，能通过图形快速区分 “一组对边平行且相等” 和易混表述，不踩判定误区； · 掌握基础解题思路，能简单运用性质求边长、角度，用判定证平行四边形，解锁 “图形 + 逻辑” 解题思维； 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形的定义 2.平行四边形的性质 3.平行四边形的判定定理 4.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.由平行四边形性质求解 2.由平行四边形性质证明 3.平行四边形性质综合应用 4.等腰梯形的定义 5.等腰梯形的性质定理 6.平行四边形构成判定 7.补全平行四边形的条件 8.数平行四边形的个数 9.平行四边形判定证明 10.由平行四边形判定性质求解 11.由平行四边形判定性质证明 12.平行四边形判定性质应用 13.求平行线间的距离 14.平行线间距离的应用 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.平行四边形的定义】 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作，读作 “平行四边形ABCD”。▶ 核心判定依据：直接由定义可判定一个四边形是平行四边形（两组对边分别平行）。 ▶ 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 【知识点02.平行四边形的性质】 平行四边形的对边、对角、对角线均具有特殊性质，且为中心对称图形（对称中心是对角线的交点），但一般不是轴对称图形。 1. 边的性质 两组对边分别平行且相等。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 两组对角分别相等，邻角互补。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（邻角互补可由对边平行直接推出）。 3. 对角线的性质 对角线互相平分（对角线的交点为每条对角线的中点）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD。 【知识点03.平行四边形的判定定理】 判定需满足一个四边形具备以下条件之一，即可证为平行四边形，分边、角、对角线三类判定，定义为最基础判定方法。 1. 从 “边” 判定（3 种，核心） ① 定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（最基础）； ② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 几何语言：∵AB=CD，AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 ③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（“平行且相等” 需针对同一组对边，易错点）； 几何语言：∵AB∥CD，AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 2. 从 “角” 判定（1 种） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 3. 从 “对角线” 判定（1 种） 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 几何语言：∵ 四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD∴ 四边形ABCD是平行四边形。 4. 判定易错点提醒 ❌ 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）； ❌ 一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形（无判定依据，可构造反例）； ❌ 对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形。 【知识点04.高频易错点总结】 1 混淆 “一组对边平行且相等” 的条件，误将两组对边分别平行 / 相等拆分为 “一组平行，一组相等” ② 性质中 “对角线互相平分” 误记为 “对角线相等”“对角线互相垂直”； ③ 计算面积时，底和高不对应（如用长边作底，却用短边的高计算）； ④ 判定时，忽略 “四边形” 前提，直接对三角形用判定定理。 【题型1.由平行四边形性质求解】 【典例】已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题的关键. 根据平行四边形对边相等的性质，直接计算周长即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长. 故的周长为. 故选：C. 【跟踪专练1】小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一条边长为16m，则它的邻边长为 m． 【答案】9 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对边相等，周长等于两邻边之和的2倍是解题的关键． 根据平行四边形的性质，对边相等，因此周长等于两邻边之和的两倍． 【详解】解：设邻边长为， 则周长为， 解得， ． 故答案为：9． 【跟踪专练2】如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 【题型2.由平行四边形性质证明】 【典例】两组对边分别 的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别 ；平行四边形的两组对角分别 ；平行四边形的对角线 ． 【答案】 平行 相等 相等 互相平分 【解析】略 【跟踪专练1】在中，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．证明，利用全等的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 则四边形的周长， ∴， 故答案为：8． 【题型3.平行四边形性质的综合应用】 【典例】如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分即可作出判断． 【详解】解：A、根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD正确； B、根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO正确； C、平行四边形的对角线不一定相等，则AC＝BD错误； D、根据平行四边形的对角线互相平分可得BO＝DO正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分，理解性质定理是关键． 【跟踪专练1】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 个． 【答案】2 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 【跟踪专练2】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 【题型4.等腰梯形的定义】 【典例】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积 ． 【答案】5 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 【跟踪专练2】计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．根据梯形的面积公式以及单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：梯形的面积等于 ． 故选：A 【题型5.等腰梯形的性质定理】 【典例】在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 【答案】 【分析】此题考查了等腰梯形的性质．首先设与交于点，由四边形是等腰梯形，，可求得的长，又由，即可求得答案． 【详解】解：设与交于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰梯形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：四边形是等腰梯形，， ，， 在和中， ∵， ， ， 结论一定成立的是． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和全等三角形判定和性质，熟练掌握等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质证明线段或角相等是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过 s，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了图形中的动点问题，利用一元一次方程解决几何问题，平行四边形和等腰梯形的性质的内容，解题的关键是几何特殊图形判定线段相等． 先确定两点运动的时间，假设经过了，，分别讨论当四边形为平行四边形和等腰梯形时，列一元一次方程进行求解即可． 【详解】解：根据题意，点运动到点需要12秒，点运动到点需要秒， 假设经过了，，根据题意得， ①当时，四边形为平行四边形，此时， ∴， 解得， 经检验， ∴符合题意； ②如图所示，当四边形为等腰梯形时，， 过点作，交于点，过点作，交于点， ， ， 即， 解得， 经检验， ∴符合题意； 故答案为：或． 【题型6.平行四边形构成判定】 【典例】以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D：由，，不可以推出四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，故该选项符合题意． 故选：D ． 【跟踪专练1】如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 【答案】3个 【分析】本题考查了平行四边形的判定．把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法． 【详解】解：有三种拼法，如图1、2、3， 故答案为：3个． 【跟踪专练2】依据图中所标数据，下列图形一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可． 由平行四边形的判定可得出结论． 【详解】解：A、根据题意，得，， 故，，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，得，， 故，，是平行四边形，符合题意； C、根据题意，得， 故无法判定是平行四边形，不符合题意； D、根据题意，得，， 故，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：B． 【题型7.补全平行四边形的条件】 【典例】如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为 ．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．根据推理过程及平行四边形的判定定理即可解答． 【详解】解：A、添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； B、添加后，结合，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； C、添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； D、添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 【题型8.数平行四边形的个数】 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 【题型9.平行四边形判定证明】 【典例】在四边形中，，，则四边形是 （填四边形名称）． 【答案】平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． 【跟踪专练1】如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（    ） ①四边形是平行四边形；    ②； ③是的中线；    ④ A．①②③④ B．②①④③ C．③②④① D．④②③① 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据是的中线得出，结合，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：③是的中线； ②； ④ ①四边形是平行四边形； 则正确的顺序为③②④① 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为 时，线段． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定得出．根据平行四边形的性质，得出，，根据，得出四边形为平行四边形，证明，设运动时间为x秒，则，，得出，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设运动时间为x秒，则，， ∴， 解得：， 即当运动时间为3秒时，线段． 故答案为：3． 【题型10.由平行四边形判定性质求解】 【典例】如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在上，且，，连接，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定；先说明四边形是平行四边形，可得，再结合已知条件求出，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵的面积是4， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 如图，过点作于于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 故选：B． 【题型11.由平行四边形判定性质证明】 【典例】如图．▱ABCD，EF//AB，GH//AD，MN//AD，图中共有 个平行四边形． 【答案】18 【分析】首先证明AD∥HG∥MN∥BC，DC∥EF∥AB，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC∥AB， ∵EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD， ∴AD∥GH∥MN∥BC， ∵DC∥AB， ∴DC∥EF∥AB， ∴四边形AGHD，AGQE，AMND，AMKE，ABCD，ABFE； GMNH，GMKQ，GBCH，GBFQ，MBCN，MBFK； EQHD，EKND，EFCD，QKNH，QFCH，KFCN，都是平行四边形； 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对边互相平行，两组对边互相平行的四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】如图1，平行四边形中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；方案甲，连接，由平行四边形的性质得，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确． 【详解】解：方案甲，连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故方案乙正确； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 【题型12.平行四边形判定性质应用】 【典例】为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木， 由题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可证，四边形等均为平行四边形， ∴ ∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了， ∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【跟踪专练1】如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一动点，E是直线AB上的一动点．若以E，D，O，A为顶点的四边形恰好为平行四边形，则点E的坐标为 ． 【答案】或 【分析】当OEAC时，由相互平行的两条直线的一次项系数相同，可得到直线OE的解析式，然后将OE和AB的解析式联立，组成方程组从而可求得点E的坐标；当DEOA时，ODAB时，先求得OD的解析式，然后联立OD、AC，求得点D的坐标，然后再求得DE的解析式，将DE和AB联立，组成方程组可解得点E的坐标． 【详解】解：①如图1：当OEAD时， ∵OEAC， 所以直线OE的解析式为y=-2x， 联立OE、AB，得 ，解得， 即E1(-,)； ②如图2：当DEOA时，ODAB时， ∵ODAB， ∴直线OD的解析式为y=x， 联立OD、AC，得， 解得， ∴D(,)． 联立AB、AC得 ， 解得， A(1，2)． OA的解析式为y=2x， ∵DEOA， ∴设直线DE的解析式为y=2x+b， 将点D的坐标代入直线的解析式得：y=2x-， 联立DE、AB得 ， 解得， E2(,)． ③当OA为对角线时，则OEAC，如图1， E(-,) 综上所述：点E的坐标为(-,)或(,)． 故答案为：(-,)或(,)． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质和平行四边形的性质，掌握相互平行的两条直线的一次项系数相同是解题的关系，解答本题主要应用了分类讨论的思想． 【题型13.求平行线间的距离】 【典例】如图，直线，则直线a，b之间的距离是（    ）    A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案． 【详解】解：由直线，，得： 线段的长度是直线，之间距离， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键． 【跟踪专练1】设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ． 【答案】7或17 【分析】本题考查了平行线之间的距离．由于三条直线互相平行，需考虑在与之间或同侧两种情况，分别计算距离． 【详解】解：分两种情况： 当在，之间时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 当，在同侧时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 综上所述，与的距离为或， 故答案为：7或17． 【跟踪专练2】已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】如图，直线在直线，外时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 如图，直线在直线，之间时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 综上所述，与之间的距离为或， 故选：． 【题型14.平行线间距离的应用】 【典例】已知直线，若直线上的一点A到直线的距离为2cm，则直线上一点到直线的距离是 ． 【答案】2cm 【分析】根据平行线间的距离进行解答即可． 【详解】解：∵直线，直线上的一点A到直线的距离为2cm， ∴直线上一点到直线的距离为2cm． 故答案为：2cm． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离处处相等． 【跟踪专练1】如图，，，，以下三角形和三角形面积相等的有（    ） ①三角形；②三角形；③三角形；④三角形；⑤三角形． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据，，，由平行线之间距离相等，可得相应三角形之间同底等高． 【详解】解：∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴ ∴与面积相等的三角形为：、、， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，E为边延长线上一点，连结，．若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形的性质，平行线性质，是解题的关键． 连接，根据平行四边形是中心对称图形，得，平行线间的距离处处相等，得． 【详解】解：连接， ∵是中心对称图形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 1．如图，在中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．求证：四边形EGFH是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 根据平行四边形的性质证明，根据全等三角形的对应边相等得到，同理可证得，得到，最后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】证明：四边形是平行四边形，是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ． 同理可证得， ， 四边形是平行四边形． 2．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【详解】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 3.．如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键． 作于G，于H，根据的面积为6，求出，根据两平行线间的距离相等得到的长，根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解∶ 如图，作于G，于H，    ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 4．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 5．直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记． (1)若，则线段与的公共点个数可能为______； (2)若取最小值且，则的取值范围是______． 【答案】(1)0或1 (2) 【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解； （2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点A和B均在直线上方且到的距离相等时， 此时线段与的公共点个数为0；    当点A和B在直线，之间时，如图所示： 此时线段与的公共点个数为1；    故答案为：0或1； （2）当取最小值且时，如图所示： 此时点A恰好在，的中间直线上， ∴，之间的距离为2，即，    当点P在上方或下方时，如图所示：    此时即为，之间的距离为2； 当点P在，之间时，如图所示：    ∵， ∴当点P在，的中间直线上时，， 当点P不在，的中间直线上时，； 综上可得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $