20.4 一次函数的应用（第3课时）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦一次函数的应用，核心为同一情境中两个一次函数的比较。通过传统秤称重情境导入，分析数据错误复习待定系数法，衔接上节课一次函数基础，自然引出两函数比较的新内容，搭建学习支架。 此资料以数形结合为特色，通过行程问题、租房问题等实际情境，引导学生从图象和表达式两方面比较函数值，培养几何直观与推理意识。师生互动中辨析乙的函数关系式等易错点，强化模型意识，助力学生提升用数学解决实际问题的能力，教师使用时重点突出且易操作。

20.4 一次函数的应用 第2课时 一次函数的应用3 课题 一次函数的应用 课型 新授课 教学内容 教材第89-93页的内容 教学目标 1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式. 2.学会从文字、表格、图象等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系. 3.在同一个问题情境中出现两个一次函数时，借助对两个一次函数进行某种比较，解决有关的问题. 教学重难点 教学重点：在同一个问题情境中出现两个一次函数时，借助对两个一次函数进行某种比较，解决有关的问题. 教学难点：学会从文字、表格、图象等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 秤是我国传统的计重工具．为了方便了人们的生活．如图，我们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数． 表中为若干次称重时所记录的一些数据．在如表x,y的数据中，发现有一对数据（x,y）记录错误．当y为7斤时，对应的水平距离为 . 【师生互动】 老师：y与x之间是什么函数关系？题目中说了吗？ 学生：说了，是一次函数关系. 老师：一次函数关系有什么特点呢？回忆一下我们上节课学过的. 学生：是“匀速”变化的. 老师：很好，根据这个思路，自己找一找，哪一对数据是记录错误的？ 学生：（4,2.00）是错误的. 老师：要想知道当y为7斤时，对应的水平距离，我们需要先求什么？ 学生：先求函数表达式. 老师：如何求函数表达式呢？ 学生：找出两个点，用待定系数法求解. 老师：很对，求出函数表达式后，再结合“方程”的思路，我们就能把这个题目解决了.自己试着做一做吧. 老师：这是一个一次函数的实际问题.对于在同一个问题情境中出现两个一次函数的实际问题，我们应该如何处理呢？我们这节课一起来研究一下吧. 2.类比探究，学习新知 【例题讲解】 例 甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶，出发3 h后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为 25 km/h. (1)设甲离开出发地的时间为x(h)，求： ①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围. ②乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围. (2)在同一直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图象，并结合实际问题，解释两图象交点的意义. 【师生互动】 老师：本题是行程问题，行程问题中的数量关系大家还记的吗？ 学生：速度×时间=路程. 老师：自变量x代表的是什么？ 学生：甲离开出发地的时间. 老师：甲的速度是多少？ 学生：10 km/h. 老师：甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式怎么写？ 学生：y=10x. 老师：乙的速度是多少？ 学生：25 km/h. 老师：乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式怎么写？ 学生1：y=25x. 学生2：y=25（x-3）. 老师：怎么不一样啊？x-3表示的什么？为什么不是x？同学们讨论一下吧. 老师：甲出发3小时后，乙才出发，所以是x-3，对不对？ 学生：对. 老师：两个图象的交点表示什么意思呢？大家讨论一下. 结论:两直线交点的意义： (1)几何意义：两直线交点是它们的公共点； (2)代数意义：两直线交点的坐标同时满足两个解析式. 【规范解答】 解：(1)由公式s=vt，得 ①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x. 自变量x的取值范围为x≥0. ②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3)， 即y=25x-75. 自变量x的取值范围为x≥3. (2)以上两个函数的图象如图20.4-5所示. 两个函数图象的交点坐标是(5，50)，即甲出发5 h后被乙追上(或乙出发2 h后追上甲).此时，两人距离出发地50 km. 【大家谈谈】 对于上例中甲、乙行驶的情况，你能借助图20.4-5解释“乙出发多少小时后可以超过甲”这一问题吗？还有其他方法解答这个问题吗？ 【师生互动】 老师：“乙超过甲”表示什么意思？ 学生：乙行驶到甲的前面. 老师：观察画出的两个一次函数图象，以交点为界，交点对应的横坐标前面的时间，谁在前面？交点后面呢？ 预设：交点之前，甲在前；交点之后，乙在前. 老师：两图象的上下关系与25（x-3）=10x，25（x-3）>10x，25（x-3）<10x之间有怎样的对应关系？ 结论：利用图象比较函数值的方法: （1）先找交点坐标，交点处y1=y2； （2）再看交点左右两侧，图象位于上方的直线函数值较大. 【课堂小结】 由此可以看出,有些一元一次方程和一元次不等式问题，可以借助一次函数来考虑.借助一次函数的图象，往往能使方程和不等式的意义更加直观和形象. 【一起探究】 某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司，欲租一处临街房屋.现有甲、乙两家出租屋，甲家已经装修好，每月租金为3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格，则需要花装修费4万元. (1)设租用时间为x个月，承租房屋所付租金为y元，分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式. (2)根据求出的两个函数表达式，试判断租用哪家的房屋更合算. 【师生互动】 老师：针对上面的问题，你能分别写出租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式吗？ 老师：你是怎么理解“租用哪家的房屋更合算”的？ 老师：你打算如何求解第（2）问呢？自己试着做一做. 老师：我们一起来看一下课本上小亮和小丽的做法吧. 小亮的做法： (1)租用甲家房屋时，y=3000x； 租用乙家房屋时，y=2000x+40000. (2)①由3000x=2000x+40000，解得x=40. 即当租用40个月时，无论是租用哪一家，租金都相同. ②由3000x>2000x+40000，解得x>40. 即当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算. ③由3000x<2000+40000，解得x<40. 即当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算. 小丽的做法： (1)同小亮的做法. (2)在同一直角坐标系中，分别画出y=3000x，y=2000x+40000这两个函数的图象. 观察图象可知，当租用40个月时，甲、乙两家的租金相同；当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算；当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算. 【大家谈谈】 （1）小亮和小丽的做法都正确吗？ （2）小亮和小丽的做法有什么不同？ （3）你是怎么做的？与同学交流你的做法. 3.随堂训练，巩固新知 1.某工厂开发生产一种新产品，前期投入150000元.生产时，每件成本为25元，每件销售价为40元.设生产x件时，总成本(包括前期投入)为m元，销售额为n元. (1)分别求出m,n与x之间的函数关系式. (2)至少生产并销售多少件产品后，工厂才会有盈利？ 答案：1.(1)m=25x+150000,n=40x. (2)40x>25x+150000,x>10000. 至少生产并销售10000件以上 2.A,B两地相距36 km,甲、乙二人分别从A地和B地同时出发，相向而行.他们距A地的路程s(km)和出发后的时间t(h)之间的函数关系的图象如图所示. (1)甲行驶了几小时到达B地，乙行驶了几小时到达A地？ (2)分别写出甲、乙二人距A地的路程s与时间t之间的函数关系式. (3)求出两个图象交点的坐标，并解释交点坐标所表示的实际意义. 答案：(1)甲行驶了4.5小时到达B地，乙行驶了6小时到达A地. (2)甲：s=8t.乙：s=-6t+36. （3）交点. 甲、乙两人在出发h的时候，在离A地km处相遇. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）两个一次函数交点的意义是什么？ （2）如何利用图象比较函数值的大小？ （3）如何利用关系式表达函数值的大小？ 5.布置作业 课本P104习题A组第1，2题. 根据前面学习的一次函数的应用，引导同学们复习以前的知识，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——两个一次函数的应用.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 从x从1厘米增加到2厘米，y增加0.25斤；x从11厘米到12厘米，y增加0.25斤，而x从2厘米增加到4厘米，y增加了1斤，故x=4，y=2.00这组数据错误. y与x的函数表达式为y=0.25x+0.50， 当y=7时，7=0.25x+0.50， 解得x=26， 即当y为7斤时， 对应的水平距离为26 cm. 本课时研究的主要内容是在同一个问题情境中，出现两个一次函数，借助对两个一次函数进行某种比较，解决有关的问题. 在求乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式时，会有同学写成y=25x，造成错误的原因是x表示的意义不明确，误以为x代表的是乙行驶的时间，通过学生组内“讨论与辨析”真正解决这个易错点. 要求学生在同一坐标系中画出两个函数的图象，使两个函数的比较以直观的形式呈现出来，这又一次展现了“数形结合”的美妙作用. 在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象后，引导同学们讨论两图象的关系（相交、在上面、在下面）与25（x-3）=10x，25（x-3）>10x，25（x-3）<10x之间有怎样的对应关系. 当x>5时，y=25（x-3）的图象在y=10x的图象的上方，说明乙出发2小时后，乙可以超过甲. 还可以用25z>10(z+ 3)来解决这个问题，其中z表示乙离开出发地的时间. 应让学生自己先思考如何解决这个问题，确定解决方案，然后再阅读小亮与小丽的做法. 关于“一起探究”的教学,应当从如下两个方面展开并使认识强化: (1)用数学解决现实问题，很重要的一项任务就是求得某个过程的优化方案，“一起探究"所给出的就是这样一个问题情境.而优化方案的获得，多是以“比较”为基础或手段的.教学应从这一基本认识开始，并使这一认识得到强化. (2)数学中的“比较”，主要有两条途径，一是通过数量相减比大小,a-b>0,a- b=0，a-b<0分别对应于a>b,a=b,a<b;二是借助图形关系比大小(如用叠合法比较两条线段的长短和两个角的大小).两个一次函数比较大小,用“式”比较和用“图象”比较,正与上述两条途径一脉相承.我们的教学，可以并且应当让学生从更广的范围、更高的层次认识数学知识和数学方法的关联性与一致性. . 让学生掌握解决实际问题的通用步骤（设解析式→求系数→计算→决策），提升数学建模能力. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 20.4 一次函数的应用 第3课时 一次函数的应用3 1．两个一次函数交点的意义：几何意义、代数意义 2．利用图象比较函数值的大小 3．利用关系式比较函数值的大小 4. 核心思想：数形结合：图象→数据→实际问题；表达式→计算→实际决策 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $