20.1 一次函数（第1课时）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦一次函数中的正比例函数概念，从小学“成正比例的量”切入，结合匀速行驶路程与时间等生活实例，抽象出函数关系，搭建新旧知识支架，梳理概念形成脉络。 特色在于情境驱动与抽象过程结合，以小明骑行等实例引导学生用数学眼光观察现实，通过归纳推理形成概念培养数学思维，用s=0.2t等表达式体现数学语言。采用从特殊到一般方法，助学生建立模型观念，提升抽象能力，为教师提供结构化教学流程与评价建议。

第二十章 一次函数 章 节 备 课 第二十章 本章所需课时数 10课时 课标要求 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式. 2.会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 3.能画出一次函数的图象.根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数. 4.体会一次函数与二元一次方程的关系. 5.能用一次函数解决简单的实际问题. 教材分析 (1)一次函数的意义同样是比较抽象的，教科书中采用了这样的研究过程:从小学已认识的“成正比例的量”入手，先引入“正比例函数”，再扩展到“一次函数”，这样编排的目的，一是从学生已有的“数学现实”出发，使新知识的引入比较自然;二是采用"由特殊到一般”的归纳方式,符合学生的认知规律，有利于数学活动经验的积累. (2)对于学生来说，无论是“正比例函数"还是“一次函数”,其概念认识的形成，都必须借助于相当数量的、他们所熟悉的现实情境，通过归纳、抽象才能实现.因此,教科书特别关注情境的设置与“抽象”过程的有效展开,以促使学生产生有价值的数学思考,完成理性认识的飞跃. (3)对于一次函数性质的研究，教科书中突出了“数形结合”,即由图象特征引发出函数随自变量变化的增减性质.因此，图象的绘制与观察,便起着铺垫与引导的重要作用. (4)教科书紧紧抓住“一点在函数的图象上”与“该点的坐标满足函数的表达式”的对应及一致性，导出用待定系数法求一次函数的表达式，意在突出"形与数”的统一与相互转化，并显示”方程”的广泛应用.随后，又专项研究了一次函数与二元一次方程的关系,更为有力地揭示了函数与方程的关联性. (5)所有内容的呈现，一是尊重学生的数学现实,二是尽可能展开学生的观察、思考、交流与研究的活动过程,以充分提供学生自主发展的空间. 主要内容 本章的知识内容主要包括:一次函数,一次函数的图象和性质，用待定系数法确定一次函数的表达式，一次函数的应用，一次函数与二元一次方程的关系. 教学目标 1.通过画图象与研讨，感悟一次函数与其图象的关系. 2.掌握一次函数的图象的画法及一次函数的性质. 3.明确怎样将实际问题或数学问题转化为一次函数问题 4.通过广泛应用，进一步体会一次函数“匀速”变化的本质特征. 5.感悟一次函数与元二元一次方程的联系. 课时分配 20.1 一次函数 2课时 20.2 一次函数的图象和性质 2课时 20.3 用待定系数法确定一次函数表达式 1课时 20.4 一次函数的应用 3课时 20.5 一次函数与二元一次方程的关系 1课时 回顾与反思 1课时 教与学建议 1.关注对一次函数概念形成的抽象过程的评价.“抽象”是基本数学思想中最为重要的一个方面，是数学知识形成与发展的最为基本的思维形式，也是数学能力构成的基本要素，通过评价的引导,以促进学生对熟悉抽象的重视和自觉运用. 2.注重对知识与技能的评价.重点要放在知识的内在联系，一次函数各种表达形式的相互转换，以及如何通过建立一次函数模型来解决相关的实际问题和数学问题上. 3.在本章的教学中,大部分的教学活动都应以学生独立思考、合作交流、一起探究的形式来完成.所以，学生是否积极与独立思考,是否善于主动地与同学合作,都应该引起教师的注意，要对学生好的表现及时给予鼓励. 4.注重对学生情感态度的评价.在学生学习活动中,要注意培养学生自信、自强的性格记录学生在学习过程中的情感表现以及在解决问题的过程中所表现出来的创新精神. 20.1 一次函数 第1课时 正比例函数的概念 课题 正比例函数的概念 课型 新授课 教学内容 教材第64-86页的内容 教学目标 1.掌握正比例函数的概念，理解正比例和正比例函数的关系. 2.能识别正比例函数关系并能利用函数解决简单问题. 3.会求简单的正比例函数关系式，体会生活中的正比例函数模型观念. 教学重难点 教学重点：掌握正比例函数的概念，会求简单的正比例函数关系式. 教学难点：能识别正比例函数关系并能利用函数解决简单问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【师生活动】 老师：我们回忆一下，小学的时候我们学过正比例关系吗？ 学生：学过. 教师：好的，那谁能举一个正比例关系的例子呢？ 学生：商品的单价一定，商品的总价和数量成正比例. 老师：回答的很好，还有谁能再举一个例子？ 学生：…… 老师：好，我们看一下下面这个问题吧. 2.类比探究，学习新知 小明骑自行车去上学，匀速行驶，行驶时间和路程之间的关系如下表： 时间/min 1 2 3 4 5 … 17.5 路程/km 0.2 0.4 0.6 0.8 1 … 3.5 【师生互动】 老师：观察给出的表格，小明第1分钟骑行多少千米？ 学生：0.2千米. 老师：到第2分钟，小明骑行了多少千米？ 学生：0.4千米. 老师：同学们自己看一下其他时间的路程，再讨论一下小明骑行的速度是匀速的吗？ 学生：是匀速的，每分钟骑行0.2千米. 老师：那小明行驶的路程和时间成正比例吗？ 学生：成正比例. 老师追问：为什么？ 学生：因为速度一定，速度×时间=路程.路程÷时间=速度（一定）. 老师：如果用t（min）表示时间，s（km）表示路程,你能写出s与t之间的函数关系式吗？自己想一想. 学生：s=0.2t. 【小结】 通过观察与计算，我们发现小明离开家的路程与时间的比值恒等于0.2，即这两个量是成正比例的量. s与t的函数关系式为:s=0.2t. 【做一做】 1. 小亮每小时读20页书.若读书时间用t(h)表示，读过书的页数用m(页)表示，则用t表示m的函数表达式为 . 老师：这个问题中的数量关系是什么？ 预设：读过书的页数=每小时读的页数×读书时间. 老师：你能写出两个变量之间的函数表达式吗？ 预设：m=20t. 2.小明去给学校运动会买奖品，每支铅笔0.5元.若购买铅笔的数量用n(支)表示，花钱的总数用w(元)表示，则用n表示w的函数表达式为 . 老师：这个问题中的数量关系是什么？ 预设：花钱的总数=每支铅笔的单价×购买铅笔的数量. 老师：你能写出两个变量之间的函数表达式吗？ 预设:w=0.5n 3.某工程队维修一段公路的路面，每小时维修路面的长度为30 m. 若维修时间用x(h)表示，维修路面的长度用y(m)表示表示，则用x表示y的函数表达式为 . 老师：这个问题中的数量关系是什么？ 预设：维修路面的长度=每小时维修路面的长度×维修时间 老师：你能写出两个变量之间的函数表达式吗？ 预设：y=30x. 【小结】 在上面的问题中，我们分别得到了函数s=0.2t，m=20t，w=0.5n，y=30x.这些函数的共同特点是：都能写成y=kx的形式.其中，k为常数，且k≠0. 一般地，我们把形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，叫作正比例函数.其中，非0常数k叫作比例系数. 【例题讲解】 老师：好了，学习完正比例函数的概念，我们通过例题来检验一下学习成果吧. 【例1】下列函数，哪些是正比例函数？请指出正比例函数的比例系数. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【解题思路】 （1） 什么是正比例函数？正比例函数的定义是什么？ 预设：一般地，我们把形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，叫作正比例函数. （2）正比例函数的特点是什么？ 预设：正比例的两个变量之间都可以表示成函数是自变量某一确定“倍数”的形式. （3）在正比例函数中，哪个是比例系数？ 比例系数为k. 【规范解答】 解：(1)(3)(5)(6)是正比例函数，比例系数分别是3，，π，.(2)和(4)不是正比例函数. 【归纳总结】 判断一个函数是否为正比例函数的方法：看两个变量的比是不是常数，即函数是不是形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数.在函数中，比例系数为k. 老师：我们继续看下面这个例题，正比例函数在实际问题中的应用. 【例2】有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0. 5公顷/时的小麦收割机来收割. (1)求收割的面积y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系式. (2)求收割完这块麦田需要用的时间. 【解题思路】 （1）本题中的数量关系是什么？ 预设：收割的面积=收割速度×收割时间. （2）根据数量关系能写出函数关系式吗？ 预设：y=0.5x （3）收割完这块麦田，需要收割多少公顷？在函数关系中，用它代替哪个字母求解？ 预设：需要收割10公顷，代替y. 【规范解答】 解：(1)y=0.5x. (2)把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x, 解得x=20. 即收割完这块麦田需要20 h. 答：(1)y与x之间的函数关系式为y=0.5x. (2)收割完这块麦田需要20 h. 3.随堂训练，巩固新知 1.已知正比例函数y=15x，根据函数表达式填写下表. 【解题思路】函数关系式已知，直接将自变量的取值代入函数关系式求解即可. 答案：-30 -15 0 15 30 2.填空： (1)已知函数y=3x.当x=3时，y= . (2)已知函数.当y=3时，x= . (3)已知函数.当x=-2时，y=10.则k= . 【解题思路】 老师：在正比例函数中. （1） 已知k和x，如何求y的值？ 预设：将x代入函数关系式，直接求值. （2） 已知k和y，如何求x的值？ 预设：将y代入函数关系式，解方程. （3） 已知x和y，如何求k的值？ 预设：将x，y代入函数关系式，解方程. 答案：（1）9. (2)4. （3）-5. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）正比例函数的定义是什么？ （1） 如何判断一个函数是否为正比例函数？ 5.布置作业 课本P66-67习题第1-5题. 回忆小学学过的正比例关系问题，并通过举例子明确实际问题中的正比例关系，从而引出本节课的主要内容.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 从小学已熟悉的“成正比例的量”出发，由“匀速”行驶过程中行驶时间与所行路程的关系，抽象出正比例函数. (1)成正比例，因为路程与时间的比是常数0.2. (2)函数s总是自变量t的0.2倍. 对于“观察与思考”和“做一做”活动中的问题情境，应努力引导学生通过思考与解答，体会出如下两点:(1)每一对成正比例的量之间都是一种函数关系,并且都可以表示成函数是自变量某一确定“倍数”的形式——这正是正比例函数形式定义的基础.(2)每一对成正比例的量构成的函数,函数对于自变量的变化都是“匀速"的,这正是正比例函数及一次函数的本质特征. 对于正比例函数的定义,应强调常数k既可以是正数也可以是负数,因此,正比例函数是成正比例的量的拓展与再抽象. 对于例1的教学，重点是引导学生弄清楚正比例函数的形式定义. 对于例2的教学,应引导学生掌握这类问题的思考过程应是:根据“匀速”变化的特征写出函数表达式，由函数值求相应的自变量的值就要通过解方程. 通过随堂训练练习求函数值、未知数的值及比例系数.关键是要理解函数表达式中自变量与因变脸之间的关系. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 20.1 一次函数 第1课时 正比例函数 1.正比例函数的概念： 一般地，我们把形如(k为常数，且k≠0)的函数，叫作正比例函数.其中，非0常数k叫作比例系数. 2.判断一个函数是否为正比例函数的方法： 看两个变量的比是不是常数，即函数是不是形如(k为常数，且k≠0)的函数.在函数中，比例系数为k. 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $