精品解析：福建南平市2025-2026学年第一学期八年级期末质量抽测数学试题

2025—2026学年第一学期八年级期末质量抽测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） ★友情提示： ① 本试卷仅供选用学校使用； ② 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是（ ） A. 150° B. 135° C. 120° D. 100° 4. 如图，小明在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么A，B间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由得到，判断这两个三角形全等的依据是（ ）． A. B. C. D. 6. 如果把分式中的都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不变 7. 如图，是的平分线，点P在上，于点C，且，如果D是射线上一动点，那么的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在平面直角坐标系中，点与点N关于轴对称，则N点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，点与点关于直线对称，连接，当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 计算：________． 12. 因式分解：______． 13. 如图，在的正方形网格中，与是格点三角形，______． 14. 若，则m的值是_____ ． 15. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD=8，则BC的长为_____________． 16. 我国南宋时期数学家杨辉于年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为时，则值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 化简：． 18. 如图，点、、、在一条直线上，，，，求证． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，已知，的周长等于． （1）求的周长； （2）尺规作图，在射线上求作一点F，使等于的周长．（不写作法，保留作图痕迹） 21. 如图，在中，平分，交于点． （1）求证：； （2）已知，求的长． 22. （列方程解应用题）甲乙两名同学进行60米跑步训练，两人从起点同时出发，甲到达终点时，乙离终点还差5米，已知甲的平均速度比乙的平均速度快0.5米/秒． （1）求乙的平均速度； （2）如果两人重新开始训练，甲从起点向后退5米，两人同时出发，判断甲乙两人能否同时到达终点？并说明理由． 23. 在与中，点D在边上（不与点B重合），交于点F，其中，，． （1）求证：； （2）已知，当，时，求的值． 24. 小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 25. 等腰直角三角形中，，，点在边上，直线交延长线于点，点在延长线上，且． （1）如图1，当时，求和的度数； （2）如图2，过点作交直线于点； ①求证：； ②猜想，，数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期八年级期末质量抽测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） ★友情提示： ① 本试卷仅供选用学校使用； ② 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形．将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是轴对称图形； B、它不是轴对称图形； C、它是轴对称图形； D、它不是轴对称图形． 故选：C． 2. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是（ ） A. 150° B. 135° C. 120° D. 100° 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，可设内角为α，则外角为3α， ∴α+3α=180°， ∴α=45°， 则外角为3α=135°， 故选B. 4. 如图，小明在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么A，B间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得， 即， ∴， ∴A，B间的距离不可能是． 故选：A． 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由得到，判断这两个三角形全等的依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图与全等三角形的判定， 熟练掌握全等三角形的判定定理是关键． 根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知，，，符合根据判定三角形全等． 故选：C． 6. 如果把分式中的都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．将x和y都扩大2倍后代入分式，化简比较与原分式的关系即可． 【详解】解：将x和y都扩大2倍，新分式为， 所以与原分式相同，即分式的值不变． 故选：D． 7. 如图，是的平分线，点P在上，于点C，且，如果D是射线上一动点，那么的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点P作于点E，由角平分线的性质得到，再根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵是的平分线， ，， ∴， ∵点D是上的动点， ∴由垂线段最短可知，当点D与点E重合时，有最小值，最小值为4． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，点与点N关于轴对称，则N点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此即可得出结果． 【详解】解：∵点与点N关于轴对称， ∴N点的坐标是， 故选：B． 9. 下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为或，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：或． 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，点与点关于直线对称，连接，当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，交于点，连接，如图所示，由对称性质、垂直平分线的判定与性质得到，，进而判定，再由全等性质得到，然后由即可得到，进而在字形和中，由三角形内角和定理得到，然后由等边对等角确定，最后根据是的一个外角，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设交于点，交于点，连接，如图所示： 点与点关于直线对称，， 即是线段的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ， 在中，，则， ， 则， 在和中，，对顶角，则， ， ， 是的一个外角， ， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及对称性质、垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、外角性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准相关角度之间的关系是解决问题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，掌握相关知识是解决问题的关键．根据零指数运算法则，任何非零数的零次幂等于1，即可求解． 【详解】解：根据指数运算法则，非零数的零次幂等于1， ∴ = 1． 故答案为1． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，在的正方形网格中，与是格点三角形，______． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． 取格点F，连接，，可得，因此，即可求解． 【详解】解：取格点F，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 14. 若，则m的值是_____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题含参的整式乘法计算，通过展开左边多项式，并与右边多项式比较系数，得到m的值． 【详解】解：， ∵， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD=8，则BC的长为_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】延长AB交CD的延长线于点E，由题意易得CD=DE，进而可证CE=CB，然后进行求解即可． 【详解】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图所示： ∵AD平分∠BAC，CD⊥AD， ∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°， ∵AD=AD， ∴△ADE≌△ADC， ∴∠E=∠ACD，ED=DC， 又∵∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠E=∠ACD=∠EBC， ∴BC=EC=2DC， ∵DC=8， ∴BC=EC=16； 故答案为16． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 16. 我国南宋时期数学家杨辉于年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为时，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查展开式的系数规律，根据题意得到是解决问题的关键． 先由图表给出了展开式的系数规律得到，进而得到，最后根据题意列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 代数式的值为， ， 则，解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，直接用公式将原式展开，去掉括号后合并同类项． 【详解】解： ． 18. 如图，点、、、在一条直线上，，，，求证． 【答案】 ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先证明，再证明，即可作答． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先对括号内分式通分，再将除法转化为乘法进行化简，最后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，已知，的周长等于． （1）求的周长； （2）尺规作图，在射线上求作一点F，使等于的周长．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）22 （2） 解：如图，点F为所求． 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，作一条线段等于已知线段． （1）根据垂直平分线的性质得到，从而由的周长等于可得到，即可求解； （2）以点C为圆心，的长为半径作弧，交射线于点F，则，即点F为所求． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，平分，交于点． （1）求证：； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：过点作，，如图所示： 在中，平分， ， ， 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）过点作，，如图所示，由角平分线性质得到，由三角形面积公式表示，化简即可得证； （2）过点作于点，如图所示，则，由（1）中，结合题意可得，代值计算即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示： ， 由（1）知， ， ， 则， ， ，解得． 22. （列方程解应用题）甲乙两名同学进行60米跑步训练，两人从起点同时出发，甲到达终点时，乙离终点还差5米，已知甲的平均速度比乙的平均速度快0.5米/秒． （1）求乙的平均速度； （2）如果两人重新开始训练，甲从起点向后退5米，两人同时出发，判断甲乙两人能否同时到达终点？并说明理由． 【答案】（1）5.5米/秒 （2） 解：甲乙两人不能同时到达终点，理由如下： 甲从起点向后退米，则甲跑的路程为米， ∵甲的平均速度为米/秒， ∴甲到达终点所需时间为秒， 乙跑的路程为米，乙的平均速度为5.5米/秒， 故乙到达终点所需时间为秒， ∵，，且， ∴甲用的时间短，甲乙两人不能同时到达终点． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设乙的平均速度为米/秒，则甲的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）先求出甲乙两人到达终点所需要的时间，比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：设乙的平均速度为米/秒，则甲的平均速度为米/秒， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙的平均速度为5.5米/秒； 【小问2详解】 略 23. 在与中，点D在边上（不与点B重合），交于点F，其中，，． （1）求证：； （2）已知，当，时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． （2）3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由得到，即可证明，根据全等三角形的性质得证结论； （2）由全等三角形的性质得到，结合已知可得是等边三角形，得到，，由得到，即可得到，再求出可得，同理求出，从而得到，根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 【答案】 （1）④；（2）存在最大值，最大值为16；（3）两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，分式乘法的应用等知识，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知当两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （2）根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明：设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，从而可求出两次漂洗后，污物减少为原来的，根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答． 【详解】解：∵两数和一定时，差的绝对值越小积越大，且，， ∴， ∴④的值最大， 故答案为：④； （2）∵为定值， ∴当与的差的绝对值越小积越大，即时，存在最大值， ∴时，存在最大值， ∴当，存在最大值，最大值为； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下： 设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤， 由题意得：第一次用水斤，使污物变为原来的， 第二次用水斤，污物减少为原来的， ∵为定值， ∴当时，的值最大，即的值最小， ∴时，的值最小， 答：两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 25. 等腰直角三角形中，，，点在边上，直线交延长线于点，点在延长线上，且． （1）如图1，当时，求和的度数； （2）如图2，过点作交直线于点； ①求证：； ②猜想，，数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） ①证明：设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，结合外角的性质可计算出．由，可得，根据三角形内角和定理计算出； （2）①设，由外角的性质可得，，结合等腰三角形的性质，可得，根据三角形内角和定理计算出．由平行线的性质可得，，命题得证； ②点作的垂线，交的延长线于点，容易证明，则，．结合题干，继续证明，则，等量代换后可得，． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理与外角的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $