20.1 一次函数（第2课时）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦一次函数的概念，通过登山气温变化、蜡烛燃烧等实际情境问题导入，先回顾正比例函数特征，引导学生发现新函数与正比例函数的异同，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此资料以情境创设和问题驱动为特色，结合标准体重计算、物业费收缴等生活实例，引导学生观察归纳一次函数“y=kx+b(k≠0)”的形式特征，培养抽象能力与模型观念。例题中通过等边三角形高与面积的关系探究，发展推理意识，既帮助学生建立数学与现实的联系，又为教师提供清晰的教学路径，提升课堂效率。

20.1 一次函数 第2课时 一次函数的概念 课题 一次函数的概念 课型 新授课 教学内容 教材第67-70页的内容 教学目标 1. 理解一次函数的概念，以及一次函数与正比例函数之间的关系. 2. 结合具体情境理解一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式，能利用一次函数解决简单的问题. 3.进一步体会数学结合思想，发展学生模型观念的核心素养学生的抽象能力. 教学重难点 教学重点：一次函数与正比例函数的概念及关系. 教学难点：会根据已知信息写出一次函数的表达式. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 问题1：某登山队大本营所在地的气温为15℃.海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在的位置的气温是y ℃.试用表达式表示y与x之间的关系. 【师生互动】 老师：根据上面的问题，你能写出正确的表达式吗？ 学生：y=15-6x. 老师：这个函数是正比例函数吗？ 学生:不是. 老师：它与正比例函数有什么不同？ 学生：比正比例函数多了一个常数. 老师：那么这样的函数是什么函数呢？这节课我们就来研究一下. 2.类比探究，学习新知 一支长为18 cm 的蜡烛，点燃后每分钟缩短0.1 cm. 设点燃后蜡烛燃烧的时间为t(min)，蜡烛的长度为y（cm). （1）写出y与t之间的函数关系式. （2）写出t的取值范围. （3）对比正比例函数，它们的表达式在形式上有什么相同点与不点. 【师生互动】 老师：回想上节课所学的知识，还记得正比例函数的定义吗？ 学生：记得，一般地，我们把形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，叫作正比例函数.其中，非0常数k叫作比例系数. 老师：好，我们一起看一下这个题目.这个题目中，蜡烛t min燃烧的长度为多少厘米？ 学生：0.1t cm. 老师：同学们自己看一下，蜡烛的总长度为多少厘米？ 学生：18 cm. 老师：试着写一写y与t之间的函数关系式. 学生：y=18-0.1t. 老师追问：在表达式中，哪些是常量，哪些是变量？ 学生：18和0.1是常量，y和t是变量. 老师：t的取值范围是什么？自己想一想. 学生：……. 老师：对比正比例函数，它们的表达式在结构上有什么相同点与不同点？ 学生：……. 【问题解决】 （1） t的取值范围： 由(1)知，y与t之间的函数关系式为y=18-0.1t. 因为y≥0，即18-0.1t≥0，所以t≤180. 又因为t≥0， 所以t的取值范围为0≤t≤180. （2）相同点：自变量的次数都是1； 不同点：正比例函数表达式的常数项为0，这个函数的表达式常数项不为0. 【做一做】 1.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，用h减常数105，所得的差就是G的值.求用h表示G的函数表达式.  2.某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴，每月1.6元/m2；有车位的再交车位管理费，每月80元.设有车位的房主的住房面积为x m2，每月应缴物业管理费与车位管理费的总和为y元，求用x表示y的函数表达式. 预设： 3.从A城市像B城市行驶的某高速列车，先用10min 行驶了15 km 后，又将速度提升到300 km/h，并按这个速度匀速驶向B城市.设列车从A城市出发后形式的时间为t(h)（t＞），行驶的路程为s(km)，求用t表示s的函数表达式. 预设： 老师：这三个问题中的数量关系分别是什么？你能分别写出它们的函数表达式吗？ 预设：1.G=h－105. 2.y=1.6x+80. 3.y=15+（t-）×300=300t－35. 【大家谈谈】 从上面的问题中，我们分别得到了函数表达式： y=18-0.1t,G=h－105，y=1.6x+80，y=300t－35. 老师：大家想一想，这些函数表达式的形式有什么共同特点？与同学交流你的看法. 函数 自变量 自变量的倍数 常数 y=18-0.1t t -0.1 18 G=h－105 h 1 -105 y=1.6x+80 x 1.6 80 y=300t－35 t 300 -35 发现：函数形式=k（常数）×自变量+b（常数）. 即这些函数的形式都是自变量的k倍与一个常数的和. 【小结1】 一般地，我们把形如(k,b为常数，且k≠0)的函数叫作一次函数. 老师：大家尝试总结下一次函数的特征： 预设： 一次函数的结构特征： (1)k为常数，且k≠0；（2）自变量的次数为1：（3）常数项b可以为任意实数. 追问：当b=0时，一次函数会变成什么样的函数？ 师生活动：让学生自己小组讨论，并发言交流.教师引导学生，得出：当b=0时，一次函数会变成正比例函数y=kx.进一步得出：正比例函数的是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数. 【小结2】 对于一次函数，当b=0时，它就化为，所以正比例函数是一次函数的特殊形式. 【做一做】 在下列函数，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【解题思路】 （1）什么是一次函数？一次函数的定义是什么？ 预设：一般地，我们把形如(k,b为常数，且k≠0)的函数叫作一次函数. （2）一次函数的特点是什么？ 一次函数的形式都是自变量的k倍与一个常数的和. （3）一次函数中的k和b分别指的是什么？ k是自变量的系数，也叫比例系数；b是常数. 【规范解答】 解： (1)(2)(4)(5)是一次函数.(1)k=3,b=6；(2)k= ,b=2； (4)k=−0.4,b=0； (5)k=-2,b=. 【例题讲解】 【例3】如图20.1-1，△ABC是边长为x的等边三角形,AD⊥BC，垂足为D. 设AD=h，△ABC的面积为S. (1)求h与x之间的函数关系式.h是x的一次函数吗？如果是一次函数，请指出相应的k与b的值. (2)当h=时，求x的值. (3)求S与x之间的函数关系式. S是x的一次函数吗? 【思路分析】 （1）在等边三角形ABC中，已知边长，如何求底边BC边上的高？ 预设：30°所对的直角边是斜边的一半；勾股定理. （2）正比例函数与一次函数有什么关系？ 预设：正比例函数是特殊的一次函数. （3）三角形的面积公式是什么？ 预设：三角形的面积=×底×高. （4） 一次函数的特征是什么？如何确定一个函数是不是一次函数？ 预设：一次函数的形式都是自变量的k倍与一个常数的和. 【规范解答】 解：(1)因为△ABC是边长为x的等边三角形，AD⊥BC， 所以. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 ， 即， 所以h是x的一次函数，且 (2)当时，有，解得x=2. （3）因为， 即，所以S不是x的一次函数. 【归纳总结】 一次函数表达式y=kx+b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1,常数项b可以为任意实数，正比例函数是特殊的一次函数. 3.随堂训练，巩固新知 1.下列函数，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 解：（1）(3)(4)(5)是一次函数.（1）中k=-1,b=2； （3）中k=0.03,b=8；（4）中k=,b=0；（5）中 2.已知两条平行线之间的距离为3 cm，点A在上，点B，C在上，BC=x.求△ABC的面积S与x的函数关系式，并判断这个函数是不是一次函数. 【解题思路】 老师：三角形的面积公式是什么？ 预设：三角形的面积=×底×高. 老师：两条平行线之间的距离是如何定义的？ 预设：指两条平行直线之间的最短垂直长度，且这一距离在任意对应点处均相等 老师：三角形的高是多少？ 预设：3 cm 老师：一次函数的特征是什么？如何判断一个函数是不是一次函数？ 预设：一次函数的形式都是自变量的k倍与一个常数的和. 解：，是一次函数. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）一次函数的定义是什么？ （2）一次函数与正比例函数有什么区别和联系？ 5.布置作业 课本P69-70习题第1-4题. 通过给出的实际例子，结合之前学习过的函数知识，列出表达式，并判断是否为正比例函数，与正比例函数的区别，从而引出本节课的主要内容.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 引导学生回忆上一课时刚学习过的正比例函数，为一次函数的学习打好基础. 在判断自变量的取值范围时，要从问题的实际意义出发，如时间及蜡烛的长度都是非负的. 通过实际问题，让学生列出相应的函数表达式，便于下一步观察这些函数表达式的特点，得出一次函数的概念. 学生观察题目并思考，然后发言交流.学生互评，教师点评并总结，得出结论 通过寻找4个函数表达式的共同点，逐步引出一次函数的概念. 教学中应引导学生注意,在这三个问题里,函数的表达式都是由一个正比例函数与一个常数通过加或减而成的. 对于一次函数与正比例函数的关系,应使学生认识到:一次函数包括了正比例函数，正比例函数是一次函数中的一类特殊形式(表达式中常数项为0). 巩固一次函数的概念. 通过“做一做”使学生进一步明确:由表达式判别一次函数，只需看它是否为自变量的一次式. 根据“思路分析”中的问题引导学生进行思考，通过组内或同桌两人交流，进行解答. 在求出函数表达式后，可以根据自变量系数不是1说明它不是一次函数，也可以进行适当的拓展，这个函数是二次函数. 一次函数表达式y＝kx＋b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1，常数项b可以为任意实数．正比例函数y＝kx的表达式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1. 通过随堂练习再次巩固一次函数的概念. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 20.1 一次函数 1.一次函数的定义： 一般地，我们把形如(k,b为常数，且k≠0)的函数叫作一次函数. 2.一次函数与正比例函数之间的关系： 对于一次函数，当b=0时，它就是正比例函数，所以，正比例函数是一次函数（k≠0)的特殊形式. 3. 一次函数表达式的结构特征： k≠0，自变量的次数为1,常数项b可以为任意实数. 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $