精品解析：安徽淮南第二中学2025-2026学年高一第一学期期末检测数学试题

淮南二中2028届高一第一学期期末检测 数学试题 （考试时间：120分钟，试题满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号（智学号）； 2.在答题卷上答题时，选择题必须用2B铅笔将对应题号的答案涂黑，非选择题必须用0.5mm黑色墨水签字笔在指定区域作答，超出规定区域作答无效； 3.考试结束只需提交答题卷，试题卷学生自己保存. 第I卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 136.136 15.552 10.88 则不一定包含的零点的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列四个选项，正确的有（ ） A. 在第三象限，则是第二象限角 B. 若三角形的两内角，，满足，则此三角形必为钝角三角形 C. D. 10. 已知函数的图象的一条对称轴方程为，下列说法正确的是（ ） A. 函数的对称中心为 B. 不等式的解集为 C. 函数的单调递增区间为 D. 函数在区间上的值域为 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 关于x的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 第II卷 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分. 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 13. ________. 14. 已知函数，满足，若函数恰有5个零点，则实数的范围为__________. 四、解答题：本大题共5题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. （1）若的纵坐标为，求的值； （2）若求的值. 16. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数的最大值为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 19. 设是函数的零点，是函数的零点，若，则称函数与函数是“零点相近函数” （1）已知与函数，判断函数与函数是否为“零点相近函数”，并给出理由； （2）若函数与函数是“零点相近函数”，求实数的取值范围； （3）若函数与函数是“零点相近函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮南二中2028届高一第一学期期末检测 数学试题 （考试时间：120分钟，试题满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号（智学号）； 2.在答题卷上答题时，选择题必须用2B铅笔将对应题号的答案涂黑，非选择题必须用0.5mm黑色墨水签字笔在指定区域作答，超出规定区域作答无效； 3.考试结束只需提交答题卷，试题卷学生自己保存. 第I卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要先分别求出集合和集合，再根据交集的定义求出. 【详解】已知集合，，所以. 故选：C. 2. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 136.136 15.552 10.88 则不一定包含的零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在定理可确定结果. 【详解】因为，，，且函数的图象是连续的， 所以函数在区间，，上均有零点. 而，所以函数在上未必有零点. 故选：A 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断奇偶性，再由区间上的函数值，利用排除法判断即可. 【详解】根据题意，函数，其定义域为， 由，函数为偶函数， 函数图象关于轴对称，故排除C、D； 当时，，，则，排除B. 故选：A． 4. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解. 【详解】设扇形的半径为，所对弧长为， 则有，解得， 故. 故选：. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数，指数函数的单调性判断与0，1的大小关系，利用三角函数在各象限的符号依次判断即得. 【详解】， 由是减函数得，即， 因为，所以， 所以． 故选：B． 6. 下列选项中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判断A；根据正切的诱导公式可判断BC，根据正切的和角公式可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案 【详解】由，得，即， 则， 故 ． 故选：A. 8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围. 【详解】由已知满足， 且函数为偶函数， 所以， 令， 所以函数是周期为的周期函数. 又因为与函数都是偶函数，由对称性可知 由于关于的方程至少有8个实数解， 故当时，与至少有个交点. 函数与图像如图所示. 由图可知：当时，只需，解得 当时，只需，解得 当时，显然符合题意. 综上所述：. 故选：A 二､多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列四个选项，正确的有（ ） A. 在第三象限，则是第二象限角 B. 若三角形的两内角，，满足，则此三角形必为钝角三角形 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 根据在第三象限，由判断；B. 根据A，是三角形的内角，且判断；C.利用诱导公式判断； D. 根据判断. 【详解】A. 因为在第三象限，所以，则是第二象限角，故正确； B. 因为，是三角形的内角，且，则，所以此三角形必为钝角三角形，故正确； C.因为，故错误； D. 因为，所以，故正确. 故选：ABD 10. 已知函数的图象的一条对称轴方程为，下列说法正确的是（ ） A. 函数的对称中心为 B. 不等式的解集为 C. 函数的单调递增区间为 D. 函数在区间上的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性，结合正弦型的单调性、值域逐一判断即可. 【详解】因为的图象的一条对称轴方程为， 所以，解得， 因为，所以，所以， A选项，令，解得， 所以函数的对称中心为，故A错误; B选项，令，即，所以 ，解得，故B正确; C选项，令，解得，故C错误; D选项，当时，，所以，所以，故D正确; 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦型函数的对称性求出正弦型函数的解析式. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 关于x的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】当时，，当时，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示， 对于A，由，得， 令，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以函数有3个零点，所以A正确， 对于B，当时，，即，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以关于x的方程有3个不同的解，而当时，，所以B错误， 对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图可知函数的图象的每一个上顶点都在曲线上，所以恒成立，所以C正确， 对于D，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……， 当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第II卷 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分. 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，再根据函数图象过点，可得. 【详解】由函数为幂函数，得，即， 所以， 又函数过点， 则， 故答案为：. 13. ________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据换底公式、对数的运算性质计算可得. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知函数，满足，若函数恰有5个零点，则实数的范围为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用求出的值，令，由可得，分析函数的性质作出其图象，将函数恰有5个零点问题转化成与和的图象有5个交点问题，即可求得参数的范围. 【详解】由，得，解得，则 令，由可得：， 解得：，依题意，直线与直线与的图象恰有5个交点. 当时，在上单调递减，在上单调递增，故时，； 当时，可看成关于轴对称得到，故其在上单调递减. 作出函数的图象如图所示. 由图象可知，需使，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的零点个数问题，属于难题. 求解函数的零点个数问题，一般有以下方法： （1）直接法：求解方程可得零点个数； （2）零点存在定理法：结合函数的单调性和零点存在定理可判断； （3）两函数交点法：将原函数方程分解成两相等函数，利用两函数图象的交点个数确定. 四、解答题：本大题共5题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. （1）若的纵坐标为，求的值； （2）若求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）结合诱导公式进行化简，然后结合同角基本关系进行化简即可求解； （2）结合和差角公式及同角三角函数关系进行化简即可求解. 【小问1详解】 ， 即， 因为的纵坐标为，即， 所以， 当，时，， 当时，， 综上，或. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， . 16. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元 【解析】 【分析】（1）根据可得的解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式可求的最大值. 【小问1详解】 由已知得，， ∵， ∴， 整理得，. 【小问2详解】 当时，，对称轴为直线， ∴. 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故， ∵，∴的最大值为390， ∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元． 17. 已知函数的最大值为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先利用两角差的正弦余弦公式，结合辅助公式化简解析式，再根据函数最大值为列方程可求的值； （2）根据正弦函数的单调性列不等式可求函数的单调递减区间； （3）先求出，再利用泰勒公式求出的近似值，从而可得答案. 【小问1详解】 ， 所以，即； 【小问2详解】 ， 令， 即，， 所以函数的单调递减区间， 【小问3详解】 因为， 所以， 由泰勒公式得： 所以． 【点睛】关键点点睛:解答本题（3）的关键是对泰勒公式的理解与应用，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19. 设是函数的零点，是函数的零点，若，则称函数与函数是“零点相近函数” （1）已知与函数，判断函数与函数是否为“零点相近函数”，并给出理由； （2）若函数与函数是“零点相近函数”，求实数的取值范围； （3）若函数与函数是“零点相近函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）与函数是“零点相近函数”，理由： 令得，解得，即以函数的零点为， 令得，解得，于是， 因，所以令，故函数的零点为， 则， 故函数与函数是“零点相近函数”. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数和的零点和，利用检测即得； （2）先对分段函数分析其零点得，由“零点相近函数”的定义，需使的零点，结合其单调性，利用零点存在定理即可求得实数范围； （3）由整理后利用同构思想，设，结合其单调性可由推得其零点为，再由，借助于函数和的值域即可求得其零点为，最后由即可求得实数的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，函数无零点； 当时，由，解得或（舍去）， 故函数的零点为， 因函数与函数是“零点相近函数”，故函数的零点， 又函数在上单调递增，故须使，即， 解得，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 令，得， 因，所以， 构造函数，显然函数在上单调递增， 因，所以， 因此函数的零点是. 令，得，即， 因，而，两函数都可在时取到等号， 故函数的零点是， 因为函数与函数是“零点相近函数”，所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义函数的性质应用，属于难题. 解题思路在于充分理解“零点相近函数”的规定，按照其要求，分别求两函数在给定区间上的零点，其间，除直接求零点外，还需考虑零点存在定理与函数单调性的应用，有时还需同构思想和函数的值域的比较，才能顺利解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $