4.数学思想专题 相交线与平行线中的思想方法-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（湘教版·新教材）

数学思想专题 相交线与平行线中的思想方法 题型① 数形结合思想 题型② 方程思想 1.如图，直线m∥n,一块含有30°角的直角三 4.如图，直线AB,CD相交于 角板按图所示的方式放置.若∠1=40°，则 点O,EO⊥CD.若∠AOC ∠2的度数为 与∠BOE的度数比为3：7， A.70° B.60° C.50° D.40 则∠BOD的度数为() 第4题图 2 A.18° B.24° C.27 D.35 m B D 5.如下图，已知a∥b,∠1比∠2的2倍少30° 3 n >309 C 求∠1的补角的度数. 第1题图 第2题图 2.（2025娄底新化二模)光从一种介质射向另 32 一种介质时会发生折射.如图，用直线m,n 表示一块玻璃的两个面，且m∥n.现有一束 光线AB从空气射向玻璃，BC是折射光线， D为射线AB延长线上一点.若∠1=20°， ∠2=145°，则∠3= 3.图①所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元 件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动 6.如下图，直线AB,CD相交于点O,过点O 力传输.图②所示的是手动变速箱托架工作 作两条射线OM,ON,且∠AOM=∠CON 时某一时刻的示意图.已知AB∥CD,CG∥ =90° EF,∠BAG=150°，∠AGC=80°，求∠DEF (1)若OC平分∠AOM,求∠AOD的度数. 的度数 (2)若∠1=青∠B0C,求∠A0C和∠M0D 的度数 图① 图② 下册第4章 3△ 7.如下图，在四边形ABCD中，AB/CD,E是CD 题型④转化思想 上一点，连接AE,BE并延长分别交BC,AD 9.如图，两个边长为5的正方形 的延长线于点M,N,已知∠BAD=∠BCD. 拼成一个长方形，则图中阴影 (1)请判断直线AN与BM的位置关系，并 部分的面积是 ) 第9题图 说明理由. A.5 B.25 (2)若∠DAE=30°，∠CBE=20°，∠DEN: C.50 D.以上都不对 ∠CEM=8:5,求∠MEN的度数. 10.如下图所示，AB∥CD,∠A=128°，∠D= 32°.求∠AED的度数， 题型③分类讨论思想 8.如下图，D为射线CB上一点，且不与点B, 11.如下图，将直角三角形ABC沿AB方向平 C重合，DE∥AB交直线AC于点E,DF∥ 移得到直角三角形DEF.已知BE=6,EF AC交直线AB于点F.猜想∠EDF与 =10,CG=3,求阴影部分的面积. ∠BAC的数量关系，并说明理由. 40 七年级数学XJ版因为CP∥DN,所以∠PCF=∠NDC.同上可知， ∠APC=∠AFC+∠PCF=180°-∠BAP+∠NDC =180°-（∠BAP-∠NDC)=180°-45°=135° 5.解：(1)如图①，过点E作EK∥AB,则∠ABE+ ∠BEK=180°，所以∠BEK=180°-∠ABE=50. 因为∠CEF=90°，所以∠CEK=90°-∠BEK=40°. 因为AB∥CD,EK∥AB, 所以EKCD,所以∠C=∠CEK=40°」 K 一D 图① 图② (2)∠ABE一∠C=60°.理由如下： 如图②，过点E作EL∥AB,则∠ABE+∠BEL=180°， 所以∠BEL=180°一∠ABE 因为AB∥CD,EL∥AB, 所以EL∥CD,所以∠C=∠CEL. 因为∠CEF=∠BEL+∠CEL=120°，即180° ∠ABE+∠C=120°， 所以∠ABE-∠C=180°-120°=60°. 6.解：如图，过点E作EM∥AB,过点A F作FN∥CD,则∠BEM=∠B= 30°，∠D+∠NFD=180°，所以 ∠BEF=∠BEM+∠MEF=∠B+ N----------F ∠MEF=30°+∠MEF, ∠EFD=∠EFN+∠NFD=∠EFN+(18O°-∠D) =∠EFN+(180°-120)=∠EFN+60°. 因为AB∥CD,EM∥AB,FN∥CD, 所以EM∥FN,所以∠MEF=∠EFN, 所以∠EFD一∠BEF=30°. 7.解：(1)如图①，过点E作EM∥AB 因为AB∥CD, 所以ME∥AB∥CD, 所以∠AEM=∠BAE,∠CEM =∠DCE, 图① 所以∠AEC=∠AEM+∠CEM=∠BAE+∠DCE. 当∠BAE=30°，∠DCE=20时， 所以∠AEC=∠BAE+∠DCE=30°+20°=50°： 当∠BAE=a,∠DCE=B时， 所以∠AEC=∠BAE+∠DCE=a十B. (2)如图②，过点E作EG∥AB. 因为AB∥CD, -B 所以AB∥CD∥EG 所以∠A+∠1=180°，∠C+∠2 =180°， 图② 所以∠A+∠1+∠2+∠C=360° 因为∠1十∠2=∠AEC,所以∠BAE+∠AEC十 ∠ECD=360°. (3)2∠AFC+∠AEC=360°. 424 七年级数学XJ版 理由如下： 由(1)可得∠AFC=∠BAF+∠DCF. 因为AF平分∠BAE,CF平分∠DCE, 所以∠BAE=2∠BAF,∠DCE=2∠DCF, 所以∠BAE+∠DCE=2∠AFC 由(2)可得∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°， 所以2∠AFC+∠AEC=360°. 数学思想专题相交线与平行线中的 思想方法 1.A 2.125°【解析】如图，因为∠2=145，人2 ∠1=20°， E m B 所以∠DBE=180°-145°=35°， D 3 所以∠CBE=∠1+∠DBE=20°+ 35°=55°. 因为m∥n, 所以∠CBE+∠3=180°， 所以∠3=180°-55°=125°. 3.解：如图，过点F作FM∥CD 因为AB∥CD,所以FM∥AB∥CD, 所以∠DEF+∠EFM=180,GF2cM ∠MFA+∠BAG=180°. 因为∠BAG=150°，所以∠MFA=30°. 因为CG∥EF,所以∠EFA=∠AGC=80°， 所以∠EFM=∠EFA-∠MFA=50°， 所以∠DEF=180°-∠EFM=130. 4.C 5.解：因为a∥b,所以∠1=∠3 因为∠2十∠3=180°，所以∠1+∠2=180°， 所以∠2是∠1的补角. 设∠2=x,则∠1=180°-x. 因为∠1比∠2的2倍少30， 所以180°-x=2x-30°，解得x=70°， 即∠1的补角的度数为70° 6.解：(1)因为∠AOM=∠CON=90°，OC平分∠AOM, 所以∠1=∠AOC=45°， 所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135° (2)设∠1=x,则∠BOC=4x,所以∠BOM=3x. 因为∠AOM=90°，所以∠BOM=180°-90°=90°， 所以3.x=90°，解得x=30°，所以∠1=30°，所以 ∠AOC=90°-∠1=60°，∠M0D=180°-∠1=150°. 7.解：(1)ANBM.理由如下： 因为AB∥CD,所以∠BAD+∠ADC=180°. 因为∠BAD=∠BCD, 所以∠BCD+∠ADC=180°， 所以AN∥BM. (2)因为ABCD,∠DEN:∠CEM=8:5, 所以∠DEN=∠ABE,∠CEM=∠BAE, 所以∠ABE：∠BAE=8:5. 设∠DEN=∠ABE=8.x°，∠CEM=∠BAE=5x°. 因为AN∥BM, 所以∠BAD+∠ABC=180°， 所以∠DAE+∠BAE+∠ABE+∠CBE=180°， 即30°+5.x°+8.x°+20°=180°，解得x=10, 所以∠DEN=80°，∠CEM=50°， 所以∠MEN=180°-∠DEN-∠CEM=180°-80°- 50°=50°. 8.解：∠EDF=∠BAC或∠EDF+∠BAC=180°.理由 如下： 如图①，当点D在线段BC上时， 因为DF∥AC,所以∠BAC+∠AFD=180. 因为DE∥AB,所以∠EDF+∠AFD=180°， 所以∠EDF=∠BAC: 图① 图② 如图②，当点D在线段CB的延长线上时， 因为DF∥AC,所以∠F=∠BAC. 又因为DE∥AB,所以∠EDF+∠F=180°， 所以∠EDF+∠BAC=180° 9.B 10.解：过点E作EF∥AB,如图 因为AB∥CD,所以EF∥CD∥ AB,所以∠A+∠AEF=180°， ∠FED=∠D. 因为∠A=128°，∠D=32°， 所以∠AEF=180°-128°=52°，∠FED=32°，所以 ∠AED=∠AEF+∠FED=52°+32°=84°. 11.解：由平移的性质，得BC=EF=10,S△DEr=S△AC, 所以S△ABC一S△BG=S△DEF一S△mG,即S阴影= SaEm-G+EF)·BE-号×(10-3+10)X 6=51. 章末对点导练 1.D2.180°3.A 4.12【解析】因为△ABC沿直线BD方向向右平移，得 到△ECD,BD=24,所以AE=BC=CD=号BD =12. 5.解：(1)如图所示，△DEF即为所求 (2)平行且相等 (3)△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移6 个单位长度（或△ABC先向右平移6个单位长度，再 向下平移2个单位长度). 6.85°【解析】过点C作CF∥AD, 北 如图. D 35 由题意，得AD∥BE,所以AD∥ 0 SB CF∥BE,所以∠ACF=∠DAC, F ∠BCF=∠EBC,所以∠ACB=∠ACF+∠BCF= ∠DAC+∠EBC. 由题意，得∠DAC=50°，∠EBC=35°， 所以∠ACB=50°+35°=85°. 7.解：(1)因为∠BNM=∠AND,∠AOE=∠BNM, 所以∠AOE=∠AND,所以OE∥DM. (2)因为扶手AB与底座CD都平行于地面EF, 所以ABCD,所以∠BOD=∠ODC=30°. 因为∠AOF+∠BOD=180°，所以∠AOF=150°. 因为OE平分∠AOF,所以∠BOF=∠AOF=75, 所以∠BOE=∠BOD+∠EOF=105. 因为OE∥DM,所以∠ANM=∠BOE=105°. 8.D9.C 变式题△ACD与△BCD,△ABC与△ABD,△CAE 与△BDE 10.60°【解析】因为OF平分∠BOD,∠BOF=15°，所 以∠BOD=2∠BOF=30°.又因为∠AOC=∠BOD, 所以∠AOC=30°.因为EO⊥AB,所以∠AOC+ ∠COE=90°，所以∠COE=90°-∠AOC=90°-30 =60°. 1.解：1)因为∠A0c+∠B0C=180,所以号∠B0C+ ∠B0C=180°，所以∠B0C=135°，所以∠AOC=45°.又因 为OC是∠AOD的平分线，所以∠COD=∠AOC=45°. (2)OD⊥AB.理由如下： 因为∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，所以OD ⊥AB. 12.A 13.B【解析】如图，过点C作CG A ∥AB. 因为DF∥AB, …G 所以DF∥AB∥CG, 所以∠1+∠CAB=180°，∠2=∠CED. 因为∠BAC=120°，∠ACE=100°， 所以∠1=60°，∠2=∠ACE-∠1=40°， 所以∠CED=∠2=40°. 14.C【解析】因为PQ∥AB,CD∥PQ, 所以∠ABE+∠BGP=180°，∠CDG+∠DGP =180°. 因为∠ABE=130°，∠CDF=150°， 折以∠BGP=50°，∠DGP=30°， 下册参考答案 25个