20.4 一次函数的应用（第2课时）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“一次函数的应用2”，核心为通过函数图象解决实际问题。课堂导入先复习一次函数表达式确定条件及待定系数法，再引导观察图象获取k、b符号等信息，搭建新旧知识桥梁。 此资料亮点在于以实际问题为载体，如托运行李费用、警车余油量等情境，引导学生用数学眼光观察图象中的变量关系，通过师生互动推理函数类型及表达式，培养几何直观与推理意识。分段函数教学（如出租车计费）强化模型意识，提升学生应用能力，也为教师提供清晰教学路径，助力高效课堂。

20.4 一次函数的应用 第2课时 一次函数的应用2 课题 一次函数的应用2 课型 新授课 教学内容 教材第85-89页的内容 教学目标 1.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题. 2.通过对函数图象的观察与分析，培养数形结合的意识，通过具体问题的解决，培养数学应用能力. 3.在解决问题的过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识之间的联系. 教学重难点 教学重点：能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题. 教学难点：在解决问题的过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识之间的联系. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 提问：“确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？”， 预设：“正比例函数需 1 个条件（非原点的点或一组对应值），一次函数需 2 个条件（两个点或两组对应值）”. 追问：“我们常用什么方法求一次函数的表达式？”， 预设：“待定系数法” 后，快速回顾待定系数法的步骤（设解析式→代入已知点→解方程组→写解析式）. 看图思考：你从下面的一次函数图象中可获得哪些信息？ 师生活动：学生观察并思考，举手回答，教师点评总结. 预设： （1）由一次函数的图象可以确定k和b的符号； （2）由一次函数的图象可以估计函数的变化趋势； （3） 可直接观察出x和y的对应值； （4） 由一次函数的图象与y轴的交点坐标可确定b值，用待定系数法可以确定一次函数的图象的表达式. 老师点明课题：上节课我们学习了通过文字描述或观察表格解决一次函数的实际问题，本节课我们就来学习如何利用一次函数图象来解决实际问题. 2.观察探究，学习新知 【做一做】 某航班托运行李的费用y(元)与托运行李的质量x(kg)之间的关系如图所示. （1）求y与x之间的函数关系式. （2）依据（1）中求得的函数关系式，确定该航班可以免费携带行李的质量最多是多少千克. 【师生互动】 老师：题目中有哪两个变量呢？ 学生：运行李的费用y(元)与托运行李的质量x(kg) 老师：图象中横轴和纵轴分别代表什么意思呢？ 学生：横轴代表托托运行李的质量x(kg)，纵轴代表运行李的费用y(元). 老师：观察图象我们可以看出来x与y之间的关系式一条射线,那么x与y之间存在怎样的函数关系呢？ 学生：一次函数关系. 老师追问：为什么图象是射线而不是直线呢？ 学生：因为托运行李的费用不可能是负数. 老师：既然x与y之间是一次函数关系，如何求y与x之间的函数关系式呢？ 学生：可以用利用待定系数法求解即可. 老师：那么需要带入几个点的坐标呢？ 学生：两个. 老师：哪两个呢？ 学生：图象上两点（40,400）和（50,600）. 老师：两个点的坐标分别代表什么意思呢？ 学生：（40,400）表示托运行李的质量为40kg时，托运行李的费用为400元；（50,600）表示托运行李的质量为50kg 时，托运行李的费用为600元。 老师：同学们能算一下，每增加1kg费用增加多少吗？ 学生：每增加1kg费用费用增加20元. 老师：实际生活中，行李低于某一质量时，是不收行李费的，，从图象看上代表的是哪个点呢？ 学生：图象与横轴的交点. 老师：同学们能试着解释一下吗？ 学生：恰好不收行李费时，对应的托运行李的质量. 老师：很好，同学们试着完成一下上面的题目吧. 【规范解答】 解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0). ∵点(4，400)，(50，600)在该函数的图象上， ∴解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=20x－400. (2)由（1）知y=20x－400. 当y=0时，得0=20x－400，解得x=20. 所以，该航班可以免费携带行李的质量是20 kg. 【例题讲解】 例1 一森林警察驾驶警车沿公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40 km / h 的速度匀速行驶. 已知警车加满油后，油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分. （1）求直线l的函数表达式. （2）警车加满油时，邮箱中的油量是多少升？ （3）已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时邮箱中的余油量不少于10 L，则其巡逻的最远路程是多少千米？ 【师生互动】 老师：题目中有哪两个变量呢？ 学生：油箱内的余油量y（L)与时间x(h) 老师：图象中横轴和纵轴分别代表什么意思呢？ 学生：横轴代表时间x(h)，纵轴代表油箱内的余油量y（L). 老师：油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分，那么x与y之间存在怎样的函数关系呢？ 学生：一次函数关系. 老师追问：为什么图象是射线而不是直线呢？ 学生：因为时间x不可能是负数. 老师：既然x与y之间是一次函数关系，如何求y与x之间的函数关系式呢？ 学生：可以用利用待定系数法求解即可. 老师：那么需要带入几个点的坐标呢？ 学生：两个. 老师：哪两个呢？ 学生：图象上两点（1,56）和（4，44）. 老师：两个点的坐标分别代表什么意思呢？ 学生：（1,56）表示行驶时间为1h时，油箱内的余油量为56 L；（4，44）表示行驶时间为4 h时，油箱内的余油量为44 L. 老师：同学们能算一下，每小时耗油量为多少吗？ 学生：油量变化为56-44=12（L）,时间变化为4-1=3（h） 每小时耗油量为12÷3=4 L. 老师：警车加满油时，邮箱中的油量是多少升？从图象看上代表的是哪个点呢？ 学生：图象与纵轴的交点. 老师：同学们能试着解释一下吗？ 学生：“x=0表示未行驶，此时油量最多，即警车加满油时，邮箱中的油量. 老师：第（3）问中，若要求警车按原路返回加油站时邮箱中的余油量不少于10 L，那么往返路程最多耗油多少呢？单程最多耗油呢？ 学生：往返路程最多耗油60-10=50(L).单程最多耗油50÷2=25(L). 教师：那么警车行至最远时，油箱中的余油量最多是多少呢？ 学生：最多是10+25=35(L)。 老师：很好，同学们试着完成一下上面的题目吧. 【规范解答】 解：设直线l的函数表达式为y=kx+b. ∵点(1，56)，(4，44)在该函数的图象上， ∴解得 ∴y=−4x+60. （2）在函数y=−4x+60中，因为x=0时，y=60， 所以警车加满油时，邮箱中的油量是60L. （3）若警车返回加油站时油箱中的余油量为10L，则警车往返的耗油量为50L，单程行驶的耗油量为×50=25（L）.警车行驶最远时，邮箱中的余油量为60-25=35（L）. 将y=35代入y=−4x+60中，得35=−4x+60. 解得x=6.25. 而6.25×40=250（km）. 所以，警车巡逻的最远路程是250 km. 【大家谈谈】 （1）例1中的函数图象与x轴是否相交？说说理由. 预设：不相交. 当函数图象与x轴相交时，则余油量为0，但是题目中要求警车按原路返回加油站时邮箱中的余油量不少于10L，所以函数图象不能与x轴相交. （2）设一次函数y=kx +b的图象与x轴，y轴的交点依次为P，Q.请用k，b表示这两点的坐标，并指出这两点的坐标具有什么特点. 预设：P(﹣，0），Q(0.b). 与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0 ，且两个坐标都可以用k，b进行表示. 【课堂小结】 利用一次函数图象解决实际问题的方法： 1.先看横轴、纵轴分别代表什么变量，从x轴或y轴的实际意义去理解函数图象；再看图象与两坐标轴的交点的实际意义. 2.. 分析已知条件，通过作 x轴或y轴的垂线，在图象上找对一个的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值. 3.利用数形结合思想： 将“数”转化为“形” 由“形”定“数 3.随堂训练，巩固新知 1. 某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示出租车行驶的里程，y(元)表示打车的费用. （1） 若某乘客的乘车里程为2.5 km，则他需要付的打车费是多少元? （2）当x≥3时，求y与x之间的函数关系式. （3）若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程. 【解题思路】 （1）横轴、纵轴分别代表什么变量？ 预设：横轴代表出租车行驶里程，纵轴代表打车的费用. （2）图象与纵轴标轴的交点的实际意义？ 预设：当x=0时，y=8.说明“出租车的起步价为8元”. （3）图象分为两段，两段代表实际意义是什么？ 预设：当0≤x≤3时，代表3公里及3公里以内打车费用都是8元；x＞3时，代表每增加1公里，打车费增加2元. 【规范解答】 解：（1）观察图象可知，当乘客的乘车里程x≤3时， 打车的费用均为 8元，所以若某乘客的乘车里程为2.5 km，则他需要付的打车费是8元. （2）解：当x≥3时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b. ∵点(3，8)，(5，12)在该函数的图象上， ∴解得 ∴当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y=2x+2. （3）解：∵32元＞8元，∴当y=32时，32=2x+2，解得x=15. 所以，这位乘客的乘车里程是15 km. 【思考】 （1）上述问题中的函数由几段组成？ 预设：由两段组成，一条水平线段和一条射线. （2）你能写出该函数的函数关系式吗？ 预设：分两段讨论： 当0＜x≤3时，y=8；当x≥3时，y=2x+2. 所以，y= 注意:写出自变量的取值范围 【课堂小结】 1.分段函数要根据自变量的取值范围分段描述. 2. 分段函数是一个函数而不是多个函数，求出的分段函数解析式必须写出自变量的取值范围. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）利用一次函数图象解决实际问题的关键是什么？ （2）如何分析函数图象提取信息？ （3）什么是分段函数？分段函数分析时应注意哪些问题？ 5.布置作业 课本P87-89习题第1-4题. 通过复习从一次函数的图象图象中通过复习一次函数解析式的确定条件和方法，为后续 “根据实际问题求函数关系式” 奠定基础，避免学生因基础不牢影响新内容学习. 提问时关注基础薄弱的学生，若回答不完整，可让其他学生补充，确保全体学生回忆起核心知识点 通过层层递进的问题，对图图象进行逐步拆解，从图象中提取关键信息，比如“初始量、单位变化量”，帮助学生学会分析函数图象的方法，为后续综合应用打下基础. 经历上面“做一做”分析过程，学生在分析“例题1”时相对会更容易一些. 可以先让学生独立分析函数图象，然后小组交流，教师提问，最后完成题目作答. 当有了函数的表达式之后，要求某一函数值对应的自变量的值时，就是解该函数值所对应的自变量的方程;要求函数值大于(或小于)某确定的值时自变量的取值范围，就是解这些函数值所对应的自变量的不等式. 通过耗油量问题，进一步巩固 “用关系式解决实际问题” 的方法，同时自然引出 “一元一次方程与一次函数的联系”，让学生在解决问题的过程中自主发现规律，而非被动接受结论 通过“大家谈谈”引导学生思考在实际问题中，相关变量的取值是有一定的限制的，因此在做题的过程中要注意变量的取值范围问题. 总结联系时，可让学生用自己的语言描述，再由教师规范表述，确保学生真正理解. 涉及分段函数（部分为一次函数）图象，需要分段分别进行分析. 强调 “分段条件的识别”（0＜x≤3和 x＞3） 让学生掌握解决实际问题的通用步骤（设解析式→求系数→计算→决策），提升数学建模能力. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 20.4 一次函数的应用 第2课时 一次函数的应用2 1.类型： （1）图象型 （2）分段函数型 2.关键：读懂函数图象表示的实际意义 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $