第二十章一次函数考点专练2025-2026学年冀教版八年级数学下册（9考点）

第二十章一次函数考点专练2025-2026学年冀教版 八年级下册（9考点） 考点一：正比例函数与一次函数的定义 1.下列问题中，是正比例函数的关系的是（　　） A．矩形面积一定，长与宽的关系 B．正方形面积和边长的关系 C．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系 D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系 【答案】D． 2.下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣7x B．y＝ C．y＝2x2+1 D．y＝0.6x﹣5 【答案】A． 3.下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 4.若函数y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，则k的值是（　　） A．k≠﹣2 B．k＝±2 C．k＝2 D． 【答案】C． 5.已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数 【答案】A． 考点二：正比例函数的图象与性质 1．下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（　　） A．当x＝3时，y＝1 B．它的图象是一条过原点的直线 C．y随x的增大而减小 D．它的图象经过第二、四象限 【答案】B． 2．P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【答案】B 3.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】D 考点三：一次函数的图象与性质 1.一次函数y＝2（x+1）﹣1不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D． 2．若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 3．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象必经过点（1，3） B．y的值随x值的增大而增大 C．当x＞0时，y＜0 D．它的图象与x轴的交点坐标为（，0） 【答案】D． 4.同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 5.直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 考点四：正比例函数与一次函数的解析式 1.直线y＝kx﹣4经过点（﹣2，2），则该直线的解析式是（　　） A．y＝﹣3x﹣4 B．y＝﹣x﹣4 C．y＝x﹣4 D．y＝3x﹣4 【答案】A． 2.已知y﹣1与x﹣1成正比例，当x＝﹣1时，y＝5，则y与x的函数关系式为 　． 【答案】y＝﹣2x+3． 3.已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；当x＝﹣3时，y＝8． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围， 【答案】解：（1）设这个一次函数的表达式为y＝kx+b， 根据题意得， 解得， ∴这个一次函数的表达式为y＝﹣2x+2； （2）当x＝﹣1时，y＝﹣2x+2＝2+2＝4； 当x＝2时，y＝﹣2x+2＝﹣4+2＝﹣2， ∴当﹣1≤x≤2时，对应的函数y的取值范围为﹣2≤y≤4． 考点五：一次函数与方程（组） 1.已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n＝0的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D． 【答案】D 2.画函数y＝kx+b图象时，列表如下，由表可知方程kx+b＝0的根x0最精确的范围是（　　） x ﹣3 0 1 3 4 y ﹣10 ﹣4 ﹣2 2 4 A．﹣3＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜4 D．1＜x0＜3 【答案】D． 3．如图，直线与直线相交于点P(a，2)，则关于x的方程 的解为 ． 【答案】x=1 4．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 考点六：一次函数与不等式（组） 1.函数、为常数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 2.在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象，如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，可以得出不等式组的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜4 D．x＞4 【答案】D． 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．    【答案】/ 考点七：一次函数与面积问题 1．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 【答案】 2.已知函数y1＝（m+1）x﹣m2+1（m是常数）． （1）m为何值时，y1随x的增大而减小； （2）m满足什么条件时，该函数是正比例函数？ （3）若该函数的图象与另一个函数y2＝x+n（n是常数）的图象相交于点（m，3），求这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积． 【答案】解：（1）由题意：m+1＜0， ∴m＜﹣1， 即m＜﹣1时，y随x的增大而减小； （2）若该函数是正比例函数，则m+1≠0，﹣m2+1＝0， ∴m＝1， 即m＝1时，该函数是正比例函数； （3）∵两个的图象相交于点（m，3）， ∴m（m+1）﹣m2+1＝3， ∴m＝2， ∴交点坐标为（2，3）， ∴该点到y轴的距离为2， 将m＝2代入y1＝（m+1）x﹣m2+1，得：y1＝3x﹣3， 将交点坐标（2，3）代入y2＝x+n，得：n＝1， ∴y2＝x+1， ∴两个函数图象与y轴的交点坐标分别为（0，﹣3）和（0，1）， ∴所围成的三角形的面积为：[1﹣（﹣3）]×2÷2＝4． 3．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像经过点，与y轴交点为C，与x轴交点为D． (1)求一次函数的解析式； (2)点P是x轴上一点，且的面积是的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【详解】（1） 解： 点在正比例函数的图象上， ， ． 点坐标为． 又点、在一次函数的图象上 ，解得：，一次函数解析式为． （2）解：令中，则， ， ． 设点P的坐标为， 的面积是的2倍， ， 解得或， 点P的坐标为或． 考点八：一次函数应用题 1.甲车从A地出发匀速向B地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，甲车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）甲车速度为　 　km/h，乙车速度为　 　km/h； （2）求乙车行驶过程中，y与x的函数关系式； （3）在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？ 【答案】（1）100，60； （2）y＝﹣60x+480（0≤x≤8）； （3）2.5小时或3.5小时． 【解答】解：（1）由图象可得， 甲车速度为：480÷4.8＝100（km/h），乙车的速度为：480÷8＝60（km/h）， 故答案为：100，60； （2）设y与x的关系式为y＝kx+b（k≠0）， ∵点（0，480），（8，0）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣60x+480（0≤x≤8）； （3）由题意可得， 当两车相距80千米时，则（100+60）x+80＝480或（100+60）x﹣80＝480， 解得x＝2.5或x＝3.5， 答：在行驶过程中，两车出发2.5小时或3.5小时时，两车相距80千米． 2．为响应地摊经济，小宁准备购进和两种唱片进行售卖，其中唱片单价为每张40元，唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数） (1)求出唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）的函数关系式； (2)若小宁打算购进两种唱片共150张，其中唱片的数量不少于40张，唱片数量不少于唱片数量的一半，设购进，两种唱片的总购进费用为元，则如何设计购进方案，才能使总购进费用元最少？ 【答案】(1) (2)购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 将代入，得，解得. 当时，与的函数关系式为， 当时，设与的函数关系式为， 将，代入，得 ，解得. 当时，与的函数关系式为． 综上所述，与的函数关系式为． （2）设购进唱片的数量为张，则购进唱片的数量为张，根据题意，得 ，解得，且为整数. . ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， （元）. 购进唱片的数量为：（张）， 答：购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少． 3.某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进两种练习本500本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为W元； ①求W关于m的函数关系式，并求出自变量m的取值范围； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；（2）①W＝﹣2m+1500（375≤m≤500）；②当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元． 【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元， 由题意可得：， 解得， 答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元； （2）①购买普通练习本m个，则购买精装练习本（500﹣m）个， 由题意可得：W＝（3﹣2）m+（10﹣7）（500﹣m）＝﹣2m+1500， ∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍， ∴m≥3（500﹣m）， 解得x≥375， 即W关于x的函数关系式是；W＝﹣2m+1500（375≤m≤500）； ②∵W＝﹣2m+1500， ∴W随x的增大而减小， ∵375≤m≤500， ∴当m＝375时，W取得最大值，此时W＝750，500﹣m＝125， 答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元． 考点九：一次函数与几何综合 1.如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（　　） A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝x+2 D．y＝﹣2x+2 【答案】B． 2．如图，直线l1的函数表达式为y＝x+2，且l1与x轴交于点A，直线l2经过定点B（4，0），C（﹣1，5），直线l1与l2交于点D． (1) 求直线l2的函数表达式； (2) 求△ADB的面积； (3) 在x轴上是否存在一点E，使△CDE的周长最短？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：设l2的解析式是y=kx+b， 根据题意得：，解得：， 则函数的解析式是：y=-x+4； （2）解：在y=x+2，中令y=0，解得：x=-4，则A的坐标是（-4，0）． 解方程组，得：， 则D的坐标是（． 则S△ADB=×=； （3）解： D（2，2）关于x轴的对称点是D′（2，-2）， 则设经过（2，-2）和点C的函数解析式是y=mx+n， 则， 解得：， 则直线的解析式是y=-x+． 令y=0，-x+=0，解得：x=． 则E的坐标是（，0）． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(OA<OB)是方程组的解，点C是直线与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=   (1) 求点C的坐标；   (2) 求直线AD的解析式；   (3) P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形（邻边相等的平行四边形）?若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）解，得， 即A（6，0）、B（0，12）．设直线AB的解析式y＝kx＋b， 把A、B点的坐标代入函数解析式，得， 解得． 直线AB的解析式y＝−2x＋12， 由点C是直线y＝2x与直线AB的交点， 得， 解得,C点的坐标是（3，6）； （2）由点D在线段OC上，OD＝， 得，解得，即D点坐标是（2，4） 设AD的函数解析式为y＝kx＋b，把A、D点的坐标代入，得 ，解得． AD的函数解析式为y＝−x＋6； （3）过D作DF⊥x轴，由（2）中D的坐标可知，则DF＝AF＝4，所以∠OAD＝45°，因为以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，所以需分情况讨论： 若P在x轴上方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ＝OA＝6＝AP，过P作PM⊥x轴， 如图所示， 因为∠OAD＝45°，由三角函数可得PM=AM＝＝3，OM＝6−3，即P（6−3，3）， 所以Q的横坐标为6−3−6＝−3，Q1（−3，3）； 若P在x轴下方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ＝OA＝6＝AP．过P作PM⊥x轴， 如图所示， 因为∠MAP＝∠OAD＝45°，由三角函数得到PM＝AM=＝3，OM＝6＋3，即P（6＋3，−3）， 所以Q的横坐标为6＋3−6＝3，Q2（3，−3）； 若Q在x轴上方，OAQP是菱形，则∠OAQ＝2∠OAD＝90°，所以此时OAQP是正方形． 又因正方形边长为6，所以此时Q3（6，6）； 若Q在x轴下方，OPAQ是菱形，则∠PAQ＝2∠OAD＝90°， 所以此时OPAQ是正方形．又因正方形对角线为6， 由正方形的对称性可得Q4（3，−3）． 【答案】 第二十章一次函数考点专练2025-2026学年冀教版 八年级下册（9考点） 考点一：正比例函数与一次函数的定义 1.下列问题中，是正比例函数的关系的是（　　） A．矩形面积一定，长与宽的关系 B．正方形面积和边长的关系 C．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系 D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系 【答案】D． 2.下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣7x B．y＝ C．y＝2x2+1 D．y＝0.6x﹣5 【答案】A． 3.下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 4.若函数y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，则k的值是（　　） A．k≠﹣2 B．k＝±2 C．k＝2 D． 【答案】C． 5.已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数 【答案】A． 考点二：正比例函数的图象与性质 1．下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（　　） A．当x＝3时，y＝1 B．它的图象是一条过原点的直线 C．y随x的增大而减小 D．它的图象经过第二、四象限 【答案】B． 2．P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【答案】B 3.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】D 考点三：一次函数的图象与性质 1.一次函数y＝2（x+1）﹣1不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D． 2．若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 3．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象必经过点（1，3） B．y的值随x值的增大而增大 C．当x＞0时，y＜0 D．它的图象与x轴的交点坐标为（，0） 【答案】D． 4.同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 5.直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 考点四：正比例函数与一次函数的解析式 1.直线y＝kx﹣4经过点（﹣2，2），则该直线的解析式是（　　） A．y＝﹣3x﹣4 B．y＝﹣x﹣4 C．y＝x﹣4 D．y＝3x﹣4 【答案】A． 2.已知y﹣1与x﹣1成正比例，当x＝﹣1时，y＝5，则y与x的函数关系式为 　． 【答案】y＝﹣2x+3． 3.已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；当x＝﹣3时，y＝8． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围， 【答案】解：（1）设这个一次函数的表达式为y＝kx+b， 根据题意得， 解得， ∴这个一次函数的表达式为y＝﹣2x+2； （2）当x＝﹣1时，y＝﹣2x+2＝2+2＝4； 当x＝2时，y＝﹣2x+2＝﹣4+2＝﹣2， ∴当﹣1≤x≤2时，对应的函数y的取值范围为﹣2≤y≤4． 考点五：一次函数与方程（组） 1.已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n＝0的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D． 【答案】D 2.画函数y＝kx+b图象时，列表如下，由表可知方程kx+b＝0的根x0最精确的范围是（　　） x ﹣3 0 1 3 4 y ﹣10 ﹣4 ﹣2 2 4 A．﹣3＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜4 D．1＜x0＜3 【答案】D． 3．如图，直线与直线相交于点P(a，2)，则关于x的方程 的解为 ． 【答案】x=1 4．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 考点六：一次函数与不等式（组） 1.函数、为常数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 2.在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象，如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，可以得出不等式组的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜4 D．x＞4 【答案】D． 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．    【答案】/ 考点七：一次函数与面积问题 1．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 【答案】 2.已知函数y1＝（m+1）x﹣m2+1（m是常数）． （1）m为何值时，y1随x的增大而减小； （2）m满足什么条件时，该函数是正比例函数？ （3）若该函数的图象与另一个函数y2＝x+n（n是常数）的图象相交于点（m，3），求这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积． 【答案】解：（1）由题意：m+1＜0， ∴m＜﹣1， 即m＜﹣1时，y随x的增大而减小； （2）若该函数是正比例函数，则m+1≠0，﹣m2+1＝0， ∴m＝1， 即m＝1时，该函数是正比例函数； （3）∵两个的图象相交于点（m，3）， ∴m（m+1）﹣m2+1＝3， ∴m＝2， ∴交点坐标为（2，3）， ∴该点到y轴的距离为2， 将m＝2代入y1＝（m+1）x﹣m2+1，得：y1＝3x﹣3， 将交点坐标（2，3）代入y2＝x+n，得：n＝1， ∴y2＝x+1， ∴两个函数图象与y轴的交点坐标分别为（0，﹣3）和（0，1）， ∴所围成的三角形的面积为：[1﹣（﹣3）]×2÷2＝4． 3．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像经过点，与y轴交点为C，与x轴交点为D． (1)求一次函数的解析式； (2)点P是x轴上一点，且的面积是的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【详解】（1） 解： 点在正比例函数的图象上， ， ． 点坐标为． 又点、在一次函数的图象上 ，解得：，一次函数解析式为． （2）解：令中，则， ， ． 设点P的坐标为， 的面积是的2倍， ， 解得或， 点P的坐标为或． 考点八：一次函数应用题 1.甲车从A地出发匀速向B地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，甲车行驶速度比乙车快，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）甲车速度为　 　km/h，乙车速度为　 　km/h； （2）求乙车行驶过程中，y与x的函数关系式； （3）在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？ 【答案】（1）100，60； （2）y＝﹣60x+480（0≤x≤8）； （3）2.5小时或3.5小时． 【解答】解：（1）由图象可得， 甲车速度为：480÷4.8＝100（km/h），乙车的速度为：480÷8＝60（km/h）， 故答案为：100，60； （2）设y与x的关系式为y＝kx+b（k≠0）， ∵点（0，480），（8，0）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣60x+480（0≤x≤8）； （3）由题意可得， 当两车相距80千米时，则（100+60）x+80＝480或（100+60）x﹣80＝480， 解得x＝2.5或x＝3.5， 答：在行驶过程中，两车出发2.5小时或3.5小时时，两车相距80千米． 2．为响应地摊经济，小宁准备购进和两种唱片进行售卖，其中唱片单价为每张40元，唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数） (1)求出唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）的函数关系式； (2)若小宁打算购进两种唱片共150张，其中唱片的数量不少于40张，唱片数量不少于唱片数量的一半，设购进，两种唱片的总购进费用为元，则如何设计购进方案，才能使总购进费用元最少？ 【答案】(1) (2)购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 将代入，得，解得. 当时，与的函数关系式为， 当时，设与的函数关系式为， 将，代入，得 ，解得. 当时，与的函数关系式为． 综上所述，与的函数关系式为． （2）设购进唱片的数量为张，则购进唱片的数量为张，根据题意，得 ，解得，且为整数. . ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， （元）. 购进唱片的数量为：（张）， 答：购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少． 3.某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进两种练习本500本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为W元； ①求W关于m的函数关系式，并求出自变量m的取值范围； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；（2）①W＝﹣2m+1500（375≤m≤500）；②当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元． 【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元， 由题意可得：， 解得， 答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元； （2）①购买普通练习本m个，则购买精装练习本（500﹣m）个， 由题意可得：W＝（3﹣2）m+（10﹣7）（500﹣m）＝﹣2m+1500， ∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍， ∴m≥3（500﹣m）， 解得x≥375， 即W关于x的函数关系式是；W＝﹣2m+1500（375≤m≤500）； ②∵W＝﹣2m+1500， ∴W随x的增大而减小， ∵375≤m≤500， ∴当m＝375时，W取得最大值，此时W＝750，500﹣m＝125， 答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元． 考点九：一次函数与几何综合 1.如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（　　） A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝x+2 D．y＝﹣2x+2 【答案】B． 2．如图，直线l1的函数表达式为y＝x+2，且l1与x轴交于点A，直线l2经过定点B（4，0），C（﹣1，5），直线l1与l2交于点D． (4) 求直线l2的函数表达式； (5) 求△ADB的面积； (6) 在x轴上是否存在一点E，使△CDE的周长最短？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：设l2的解析式是y=kx+b， 根据题意得：，解得：， 则函数的解析式是：y=-x+4； （2）解：在y=x+2，中令y=0，解得：x=-4，则A的坐标是（-4，0）． 解方程组，得：， 则D的坐标是（． 则S△ADB=×=； （3）解： D（2，2）关于x轴的对称点是D′（2，-2）， 则设经过（2，-2）和点C的函数解析式是y=mx+n， 则， 解得：， 则直线的解析式是y=-x+． 令y=0，-x+=0，解得：x=． 则E的坐标是（，0）． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(OA<OB)是方程组的解，点C是直线与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=   (1) 求点C的坐标；   (2) 求直线AD的解析式；   (3) P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形（邻边相等的平行四边形）?若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）解，得， 即A（6，0）、B（0，12）．设直线AB的解析式y＝kx＋b， 把A、B点的坐标代入函数解析式，得， 解得． 直线AB的解析式y＝−2x＋12， 由点C是直线y＝2x与直线AB的交点， 得， 解得,C点的坐标是（3，6）； （2）由点D在线段OC上，OD＝， 得，解得，即D点坐标是（2，4） 设AD的函数解析式为y＝kx＋b，把A、D点的坐标代入，得 ，解得． AD的函数解析式为y＝−x＋6； （3）过D作DF⊥x轴，由（2）中D的坐标可知，则DF＝AF＝4，所以∠OAD＝45°，因为以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，所以需分情况讨论： 若P在x轴上方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ＝OA＝6＝AP，过P作PM⊥x轴， 如图所示， 因为∠OAD＝45°，由三角函数可得PM=AM＝＝3，OM＝6−3，即P（6−3，3）， 所以Q的横坐标为6−3−6＝−3，Q1（−3，3）； 若P在x轴下方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ＝OA＝6＝AP．过P作PM⊥x轴， 如图所示， 因为∠MAP＝∠OAD＝45°，由三角函数得到PM＝AM=＝3，OM＝6＋3，即P（6＋3，−3）， 所以Q的横坐标为6＋3−6＝3，Q2（3，−3）； 若Q在x轴上方，OAQP是菱形，则∠OAQ＝2∠OAD＝90°，所以此时OAQP是正方形． 又因正方形边长为6，所以此时Q3（6，6）； 若Q在x轴下方，OPAQ是菱形，则∠PAQ＝2∠OAD＝90°， 所以此时OPAQ是正方形．又因正方形对角线为6， 由正方形的对称性可得Q4（3，−3）． 学科网（北京）股份有限公司 $