精品解析：2026年四川省泸州市泸县第五中学中考数学一模试卷

2026年四川省泸州市泸县五中中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（ ） A. 西南财经大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 北京体育大学 3. 下列事件中属于必然事件的是（　　） A. 在比赛中，弱队战胜强队 B. 任意画一个平行四边形，它是中心对称图形 C. 掷出两枚硬币，都是正面向上 D. 用、、长线段为边构成一个三角形 4. 如图，将绕点A逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列说法正确的是() A. 可由抛物线向左平移个单位长度得到 B. 顶点坐标是 C. 与轴无交点 D. 当时，随的增大而增大 7. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A. B. C. D. 8. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正十边形中，的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是_____________． 14. 把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 15. 如图，在中，，若，则与的面积之比为____________． 16. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为_________． 三、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 18. 解方程：． 19. 已知抛物线． （1）利用配方法把抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点A的坐标； （2）求抛物线与x轴的交点B、C的坐标，并写出时x的取值范围． 四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分． 20. 为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：；；；，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数； （3）若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各名同学的概率． 21. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 22. 如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，顶点，，均在格点上． （1）若和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标． （2）将以点为中心，顺时针旋转，请作出旋转后的图形，并求线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 五、本大题共3小题，每小题12分，共36分． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 24. 如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． （1）求证：； （2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线； （3）求的半径． 25. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年四川省泸州市泸县五中中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ； C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ； 故选：D 2. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（ ） A. 西南财经大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 北京体育大学 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 下列事件中属于必然事件的是（　　） A. 在比赛中，弱队战胜强队 B. 任意画一个平行四边形，它是中心对称图形 C. 掷出两枚硬币，都是正面向上 D. 用、、长线段为边构成一个三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的定义，解决本题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，选项A和C是随机事件，选项D是不可能事件，只有选项B是必然事件． 【详解】解：A、在比赛中，弱队战胜强队是随机事件，故A不符合题意； B、任意画一个平行四边形，它是中心对称图形是必然事件，故B符合题意； C、掷出两枚硬币，都是正面向上是随机事件，故C不符合题意； D、长为、、长线段为边构成一个三角形是不可能事件，不是必然事件，故D不符合题意． 故选：B． 4. 如图，将绕点A逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，进而由三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点A逆时针方向旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 故选：D． 5. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 6. 对于抛物线，下列说法正确的是() A. 可由抛物线向左平移个单位长度得到 B. 顶点坐标是 C. 与轴无交点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线顶点式性质，分析顶点坐标、开口方向、平移关系及与x轴交点情况． 【详解】解：∵抛物线为， ∴顶点坐标为，，开口向上． 对于A：向左平移个单位得，与给定抛物线不符，∴A错误． 对于B：顶点为，不是，∴B错误． 对于C：令，得，，方程有两个实数根，∴与x轴有交点，C错误． 对于D：∵开口向上，对称轴，∴当时，随的增大而增大，∴D正确． 故选：D． 7. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 8. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ 故选 B. 9. 一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 根据垂径定理的推论，可得此圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心是O，连接．根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，是圆心，设半径为，即， 依题意得：，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得： 答：圆弧门所在圆的半径为． 故选D． 10. 如图，在正十边形中，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，连接，求出正十边形的中心角，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接， 则， 由圆周角定理得，， 故选：B． 11. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题是有关抛物线的一道综合性题目，主要考点是抛物线的对称性、开口方向判断二次项系数的符号、抛物线解析式的多种表示方法等．熟练掌握抛物线的定义和性质和解析式是解决此题的关键． ①根据抛物线的对称性求出与x轴的另外一个交点，观察图形即可判断其正确性；②把抛物线的对称轴用含有a、b的代数式表示出来，其开口方向又向下，即可判断其正确；③根据抛物线的解析式求出与y轴的交点用含有a的代数式表示出来，根据抛物线与轴的交点在和之间，即可求得a的取值范围；④由题可知二次函数过，即，结合对称轴可得，代入即可求解． 【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为， 当时，，故①正确； ②抛物线开口向下，故， 对称轴为， ， ，故②错误； ③设抛物线的解析式为，则， 令得：． 抛物线与轴的交点在和之间， ． 解得，故③正确； ④二次函数的图象与轴交于点， ， 对称轴为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个 故选：C． 12. 如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，重心的定义，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得都是的中线，则由三角形中位线定理可得，证明得到，设，则，设，则，证明求出a与b的关系即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接， ∵G是的重心， ∴都是的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴可设，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，掌握关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】##144度 【解析】 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，若，则与的面积之比为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先求出，再证明得到，接着证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和求圆锥的高，理解题意是解决本题的关键． 根据圆锥的底面周长求出底面半径，根据扇形面积公式求出母线长，再根据勾股定理求出高即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 故答案为：16． 17. 如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为_________． 【答案】（3，） 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，由DE⊥BD，取BE的中点F，以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与x轴相切于点D，连接FD，设AE=x，利用相似三角形求出x，再根据三角形相似求出点E的横纵坐标即可. 【详解】∵A(4,0)，B（0,3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵DE⊥BD， ∴∠BDE=90°， 取BE的中点F，以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与x轴相切于点D，连接FD， 设AE=x，则BF=EF=DF=， ∵∠ADF=∠AOB=90°， ∴DF∥OB ∴△ADF∽△AOB ∴ ∴， 解得x=， 过点E作EG⊥x轴， ∴EG∥OB， ∴△AEG∽△ABO， ∴， ∴, ∴EG=，AG=1， ∴OG=OA-AG=4-1=3， ∴E（3，）, 故答案为：（3，）. 【点睛】 此题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，本题借助半圆解题使题中的DE⊥BD所成的角确定为圆周角，更容易理解，是解此题的关键. 三、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 18. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算，再利用求根公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查的是利用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 19. 已知抛物线． （1）利用配方法把抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点A的坐标； （2）求抛物线与x轴的交点B、C的坐标，并写出时x的取值范围． 【答案】（1），顶点A坐标为； （2）抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为；或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把一般式化为顶点式，即可得出顶点A坐标； （2）当时，，解得，，运用二次函数的图象性质，即可得出当时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点A坐标为； 【小问2详解】 解：依题意，当时，， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为； ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或． 四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分． 20. 为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：；；；，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数； （3）若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各名同学的概率． 【答案】（1），，补全条形统计图如图所示， （2）估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数约人； （3）． 【解析】 【分析】（）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数所占的百分比，即可得出答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案； 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． 【小问1详解】 解：该校此次调查共抽取了（名）学生． 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：，； 组中八年级的学生人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约人； 【小问3详解】 解：将七年级的名同学分别记为，，将八年级的名同学分别记为，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各名同学的结果有：，，，，，，，共种， ∴恰好选中七年级和八年级各名同学的概率为． 21. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 【答案】（1）双 （2）元 （3）每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解． 【小问1详解】 解： （双） 答：商场平均每天可售出双鞋子． 【小问2详解】 设每双降价元． 解得： 让顾客尽可能得实惠， 答：每双鞋子降价元． 【小问3详解】 设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 当元时，最大元． 答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 22. 如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，顶点，，均在格点上． （1）若和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标． （2）将以点为中心，顺时针旋转，请作出旋转后的图形，并求线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形与旋转图形，求扇形面积； （1）根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接即可，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转的性质画出，根据勾股定理求得的长，进而根据扇形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； ∵ ∴ ∴线段在旋转过程中扫过的图形的面积为． 五、本大题共3小题，每小题12分，共36分． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． （1）求证：； （2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线； （3）求的半径． 【答案】（1） 证明：∵点是弧的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2） 证明：连接交于点．如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，又由，，即可证明； （2）连接交于点．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线； （3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径为． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵点是的中点， ∴点是的中点． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）． ∴的半径为． 【点睛】此题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 25. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）面积的最大值为，； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把和代入求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点为直线下方抛物线上的点，如图， 设， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴面积的最大值为， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 的对称轴为． ∵，， ∴，， 当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点， ∵在的对称轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图， ∵在的对称轴上， ∴， ∴， ∵，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为， 依题意得：， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $