湖南部分学校2025-2026学年高二上学期期末数学试卷（A）

高二数学（A卷）期末 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 32 B. 16 C. 72 D. 36 3. 已知双曲线方程为：，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 若数列的通项公式为，则的前10项和为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 若定义上的函数：对任意的有，若的最大值和最小值分别为，则的值为（ ） A. 12 B. 24 C. D. 7. 如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内（不包含边界）的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（ ） A. B. C. D. 8. 设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，点在椭圆上，为其左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆的长轴长为6 C. 的最大值为9 D. 点到距离的最大值为 10. 甲、乙两人开展乒乓球对抗赛，约定对抗赛最多进行3场，先累计获胜两场者赢得本次对抗赛．每场比赛仅分胜负，无平局，甲每场获胜的概率为，乙每场获胜的概率为，且各场比赛结果相互独立．下列说法正确的是（ ） A. 本次对抗赛恰好进行2场就结束的概率为 B. 甲最终赢得本次对抗赛的概率为 C. 若事件为“对抗赛恰好进行2场结束”，事件为“甲赢得对抗赛”，则事件与事件是相互独立事件 D. 本次对抗赛恰好进行3场结束且甲赢得本次对抗赛的概率为 11. 已知数列的首项，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得 B. 数列是等比数列 C. 设，则数列的前项和 D. 若，则满足条件的最大整数的值为2024 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线的一条切线的斜率为4，则该切点的横坐标为__________． 13. 欧拉公式是由数学家欧拉发现的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，若，则__________． 14. 一个高为8cm直三棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计）静置在水平的桌面上，底面完全贴合桌面．容器内盛有定量清水．已知底面中，分别是内角的对边，满足关系式，且构成公差为2的等差数列．现将一个可容纳于容器内的最大铁质小球放入其中，液面恰好和小球相切；若不放入小球，将容器密封后横向放置（使直三棱柱的某一侧面贴合桌面），则此时液面的最低高度为__________cm． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值． 16. 设等比数列的前项和为，已知． （1）求的值及的通项公式； （2）令，数列的前项和为，证明：． 17. 已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． （1）点在椭圆上，若，求的面积； （2）过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 18. 已知平面直角坐标系中，点（其中为常数，且），点为坐标原点． （1）若点满足条件，试证明三点共线，并求点相对点的位置； （2）线段的等分点按与的距离由近到远分别记为，其中． （i）当时，求的值（用含的式子表示）； （ii）当时，求的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，为上一点，设平面与平面的交线为． （1）求证：平面； （2）当四棱锥的体积最大时，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值； （3）当平面时，平面与交于，求的值． 高二数学（A卷）期末 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 由（1）可知，， 则， ∴， ∵，则，∴成立，即． 【17题答案】 【答案】（1）1 （2）在轴上存在定点，使得为定值． 【18题答案】 【答案】（1） 证明：已知， 则， ∵与共线，且两向量有公共点，∴三点共线， 在线段上靠近点的四等分点上． （2）（i）；（ii）． 【19题答案】 【答案】（1） 由为正三角形且可知． 又因为，且，在中，由余弦定理得 ， 所以，所以，所以，即．所以， 因为，平面，平面，所以平面． 又平面，平面平面，所以． 又平面，平面，所以平面． （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $