4.6 两条平行线间的距离-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（湘教版·新教材）

》一题多解法 因为PD⊥ON,所以∠ODP=90 因为∠OPD=30°，所以∠0=180°-90°-30° =60° 因为PQ∥ON,所以∠MPQ=∠O=60° 11.80°或100°【解析】如图.因为∠3的 两边与∠a的两边分别垂直，所以a +B=180°.因为∠α=80°，所以∠β= 100°；若反向延长∠3的一边，则∠8 的补角∠β的两边也与∠α的两边互相垂直，此时 ∠3=180°-100°=80°. 12.解：因为DG⊥BC,AC⊥BC, 所以DG∥AC,所以∠2=∠3. 因为∠1=∠2，所以∠1=∠3， 所以EF∥DC,所以∠AEF=∠ADC. 因为EF⊥AB,所以∠AEF=90°， 所以∠ADC=90°，即CD⊥AB. 13.解：AB⊥BC.理由如下： 由折叠的性质可知，∠ABD=∠ABD',∠EBC= ∠E'BC.因为∠ABD+∠ABD'+∠EBC+∠E'BC =180°， 所以2∠ABD'+2∠E'BC=180°， 所以∠ABD'+∠E'BC=90°， 即∠ABC=90°，所以AB⊥BC. 14.解：(1)因为∠AOB=130°，OE平分∠AOB, 所以∠A0E=∠BOE=2∠A0B=号X130°=65. 因为OB⊥OF,所以∠BOF=90°， 所以∠EOF=∠BOF-∠BOE=90°一65°=25°. (2)因为∠AOB=a,OE平分∠AOB, 1 所以∠BOE=∠AOE=20. 因为∠BOF=90°， 所以∠EOF=∠BOF-∠BOE=90°-2Q. 1 第2课时垂线段与点到直线的距离 1.C 2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 3.C4.A5.A 6.解：朱贤先到达体育馆.因为从朱贤家到体育馆的路程 是垂线段，垂线段最短，所以朱贤的路程更短 7.A 8.4.866.4 9.5【解析】线段AB的长表示点A到BC的距离，线段 CB的长表示点C到AB的距离，线段BD的长表示点 B到AC的距离，线段AD的长表示点A到BD的距 离，线段CD的长表示点C到BD的距离. 10.C 422 七年级数学XJ版 11.C【解析】因为AC⊥BC,AD⊥CD,AB=a,CD b,所以CD<AC<AB,即b<AC<a. 12.C【解析】能表示点到直线的距离的线段有线段 AB、线段AC、线段CD、线段ED、线段CE、线段BC、 线段BE、线段AD,共有8条. 13.4【解析】如图，因为点M到直线1 的距离为1，且到直线l2的距离为 2,所以符合条件的点是M1,M2, M,M4,一共有4个. 14.解：如图，过点C作CE⊥AB,交AB的延 长线于点E. 因为点C到直线AB的距离为8，所以 CE=8. 因为垂线段最短，所以当BD⊥AC时， BD取得最小值， 所以2AB·CE=2AC·BD. 将AB=5,AC=10,CE=8代入，解得BD=4, 所以线段BD的最小值为4. 15.解：(1)如图，过点M作ME⊥AB于点E,过点N作 NF⊥AB于点F. M F B. N 当汽车行驶到点E处时，对学校M的影响最大；当汽 车行驶到点F处时，对学校V的影响最大 (2)当汽车由点A向点E行驶时，对两所学校的影响 逐渐增大；当汽车由点F向点B行驶时，对两所学校 的影响逐渐减小：当汽车由点E向点F行驶时，对学 校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大. 4.6两条平行线间的距离 1.对两条平行线的所有公垂线段都相等 2.解：如图，AE是AD与BC的公垂线段，AF是AB与 CD的公垂线段（画法不唯一）. D 3.C4.FD5.C6.B7.2 8.解：因为直线a∥b∥c,AB⊥a,AB⊥b,所以AB⊥c 因为a与b之间的距离是10cm,b与c之间的距离是 4 cm, 所以AB=10cm,BC=4cm, 所以AC=AB一BC=6cm,所以a与c之间的距离是 6 cm. 9.C【解析】因为ED∥BC,两条平行线间的距离相等， 所以△EDC与△EBD同底等高， 所以△EDC与△EBD面积相等. 因为AEBD,两条平行线间的距离相等， 所以△ABD与△EBD同底等高， 所以△ABD与△EBD面积相等. 因为ABCD,两条平行线间的距离相等， 所以△ABD与△ABC同底等高， 所以△ABD与△ABC面积相等， 所以△ABC与△EBD面积相等， 所以与△EBD面积相等的三角形为△EDC,△ABD, △ABC,故②④⑤符合题意. 10.4 11.1cm或7cm【解析】根据直线a,b,c的位置关系， 分类讨论如下：①如图①，当直线b在a,c之间时，因 为直线a,b之间的距离是3cm,直线b,c之间的距离 是4cm,所以直线a,c之间的距离是3+4=7(cm); ②如图②，当直线a,c在b同侧时，因为直线a,b之 间的距离是3cm,直线b,c之间的距离是4cm,所以 直线a,c之间的距离是4一3=1(cm).综上，直线a,c 之间的距离为1cm或7cm. 图① 图② 12.12【解析】如图，过点C作CM⊥ AB于点M,过点B作BN⊥CD于 A A MB 点N.因为a∥b,所以CM=BN,所 1 以S△Ax=2BA·CM,SAm=2CD·BN,所以 S△Ac:S△D=AB:CD=1:2.因为△ABC的面 积为6，所以△BCD的面积为12. 13.解：FN>EM.理由如下： 如图，过点F作FP⊥CD于点P, 则FP=EM. 因为FN>FP,所以FN>EM. CNM P D 14.解：如图，过点A作AE⊥BD于 点E,过点C作CF⊥BD于 点F, 则S四边形ABCD=S△ABD十S△BCD= B ED 1 1 BD·AE+2BD·CF= 1 BD·4CF=24cm. 因为BD=6cm,所以CF=2cm, 即相邻两条平行线间的距离为2cm. 15.解：因为∠A=∠B=90°，所以AD∥BC. 又因为DE⊥BC,AB⊥BC, 所以AB∥DE,DE=AB=2,所以BE=AD=3. 因为SAx=1,即2DE·EC=1, 所以EC=1,所以BC=BE+EC=4. 16.解：如图，连接AB,CD,过点C作CF⊥AD,交AD 的延长线于点F. 因为AD∥BC,AD=BC,所以S△A=S△ACD· 1 1 D 因为SAA=2AC·BE=2X21X 5=10 (cm),所以SAcn= 2AD. CF-X7CF=105 2 ·cm2,所以CF= 15cm, 所以平行线AD与BC之间的距离为15cm. 解题方法专题 平行线中作辅助线的方法 1.解：连接BC,如图。 A一 zB 因为AB∥CD, FE 所以∠ABC=∠BCD. C -D 又因为∠ABF=∠DCE, 所以∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE,即∠FBC =∠ECB, 所以BF∥CE,所以∠F=∠E. 2.解：如图，延长AE交l2于点B. 因为l1∥L2, 所以∠ABC=∠1=70°. 因为∠a=∠B, 所以AE∥DC, 所以∠2=∠ABC=70°. 3.解：AB∥GF.理由如下： 如图，过点C作CK∥GF,分别延 长GF,CD交于点H, H 所以∠H+∠2+∠BCK=180°. 因为CD∥EF,所以∠H=∠1， 所以∠1+∠2+∠BCK=180° 又因为∠1+∠2=∠ABC, 所以∠ABC+∠BCK=180°， 所以AB∥CK,所以AB∥GF. 4.解：延长AM交CD于点E,延长AP交DC的延长线 于点F,如图. CE 因为AB∥CD,所以∠BAE十∠AED=180°. 因为∠AMD+∠DME=180°，∠MED+∠MDE十 ∠DME=180°，所以∠AMD=∠MED+∠MDE= 150°，所以180°-∠BAM+∠MDE=150°，所以 ∠BAM-∠MDE=30.因为∠NDM=号∠NDC,所 2 以∠MDE=3∠NDC. 又因为∠BAM=号∠BAP,所以号∠BAP- 2 号∠NDC=30,所以∠BAP-∠NDC=45 因为AB∥CD,所以∠BAP+∠AFC=180°. 23 下册参考答案4.6两条平行线间的距离 要囱提园 1.公垂线及公垂线段：与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足 的线段叫作这两条平行直线的公垂线段 2.公垂线段的性质：两条平行线的所有公垂线段都相等 3.两条平行线间的距离：两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 已课内基础练 知识点③ 求两条平行线间的距离 知识点① 公垂线段及其性质 5.如图，点P,M分别在直线AB,CD上，且 1.如图，地面上有一样长的电线 A AB∥CD.若点P到CD的距离为5cm,则 杆AB,CD分别与地面垂直， 点M到AB的距离 () B D 小明想知道两根电线杆顶端 A.大于5cm B.小于5cm 第1题图 A,C之间的距离.他没有梯子，于是就测量了 C.等于5cm D.不能确定 底端BD之间的距离，他认为B,D之间的距离 A、P B 等于A,C之间的距离，你认为对吗？ (填“对”或“不对”)，依据是 C —D M B 第5题图 第6题图 2.如下图，AD∥BC,AB∥DC,请你分别画出 6.如图，AB⊥BC,CD⊥BC,AD∥BC.若AB= AD与BC,AB与CD的一条公垂线段 3cm,AD=4cm,则AB与CD之间的距离为 A.3 cm B.4 cm C.3cm或4cm D.不确定 7.如图，a∥b,点P在直线a 上，点A,B,C都在直线b 上，PA⊥AC,且PA=2cm, AB C 知识点②两条平行线间的距离的定义 PB=3cm,PC=4cm,则直 第7题图 3.如图，已知直线m∥n,下列哪条线段的长度 线a,b间的距离为 cm. 可以表示直线m与n之间的距离 ( 8.(教材变式)如下图，直线a∥b∥c,AB⊥a, A.只有AB B.只有AE AB⊥b,a与b之间的距离是10cm,b与c C.AB和CD均可 D.AE和CF均可 之间的距离是4cm.求a与c之间的距离. A E B F D 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB,EF⊥AB,垂 足分别为D,F,则EF与CD之间的距离是 的长. 下册第4章 69△ 已课外拓展练 14.如右图，将四边形ABCD 9.(2025郴州期中)如图，AB∥CD,DE∥BC, 放在一组间距相等的平行 AE∥BD,以下三角形与△EBD面积相等的 线中.已知BD=6cm,四 有 边形ABCD的面积为 ①△EDA;②△EDC;③△ABE;④△ABD: 24cm2,求相邻两条平行线间的距离. ⑤△ABC. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.③④⑤ D 第9题图 第10题图 10.如图，AD∥BC,BC=6,且△ABC的面积 为12，则点C到AD的距离为 15.如下图，已知∠A=∠B=90°，AD=3,AB =2,DE⊥BC,垂足为E,△DEC的面积是 易错点忘记分类讨论而致错 1.求BC的长. 11.已知直线a,b,c互相平行，直线a,b 之间的距离是3cm,直线b,c之间的 距离是4cm,那么直线a,c之间的距 离为 12.如图，直线a∥b,点A, B位于直线a上，点C, A D位于直线b上，且 第12题图 AB:CD=1:2.若△ABC的面积为6，则 核心素养练 △BCD的面积为 16.几何直观如下图，AD=BC=7cm,AD∥ 13.如下图，ABCD,E,F为AB上的两点， BC,AC=21cm,BE⊥AC于点E,且BE M,N为CD上的两点，连接EM,FN,且 =5cm.求平行线AD与BC之间的距离. EM⊥CD,则EM与FN有怎样的大小关 系？请说明理由 一B 470 七年级数学XJ版