第20章 一次函数 回顾反思-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦一次函数的回顾与反思，核心知识点涵盖概念、图象、性质、表达式及应用，关联二元一次方程。课堂通过复习旧知导入，教师引导学生梳理知识结构，回顾作图方法、表达式求解及实际应用注意点，构建知识网络作为学习支架。 资料亮点在于强化数形结合思想，通过例1判断图象象限等例题与变式训练巩固，注重知识结构化与实际应用（如例4湖底压强问题），培养抽象能力、几何直观和模型意识。助力学生深化理解，提升数学思维品质，为教师提供系统复习框架，提高教学效率。

回顾与反思 课题 回顾与反思 课型 新授课 教学内容 教材第97-102页的内容 教学目标 1.通过对本章知识的回顾与梳理,进步感受一次函数这一数学模型既是源于实际，又是解决现实与数学中众多问题的基本工具. 2.通过对一次函数的概念及其图象关系的再认识,进一步感受“数形结合”的美妙及其应用的广泛性. 3.引导学生自主完成对一次函数的概念、性质、表达式的建立及其各种应用的回顾与总结,培养学生的学习能力,提高数学思维品质. 教学重难点 教学重点：掌握一次函数的图象与性质，会用一次函数解决生活中的实际问题. 教学难点：培养学生的学习能力,提高数学思维品质. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知 【知识结构】 老师：同学们，第二十一章我们已经学完了，我们先来总结一下本章的知识结构. 老师：同学们，之前我们学过的概念还记得吗？ 老师：还记得如何画一次函数的图象吗？最少需要几个点的坐标？ 老师：还记得如何求一次函数的表达式吗？ 老师：在用一次函数解决实际问题时，有哪些注意点？如果同一个问题情境中，有两个一次函数图象，你能解释相应的一些实际问题吗？ 老师：一次函数与相应的二元一次方程有什么关系？根据相应的函数图象，你能解决与之相关的二元一次方程的问题吗？ 【总结与反思】 从现实问题建立一次函数模型是强化“符号意识”的过程，这个过程着重体现了抽象与模型化的思想.一次函数的图象，不仅揭示了一次函数的性质，更重要的是凸显了“数形结合”的思想方法. 1.一次函数y=kx+b的图象是直线，故其图象又称为直线y=kx+b. 2.一次函数y=kx+b中的系数k与b决定着它的性质： (1)当k>0时，y随x的增大而增大，图象从左向右是上升的. (2)当k<O时，y随x的增大而减小，图象从左向右是下降的. (3)当b=0时，一次函数y=kx+b化为正比例函数y=kx,它的图象一定经过坐标原点. (4) 当b＞0时，直线y=kx+b与y轴的正半轴相交. (5) 当b＜0时，直线y=kx+b与y轴的负半轴相交. 3.求一次函数的表达式至关重要，它是解决许多实际问题的关键环节.求一次函数表达式的主要方法有： (1)直接列式法:由问题的实际意义直接写出.这种方法的实质是把问题中用文字叙述的数量关系用等式表达出来. (2)待定系数法:根据图象、表格或已知条件确认两个变量成一次函数关系，就可以将表达式设为y=kx+b，利用两组对应值求出k与b的值. 4.正比例函数是一次函数的特例，它们之间是一般与特殊的关系.正比例函数具备一次函数所有的性质，它的特点在于图象必过原点，只需知道另一个点的坐标就可以确定其表达式. 5.一次函数与二元一次方程的关系系体现在： (1)从形式上它们之间可以相互转化. (2)以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的函数图象上；反过来，一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解， 6.一次函数的应用有两个层次: (1)若给出了一次函数的表达式，则可直接应用一次函数的性质解决问题. (2)若问题只提供了一次函数的情境(有时是隐含的表述)，则一般应先求出函数表达式，进而利用性质解决问题. 【注意事项】 1.对于一次函数的概念，要把握函数表达式是自变量的一次式，而与表示自变量的字母无关.例如：y=3x+1,s=2t-5, l=2πR等都是一次函数. 2. 在实际问题中，有时会遇到两个或多个一次函数的图象拼接起来的图象，如图，它便是由两个一次函数的图象组合而成的，对于其中的每一段，我们都可以利用一次函数来解决问题. 2.例题讲解及训练 【知识点一】一次函数的图象 【例1】若k＞0，b＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵k＞0，b＜0，∴y＝kx+b的图象在一、三、四象限． 【答案】B 【变式训练】 1.一次函数y＝3x﹣2的图象大致是（ B ） A． B． C． D． 2.一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ B ） A． B． C． D． 【知识点二】一次函数的性质 【例2】已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限. ∵kb＜0，∴b＞0， ∴图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限． 【答案】C 【变式训练】 3.关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（ C ） A．图象不经过第三象限 B．y随着x的增大而减小 C．图象与x轴交于（﹣2，0） D．图象与y轴交于（0，4） 4.一次函数y＝mx+6（m＜0）的图象经过A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1与y2的大小关系是（ A ） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2 5.一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，下列说法： ①ak＜0；②函数y＝ax+k不经过第一象限；③函数y＝ax+b中，y随x的增大而增大；④3k+b＝3+a，其中说法正确的个数有（ C ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【知识点三】一次函数的表达式 【例3】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的表达式为（ ） A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝x+2或y＝﹣x+2 D．y＝﹣x+2或y＝x﹣2 【解析】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2）， ∴b＝2. 令y＝0，则x＝， ∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2， ∴×2×||＝2，即||＝2，解得：k＝±1， 则函数的表达式是y＝x+2或y＝﹣x+2． 【答案】C 【变式训练】 6.一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（ A ） A． B． C． D． 7.如图．直线l1：与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2经过点A，与y轴负半轴交于点C，且∠BAC＝45°，则直线l2的函数表达式为 ． 【知识点四】一次函数的应用 【例4】如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数表达式为P＝ah+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，a为常数且a＞0，点M的坐标为（34.5，342），根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ） A．湖水面大气压强为76.0cmHg B．函数表达式P＝ah+P0中P的取值范围是P＜342 C．湖水深20m处的压强为256cmHg D．P与h的函数表达式为P＝8h+66（0≤h≤34.5） 【解析】由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，66）和（34.5，342），∴解得 ∴直线的表达式为P＝8h+66，故D正确；青海湖水面大气压强为66.0cmHg，故A错误；根据实际意义，函数的表达式P＝ah+P0中P的取值范围是P≤342，故B错误；将h＝16.4代入表达式，P＝7.1×20+68＝210，即青海湖水深20m处的压强为210cmHg，故C错误． 【答案】D 【变式训练】 8.设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且1≤n≤10）与每年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式y＝1.4n﹣0.5，结论正确的是（ D ） A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元 B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少0.5万元 C．第1年至第5年平均每年的检修费用为3.7万元 D．第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元 9.甲、乙两人从A地出发前往B地，其中甲先出发1h，如图是甲、乙行驶路y甲（单位：km），y乙（单位：km）随甲行驶时间x（单位：h）变化的图象，当乙追上甲时，乙行驶的时间是（ A ） A．2h B．3h C．2.5h D．3.5h 【知识点五】一次函数与二元一次方程的关系 【例5】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【解析】把M（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2， ∴M点的坐标为（2，4）. ∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（2，4），∴关于x，y的二元一次方程组的解是 【答案】B 【变式训练】 10.如图，一次函数的图象与y＝kx+7的图象相交于点A，则方程组的解是（ A ） A． B． C． D． 11.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ D ） A． B． C． D． 3.布置作业 课本P111复习题A组第1-3，5-6，8-10题. 经历一次函数知识点的回顾与反思的过程，梳理知识体系,总结一次函数解决实际问题的方法，更深刻的理解“数形结合”解决问题的作用，积累学生的数学活动经验. 在本节课前，布置学生通览全章，对本章知识进行归纳梳理，试着独立完成知识关联及结构图.在本节课的开始，通过学生的汇总及师生的合作交流，更加深入地完成对本章知识的梳理,形成完整的关系网络及结构. 本章“回顾与反思”的教学,不应满足于事项的泛泛罗列，而应当沿着如下两条路径，设计成有层次的系列问题，引导学生进行讨论，最后形成统一认识. 路径一，沿着知识的深化与细化的方向展开，如: (1)关于一次函数的性质. ①分别根据一次函数的表达式及其图象说明它的性质. ②一次函数的性质在解决实际问题时，是被如何应用的? (2)关于求一次函数的表达式. ①什么情况适于用直接列式法，落实的方法是什么? ②什么情况适于用待定系数法,注意事项是什么? ③用列二元一次方程的方法可以得到一次函数的表达式吗?举例说明. (3)对于本章所体现的函数与方程(不等式)的诸多形式的联系，举例说明. 路径二，沿着知识形成与方法运用再概括的方向展开.如: (1)引导学生反思“函数初步认识—一次函数—对函数的更深认识”这一螺旋进程,感悟“函数模型”的意义及其广泛应用. (2)引导学生反思“成正比的量—正比例函数—一次函数”所体现的认识发展过程,体会“从特殊到一般”认识规律的普遍意义. 对于y＝kx+b（k为常数，k≠0）， 当k＞0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、三象限； 当k＞0，b＜0，y＝kx+b的图象在一、三、四象限； 当k＜0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、四象限； 当k＜0，b＜0，y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 由一次函数y＝kx+b的图象可知，k＜0，b＞0，∴﹣b＜0，∴一次函数y＝﹣bx+k的图象经过二、三、四象限． 一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 图象与x轴交于（2，0）,C错误. ①③错误，②④正确. 本题考查一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积公式，有一定的综合性，注意点的坐标和线段长度的转化． 设正比例函数的表达式为y=kx，只需要一个点的坐标就可以求出k的值. 本题主要考查一次函数的实际应用，涉及一次函数的图象和性质，待定系数法等知识．关键是计算过程中需要结合实际意义． n分别取1、2、5、6、10，求得相应的y值；然后根据选项进行相应的解答． 甲的速度为： 300÷6＝50（km/h）， 乙的速度为： 300÷（5﹣1）＝ 75（km/h）， 设当乙追上甲时，乙行驶的时间是m h， 75m＝50（m+1）， 解得m＝2. 先利用y＝x+2确定M点的坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：由两个函数表达式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 先求交点的坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 先确定两个函数的交点坐标，再把交点坐标逐一代入方程组进行检验，从而可得答案． 学科网（北京）股份有限公司 $