20.4 一次函数的应用（第1课时）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦一次函数的应用，通过复习一次函数表达式、正比例函数及实际问题中的函数关系（如邮票购买、树苗生长）导入，搭建新旧知识桥梁，为从文字和表格中抽象函数关系奠定基础。 以客车运营盈利、台秤称重等真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察变量关系，通过师生互动分析数量关系、用待定系数法建模，培养抽象能力与模型观念，提升用数学思维解决实际问题的能力，助力学生形成函数应用意识，也为教师提供可操作的情境教学范例。

20.4 一次函数的应用 第1课时 一次函数的应用1 课题 一次函数的应用1 课型 新授课 教学内容 教材第81-84页的内容 教学目标 1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式. 2.学会从文字、表格等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系. 3.经历应用一次函数解决数学问题的过程，增强函数应用意识，发展函数的模型观念. 教学重难点 教学重点：经历应用一次函数解决数学问题的过程，增强函数应用意识. 教学难点：学会从文字、表格等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 老师：根据前面我学习的一次函数的知识，做一做下面这些题目： 1.一次函数表达式的形式为 ，当b=0时，一次函数的形式变为 ，也就是正比例函数. 2.已知一个正比例函数的图象经过点（2，-1），则这个正比例函数的表达式为 . 3.中国航天邮票每套50元，如果买这种邮票x套，共花去y元，那么y与x之间的函数关系式为 . 4.一棵杞柳树苗的高为30厘米，在生长期间，每月长高20厘米，试写出杞柳的高度y(厘米)与月份x之间的函数关系式 ,半年后杞柳的高度是 . 老师：大家再回忆一下上面的第3题和第4题，都是利用一次函数解决实际问题的题目.实际上，利用一次函数这一数学模型，可以解决许多与其相关的实际问题和数学自身的问题，我们这节课一起来研究一下吧. 2.类比探究，学习新知 情境 一辆客车，准乘20人（包括一名司机和一名乘务员）.这辆客车由A地驶到B地，运营总成本为180元，乘客票价为25元/人. 【做一做】 1.设乘客人数为x时,客车运营盈利y元，求y与x之间的函数关系式. 2.用求出的函数关系式，尝试解决下列问题： （1）当客车运营盈利120元时,求乘客人数. （2）要想使客车运营盈利超过170元,则乘客人数至少为多少? 【师生互动】 老师：客车运营盈利组成是怎样的？用数量关系表示一下. 学生：客车运营盈利=票价总收入－运营总成本. 老师：运营总成本是多少？票价总收入怎么算？ 学生：运营总成本是180元，票价总收入是乘客人数×票价. 老师：如果乘客人数是x人，票价总收入是多少？ 学生：票价总收入是25x元. 老师追问：那么客车运营盈利是多少？ 学生：客车运营盈利是（25x－180）元. 老师：试着自己写一下y与x之间的函数关系式吧. 学生：y=25x－180. 老师：根据函数关系式，当客车运营盈利120元时，要求乘客人数，如何求？ 学生：当y=120时，求x的值. 老师：“客车运营盈利超过170元”是什么意思？ 学生：就是y>170. 老师：那如何计算乘客人数呢？ 学生：列不等式，25x－180>170. 老师：很好，自己试着做一下吧. 在上面的问题中，客车运营盈利y元与乘客人数x之间的函数关系式为y=25x－180. 客车运营盈利120元时，有120=25x－180,解得x=12. 要想使客车运营盈利超过170元，只要使25x－180>170即可,解得x>15. 【小结1】 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题.常见类型如下： 1.题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解； 2.题目中没有给出一次函数的解析式，需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 【一起探究】 某种称量体重的台秤，最大称量是150kg.称体重时，体重x（kg）与指针按顺时针方向转过的角度y（°）有如下一些对应数值： （1）请在平面直角坐标系中，分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标，描点连线，画出图象. （2）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。 （3）当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180°的位置？当体重为50kg时，台秤的指针转过的角度是多少度？ 【师生互动】 老师：画函数图象的一般步骤有哪些？ 学生：列表、描点、连线. 老师：好，同学们自己按照课本上提供的数据画一画. 老师：好了，大家看一下老师画的图象，图象是一个什么形状啊？ 学生：是一条直线. 老师：很好，再仔细看一下，这条直线过原点吗？ 学生：经过原点. 老师：很对，这是我们学过的什么函数的图象啊？ 学生：正比例函数. 老师：那我们设出它的函数表达式，代入一组数值求出它的函数表达式，然后小组内讨论一下，求出的函数表达式是不是一样的？ 老师：好了，大家都做完了吧，老师求出来的函数表达式是，是不是这样的啊？ 学生：还需要标注自变量的范围. 老师：同学们考虑很周全啊，自变量的取值范围是多少呢？ 学生：0≤x≤150. 老师：当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180°的位置？ 学生：…… 老师：当体重为50kg时，台秤的指针转过的角度是多少？ 学生：…… 【分析】 由表格给出的数据可以看出，体重为0 kg时，台秤指针指向0°，每增加5 kg,台秤指针按顺时针方向旋转12°，所以y是x的正比例. 根据条件可得. 当y=180时，，解得x=75. 当x=50时，. 即当体重为75 kg时，台秤的指针恰好转到180°的位置；当体重为50 kg时，台秤的指针转过的角度是120°. 【课堂小结】 一次函数模型要点： 1.学会读表：①看明白x与y之间的对应关系；②从表格中看出y对于x是“匀速”变化的，从而确定是一次函数. 2.可以用待定系数法确定该一次函数表达式. 3.一次函数表达式确定后， 由自变量的值求其对应的函数值，就是求“代数值的值”; 由函数值求对应到它的自变量的值，就是要解方程. 3.随堂训练，巩固新知 1.某水库在春季播种前，向下游灌溉区开闸放水.放水量V（m3）与放水时间t(min)之间有如下对应数据： (1)求放水量V(m3)与放水时间t(min)之间的函数关系式. (2)求放水24 h的放水量. 【解题思路】 （1）题目中有没有明确说V与t是什么函数关系？ 预设：没有. （2）如何找出V与t之间的函数关系？ 预设：根据表格可以发现，v相对于t是均匀变化的，所以V与t之间是一次函数关系.只需设出一次函数的解析式，代入两组对应的值求解即可. （3）求放水24 h的放水量，如何求？ 预设：当t=24时，求V的值. 【规范解答】 （1） 根据题意，V=50t. （2） ∵24h=1440 min, ∴当t=1440时，V=50×1440=72000, ∴放水24h的放水量为72000 m3. 2.某出版社出版了一种适合中学生阅读的科普书.当该书首次出版的印数不少于5千册时，该出版社投入的成本y(万元)与印数x(千册)之间为一次函数关系，并有下表中的对应值: (1)求y(万元)与x(千册)之间的函数关系式. (2)当出版社投入成本4.1万元时，能印该书多少千册？ 【解题思路】 （1）题目中有没有明确说y与x是什么函数关系？ 预设：没有. （2）如何求y与x之间的函数关系式？ 预设：根据表格可以发现，y相对于x是均匀变化的，所以y与x之间是一次函数关系.只需设出一次函数的解析式，代入两组对应的值求解即可. （3）当出版社投入成本4.1万元时，求能印该书多少千册，如何求？ 预设：令y=4.1时，解关于x的方程即可. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）利用一次函数解决实际问题的关键是什么？ （2）如何判断两个边量之间是否存在一次函数关系？ 5.布置作业 课本P83-84第1-3题. 根据前面学习的一次函数的知识给出题目，引导同学们复习以前的知识，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数的应用.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 函数是刻画两个变量之间的对应关系的，这是现实中极为普遍的一种数量关系的抽象，因而有着广泛的应用. 首先应让学生就所述情境涉及的数量及数量关系作深入分析，然后再去完成“做一做”中提出的问题. 应用一次函数解决实际问题的基本过程是: (1)根据问题情境的数量关系建立相应的一次函数表达式；(2)利用一次函数的相关性质解决需要解决的问题. 显然完成(1)是最为关键的一步.而要得到一次函数的表达式，可通过直接列式，也可以借助待定系数法. “一次函数的应用”这节课的教学重点，就是要使学生把握如何地落实好以上两个过程. “一起探究”重要的是，感悟到体重与指针转过的角度具有函数关系，且由“匀速”变化，推测出具有一次函数关系. . 当有了函数的表达式之后，要求某一函数值对应的自变量的值时，就是解该函数值所对应的自变量的方程;要求函数值大于(或小于)某确定的值时自变量的取值范围，就是解这些函数值所对应的自变量的不等式. 在学习本节内容与解决方法的基础上，应引导学生体会函数、方程、不等式之间的关系. 在许多情况下，函数反映的是某个过程中两个变量之间的对应关系，而方程反映的是这个过程中某一特定值(即刻)之间的对应；不等式反映的是这个过程中某一段落(区间)两个量之间的对应. 解答一次函数的应用问题时，当写表达式时，首先需要关注的是“匀速”变化这个点. 解答实际情景函数图象的信息 （1）根据题意先求出表达式. （2）结合函数图象，转化为数学问题. （3）利用数形结合的思想：将“数”转化为“形”，由“形”定“数”. （4）解决问题，检验结果. 一次函数表达式确定后，由自变量的值求其对应的函数值，就是“求代数式的值”;由函数值求对应到它的自变量的值，就是要解方程. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 20.4 一次函数的应用 第1课时 一次函数的应用1 1.类型： （1）文字表述型 （2）图表信息型 2.关键： 找到两个变量之间的数量关系 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $