20.3 用待定系数法确定一次函数表达式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“用待定系数法确定一次函数表达式”，通过复习一次函数图象作图步骤，引导学生思考“已知直线如何确定函数表达式”，搭建从旧知到新知的学习支架，衔接自然。 此资料以问题链驱动探究，结合“汽车行驶与油量关系”等实例，引导学生抽象出待定系数法步骤，培养抽象能力与推理意识，通过实际问题建模发展模型观念。助力学生掌握方法，提升数学思维，也为教师提供清晰教学逻辑，提高课堂效率。

20.3 用待定系数法确定一次函数表达式 课题 用待定系数法确定一次函数表达式 课型 新授课 教学内容 教材第77-80页的内容 教学目标 1.了解通过坐标系里两点的坐标，可以确定过这两点的直线所对应的一次函数关系式. 2.会用待定系数法求一次函数的表达式. 教学重难点 教学重点：会用待定系数法求一次函数的表达式. 教学难点：能根据实际问题抽象出一次函数，并写出对应的函数表达式. 教 学 过 程 备 注 1. 复习旧知，引入课题 【师生互动】 老师:同学们，前面我们学习了一次函数图象作图，那么画一次函数图象的一般步骤是什么？ 学生：列表、描点、连线. 老师：是的，给出一个一次函数，在坐标系里画它的图象，是通过“以表达式找出两组对应值”——“以对应值为坐标在坐标系里确定出两点”——“过两点连接直线”这样的步骤得出的.那么现在给出坐标系里的一条直线，如何确定该图象对应的一次函数呢？ 学生：在直线上任意找两点的坐标. 老师：若该直线是某个一次函数的图象，那么这个函数的表达式应该是怎样的？ 学生：应该是满足y=kx+b的形式. 老师；回答的很好，我们只需要确定出k和b的值就可以确定一次函数表达式了. 【提出问题】 已知一次函数的图象如图20.3-1所示. 其中，点P(-20,5)，Q(10,20)均在直线上，怎样求这个一次函数的表达式呢? 老师：一次函数的图象是一条直线，根据P，Q两点能不能确定一次函数的表达式？ 学生：能，过两点有且只有一条直线. 老师：根据函数图象，我们能不能直接写出b的值呢？ 学生：一次函数的图象与y轴交于（0，b）点，b的值是15. 老师：你能确定吗？不是14.9吗？或者15.1？ 学生：好像不能直接看出来. 老师：那么k的值呢？ 学生：也不能直接看出来. 老师：那我们该如何求出这个一次函数的表达式呢？我们一起来看看小惠的解答过程吧. 2.类比探究，学习新知 【观察与思考】 阅读下面小惠对此问题的解答过程，并验证小惠求得的一次函数表达式是否正确. 小惠的解答过程如下： 设这个一次函数的表达式为. 因为P，Q为直线上两点，所以这两个点的坐标都满足表达式，即 解这个关于k和b的二元一次方程组，得 所以这个一次函数的表达式为. 老师：你认为上面的解答过程合理吗？ 老师：小惠求出的b是15，根据图象看也是15，画图准确性重要不重要啊？ 老师：你们还有什么方法求出k的值吗？ 【课堂小结】像这样先设出函数表达式，再根据已知条件确定表达式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫作待定系数法. 【做一做】 1.已知A（-20,5）为正比例函数y=kx图象上的一点，求这个正比例函数的表达式. 【解题思路】 老师：我们先看一下函数表达式，y=kx中有几个未知数？ 学生：只有一个未知数k. 老师：只给出图象上的一个点A（-20,5），能求出这个正比例函数的表达式吗？ 学生：把x=-20,y=5代入函数表达式求出k的值. 老师：试着自己列方程，解一下吧. 学生：…… 【规范解答】 解：将点A的坐标代入正比例函数表达式可得 −20k=5，解得k=−. 所以，正比例函数的表达式为y＝−x. 2.已知一个一次函数的图象经过点M（0,1）和N（1,0），求这个一次函数的表达式. 老师：一次函数的表达式，我们可以怎么设？ 学生：设一次函数的表达式为y=kx+b. 老师：很好，那么我们可以利用什么条件列方程呢？ 学生：图象经过点M（0,1）和N（1,0）. 老师：很对，图象上的点都适合一次函数表达式，自己试着列一下方程组吧. 老师：大家都做完了吗？我们一起来做一下吧. 【规范解答】 解：设这个一次函数的表达式为y＝kx＋b. 将点M，N的坐标代入上式可得 解得 所以，这个一次函数的表达式为y=−x+1. 【例题讲解】 【例】一辆汽车匀速行驶，当行驶了20 km时，油箱剩余58.4L油；当行驶了50 km时，油箱剩余56 L油.如果油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间是一次函数关系，请求出这个一次函数的表达式，并写出自变量x的取值范围以及常数项的意义. 【思路分析】 （1）一次函数的表达式，我们可以怎么设？ 预设：设y=kx+b. （2）根据题意，可以看作哪两个点在函数图象上？ 预设：点（20,58.4）和（50,56）. （3）根据实际，汽车行驶路程x越大，剩余油量y越大还是越小？据此我们可以判断，k的值应该大于0还是小于0？ 预设：y越小，k的值应该小于0. （4）如何求解函数自变量的取值范围？需要注意什么？ 预设：根据剩余油量和行驶路程进行求解,注意两者均是非负的 （5）常数项的意义是什么？ 行驶前油箱的存油量. 【规范解答】 解：设所求一次函数的表达式为y=kx+b. 根据题意，把已知的两组对应值（20,58.4）和（50,56）代入y=kx+b，得 解得 这个一次函数表达式为y=-0.08x+60. 因为剩余油量y≥0，所以-0.08x+60≥0，解得x≤750. 因为路程x≥0，所以0≤x≤750. 因为当x=0时，y=60，所以这辆汽车行驶前油箱存油60 L. 【大家谈谈】 用待定系数法求一次函数表达式的步骤有哪些？与同学交流你的想法. 【课堂小结】 用待定系数法求一次函数的表达式，一般步骤如下： （1）设一次函数表达式y=kx+b； （2）根据条件，列出关于k和b的二元一次方程组； （3）解这个方程组，求出k与b的值，从而得到一次函数表达式. 3.随堂训练，巩固新知 1.一次函数的图象经过点A（1,2）和点B（-2,1），求这个函数的表达式. 【解题思路】 （1）如何设一次函数的表达式？ 预设：设y=kx+b. （2）如何列方程组求出k和b的值？ 预设：将A,B两点的坐标分别代入解析式，解二元一次方程组. 答案：. 2.某市举办一场中学生羽毛球比赛，场地和耗材需要一些费用.场地费b（元）是固定不变的.耗材费用与参赛人数x（人）成正比例函数关系.这两部分的总费用为y（元）.已知当x=20时，y=1600；当x=30时，y=2000. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)当支出总费用为3200元时，有多少人参加了比赛？ 【解题思路】 （1）本题中的数量关系是什么？总费用有哪两部分组成？ 预设：总费用=耗材费+场地费. （2）耗材费用与参赛人数之间的函数表达式可以如何表示？ 预设：耗材费=k×人数. （3）y与x之间的函数表达式可以如何表示？ 预设：y=kx+b （4）求一次函数表达式时，可以使用的点的坐标是哪两个？ 预设：(20,1600),(30,2000) （5） 当支出总费用为3200元时，如何计算有多少人参加了比赛？ 预设：即当y=3200时，代入函数表达式，解关于x的方程. 答案：(1)y=40x+800. (2)40x+800=3200,解得x=60.因此，有60人参加了比赛. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）什么是待定系数法？ （2）用待定系数法求一次函数表达式的关键是什么？ （3）说一说用待定系数法求一次函数表达式的的一般步骤. 4.布置作业 课本P79第1-5题. 通过回忆通过一次函数表达式画一次函数图象，引出能否通过一次函数图象确定一次函数表达式的问题，引发学生的思考，激发学生的好奇心，从而引出本节课的主要内容——一次函数表达式的求解.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 通过引导学生直观观察，让学生意识到直观观察的的方法不能准确的判断函数表达式，为下面引出待定系数法作铺垫. “观察与思考”这一活动的目的是让学生感悟用待定系数法求一次函数表达式的合理性. 求k的值还可以从以下角度思考：横坐标每增加1个单位长度，纵坐标增加几个单位长度，k的值就是几，这属于拓展内容，不用要求所有同学都掌握. “做一做”的目的是让学生自己试着使用待定系数法，来求出一次函数的关系式. 正比例函数属于特殊的一次函数，求正比例函数的表达式，只需要一个点的坐标就可以了. 巩固待定系数法求一次函数表达式的一般步骤. 解决求一次函数的表达式问题时，可先引导学生思考: (1)若该直线是某一个一次函数的图象，那么这个函数的表达式的基本形式应当是怎样的? (2)怎样由直线上已知的两点的坐标,求出对应的一次函数中k和b的值呢?(想方程) 师生共同研习例题的解决，通过具体操作来掌握待定系数法的应用步骤. 应先让学生自己总结待定系数法求一次函数表达式的方法步骤，再经过大家讨论共同认识. 通过解题思路引导学生自己发现解题步骤，并正确解答，可以通过组内讨论写出正确的解题步骤. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 20.3 用待定系数法确定一次函数表达式 1.待定系数法： 先设出函数表达式，再根据已知条件确定表达式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫作待定系数法. 2.用待定系数法求一次函数的表达式，一般步骤如下： （1）设一次函数表达式y=kx+b； （2）根据条件，列出关于k和b的二元一次方程组； （3）解这个方程组，求出k与b的值，从而得到一次函数表达式. 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $