20.5 一次函数与二元一次方程的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦一次函数与二元一次方程的关系，通过复习二元一次方程的概念、解的判断等旧知，搭建学习支架，自然衔接新知，引导学生探究两者内在联系。 以“x+y=1变形为y=-x+1”为例，通过计算解、描点作图，从“数”与“形”结合培养几何直观，例题中两直线交点对应方程组的解，发展推理意识，随堂训练强化应用，助力学生构建知识体系，提升教师教学效率。

20.5 一次函数与二元一次方程的关系 课题 一次函数与二元一次方程的关系 课型 新授课 教学内容 教材第94-96页的内容 教学目标 1.体会一次函数与二元一次方程的关系. 2.感悟数学知识之间的内在联系. 3.认识到通过建立两个变量的一次等式（即二元一次方程），就可得到它们之间的一次函数关系. 教学重难点 教学重点：体会一次函数与二元一次方程的关系. 教学难点：应用一次函数与二元一次方程的关系解决问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 老师：我们一起回忆一下二元一次方程的内容，解答下面的题目. 1.若mx-4y=3x-7是二元一次方程，则m满足的条件是（ ） A.m≠-2 B.m≠0 C.m≠-1 D.m≠3 老师：我们回忆一下，什么样的方程是二元一次方程呢？ 老师：若mx-4y=3x-7是二元一次方程，需要满足什么条件？ 2.下面四组数值中，哪组是二元一次方程x+2y=5的解（ ） A. B. C. D. 老师：什么是二元一次方程的解？ 老师：如何判断哪组是二元一次方程x+2y=5的解？ 老师：实际上，一次函数与二元一次方程之间具有密切的联系，用不同的观点进行解释，二者可以互相转化.我们这节课一起来研究一下吧. 2.类比探究，学习新知 【一起探究】 1. 二元一次方程x+y=1可以变形为一次函数y=-x+1，当x=-2，-1，0，1，2，3时，分别写出二元一次方程x+y=1的解和一次函数y=-x+1所对应的点的坐标，并探究它们之间的关系. 【师生互动】 老师：当x=-2，-1，0，1，2，3时，二元一次方程x+y=1的解怎么求呢？ 学生：分别将x的值代入二元一次方程x+y=1，解关于y的方程即可. 老师：当x=-2，-1，0，1，2，3时，一次函数y=-x+1所对应的点的坐标如何求呢？ 学生：分别代入一次函数y=-x+1，直接求y值. 老师:同学们试着求一求. 预设：当x=-2，-1，0，1，2，3时，二元一次方x+y=1的解分别是 一次函数y=-x+1所对应的点的坐标为（-2,3）,（-1，2）,（0,1）,（1,0）, (2,-1), (3.-2). 2.在图20.5-1所示的平面直角坐标系中，画出一次函数y=-x+1的图象. 师生活动：学生根据已求出的点的坐标，描点、连线作图. 预设： 老师：同学们观察一下二元一次方x+y=1的解所对应的点是否都在一次函数y=-x+1的图象上. 学生：在. 老师：一次函数y=-x+1的图象上的点坐标与二元一次方程的解有什么关系. 学生：一次函数y=-x+1的图象上的点坐标，恰好是这个二元一次方程的解. 3.（1）若点P（a，b)在一次函数y=-x+1的图象上，则是二元一次方程x+y=1的一组解吗？ (2) 若是二元一次方程x+y=1的一组解，则坐标为（a，b)的点是否在一次函数y=-x+1的图象上？ 【师生活动】 老师：如何验证是不是二元一次方程x+y=1的一组解呢？ 学生：看看是否满足二元一次方程x+y=1即可，即 老师：点P（a，b)在一次函数y=-x+1的图象上，那么点P（a，b)满足一次函数的解析式吗？ 学生：满足. 老师：那么可以得到怎样的等式呢？ 学生：b=－a+1. 老师：那么现在可以判断是不是二元一次方程x+y=1的一组解呢？ 学生：可以,将b=－a+1移项，得a＋b=1，所以是二元一次方程x+y=1的一组解. 老师：很好，那么反过来，同学们能不能试着完成第（2）题呢？ 学生：…… 预设：∵是方程x+y=1的一组解象上，∴a＋b=1， ∴b=－a+1，∴点P（a，b)在一次函数y=-x+1的图象上. 【课堂小结】 通过上面的探究活动，我们发现：以二元一次方程x+y=1的解为坐标的点都在一次函数y=-x+1的图象上；反过来一次函数y=-x+1图象上的点的坐标都是二元一次方程x+y=1的解. 事实上，我们把二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)变形为y=﹣x+ 后,原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式.当x，y表示未知数时，ax+by=c就是二元一次方程. 当x，y表示变量时，y=﹣x+ 就是一次函数.且有如下结论： 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上；反过来，一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解. 【例题讲解】 1. 已知直线l1：y=﹣x+3和直线l2：y=x－2. (1)在同一平面直角坐标系中，画出直线l1和直线l2的图象. (2)若直线l1与直线l2相交于点P，求点P的坐标. 师生活动：先让学生独立完成第（1）题，教师巡视观察学生的作图情况，对作图不熟练的同学进行指导，然后引导学生从一次函数与二元一次方程的关系的角度思考第（2）题. 【规范解答】 解：（1）图象如图20.5-2所示： （2）我们知道，一次函数y=﹣x+3的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程2x+3y=9的解.同理，y=x－2图象上任意一点的坐标也都是二元一次方程x－y=2的解.所以，直线l1与直线l2的交点P的坐标就是二元一次方程2x+3y=9和x－y=2的公共解，即为的解.因此，解方程组得所以，点P的坐标为（3,1）. 【课堂小结】 两个一次函数图象的交点坐标是它们对应的二元一次方程组的解；反过来以二元一次方程组的解为坐标的点是这两个一次函数图象的交点. · 用图象法解二元一次方程组的基本步骤： (1)将方程组中的两个方程转化成一次函数y＝kx＋b 的形式 (2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象； (3)利用图象的直观性确定交点坐标． 3.随堂训练，巩固新知 1.把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b的形式，并画出这个一次函数的图象. 【师生互动】 老师：如何改写呢？ 老师：画一次函数的图象，需要注意哪些问题？ 答案:y=x-.作图略. 2.写出二元一次方程2x-y=1的三个解，以方程的解为坐标在直角坐标系中画点，这些点是否都在一次函数y=2x-1的图象上? 老师：二元一次方程2x-y=1的解该如何确定？有多少组？ 老师：二元一次方程2x-y=1与一次函数y=2x-1有什么关系？ 答案:（答案不唯一）.都在，组图略. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）一次函数与二元一次方程有怎样的关系？ （2）两个一次函数的交点坐标与它们对应的二元一次方程组的解有怎样的关系？ 5.布置作业 课本P96习题第1-5题. 复习七年级学过的二元一次方程的知识，解答与二元一次方程有关的问题，尤其是二元一次方程的解的问题，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数与二元一次方程的关系.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 通过一个具体的例子来说明:以一个二元一次方程的解(有序数对)为坐标的点,它们的集合恰好是坐标系里的一条直线. 引导学生通过画图、观察、操作，获得两个方面的感悟和认同，一是该方程所有的解对应的点，都在同一条直线上;二是该直线上的每一个点的坐标，又恰好是这个二元一次方程的解. “一起探究”的目的是使学生搞清楚： 第一，从式的变形角度认识一次函数与二元一次方程的一致性； 第二，从图象和解集对应的点集的重合，认识一次函数与二元一次方程的一致性. 对于二元一次方程和一次函数的关系,可以从三个角度来看: 函数角度:在关于x和y的二元一次方程ax+by=c(a,b均不为0)中,对于x的每一个值，都有y的唯一确定的值与之对应，可知变量y是变量x的函数.可见，二元一次方程实际上是确定了两个未知量(变量)间的一种函数关系. 方程角度:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0),可变形为二元一次方程的标准形式y-kx=b,一般地，一次函数，可以变形为ax+by=c(a,b均不为0).由此看来,二元一次方程与一次函数完全是等价的. 图形角度:从对应的“形”来看，以满足二元一次方程ax+by =c的有序数对(解)为坐标的点集,恰好是一次函数的图象. 让学生意识到，求点P的坐标是二元一次方程2x+3y=9和x-y=2的公共解. 通过学生动手绘制图象和观察图象的变化趋势，帮助学生直观理解一次函数与二元一次方程组的关系，特别是从“数”和“形”两个角度理解方程组的解.教师通过引导和总结，帮助学生形成系统的知识结构，培养学生的观察能力和逻辑推理能力. 通过随堂训练，进一步加深学生对一次函数与二元一次方程关系的理解. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 20.5 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系： 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上；反过来，一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解. 2.两个一次函数的交点坐标与它们对应的二元一次方程组的解的关系: 两个一次函数图象的交点坐标是它们对应的二元一次方程组的解；反过来以二元一次方程组的解为坐标的点是这两个一次函数图象的交点. 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $