2.3 实数-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（湘教版·新教材）

2.3实数 2.3.1 认识实数 湾要点提园 1.定义及分类：有理数和无理数统称为实数。 正有理数 整数 有理数零 有理数 实数 分数 或 实数 、负有理数 无理数 正无理数 无理数 负无理数 2.实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的. 3.如果两个实数只有符号不同，那么其中的一个数叫作另一个数的相反数 4.设a表示一个实数，则a|=a(a>0),a=0(a=0),la|=-a(a<0). 已课内基础练 已课外拓展练 知识点① 实数的概念和分类 5.把下列各数分别填在相应的括号内： 1.下列说法正确的是 29-6,0.-1.32,7.166,5,2 A.实数分为正实数和负实数 5.131131113…(相邻两个3之间1的个数 B.实数分为整数和分数 依次增加1)，一9. C.实数分为有理数和无理数 D.带根号的数都是无理数 整数：{ …}； 知识点②实数与数轴上的点的关系 负数：{ …} 2.(2025衡阳一模)如图，MNP0 分数：{ …}； -3-2-10123 数轴上表示√6的点可能 第2题图 有理数：{ 是 ( …}; A.点MB.点N C.点PD.点Q 正数：{ 知识点③实数的相反数、绝对值 …}: 3.(2025湘潭模拟)√3的相反数是 无理数：( A号 B.-3 C.3 3 D.√3 …}. 4.求下列各数的相反数和绝对值： 6.已知3x-y十|y-9|=0,试判断y是有 (1)9-27. 理数还是无理数， (2)√5-2. 下册第2章 29△ 2.3.2实数的运算 要闾提园 1.在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立 2.正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小数轴上右边的点表示的实数比左边的点表 示的实数大。 色课内基础练 与2 知识点① 实数的运算 1.计算√（一11）+|一11|一√11，正确的结 果是 ( ) A.-11 B.11 C.22 D.-22 8.如下图，将数轴上标有字母的各点与下列实 2.如图所示的是一个数值转换机的 输入x 数对应起来，并把下列实数用“>”连接起来. 示意图，当输人x的值为√3时，输 1 出的结果为 ( 2 202,2,-3. A.3 B.5 输出 C.-5 D.-2 第2题图 3.一125的立方根与√81的平方根的和为 4.计算：√9-√(-6)2--27. 知识点③ 系数为实数的多项式、一次方程组 9.用乘法公式计算： 知识点②比较实数的大小 (1)(√2x-y)(W2x+y). 5.(2025湖南)下列四个数中，最大的数是 ( A.3.5 B.√2 C.0 D.-1 (2)(x-√3y)2. 6.下列比较大小错误的是 ( A.-2<-1 B.π<17 C.3/1 n含0.3 √3x-y=7,① 10.解方程组： x+√3y=√3.② 7.比较下列各组数的大小： (1)-42与-3.4. 30 七年级数学XJ版 已课外拓展练 15.如右图，将一块面积为30m 11.若（一√9）2的平方根是x,64的立方根是 的正方形铁皮的四个角各截 去一个面积为2m的小正 y,则x十y的值为 ( 方形，剩下的部分刚好能围 A.3 B.7 C.3或7 D.1或7 成一个无盖的长方体运输箱.求此运输箱 底面的边长（结果精确到0.1m). 12.(2025重庆)若n为正整数，且满足n<26 <n十1，则n= 13.新定义题对于两个不相等的实数a,b,定 义一种新的运算：a米b=ya十b (a+b a-b 0).例如3*2=3+2 =√5，则6(6*3) 3-2 16.实数a,b在数轴上对应的点的位置如下图 所示 -1a0 162 14.(2025河北)(1)一道习题及其错误的解答 (1)在数轴上标出-a,-b对应的位置，并 过程如下，请指出在第几步开始出现错误， 将a,b,一a,一b用“<”连接起来。 并选择你喜欢的方法写出正确的解答 (2)化简：-a-|b一21. 过程 +6x号-6x 第一步 已核心素养练 =-3十4-5第二步 17.运算能力一个无理数，将这个数减去整数 -4. 第三步 部分，差就是小数部分.例如：无理数√2的 (2)计算：12-21-(2y×(兮）. 整数部分是1，那么小数部分就是√2一1.请 回答以下问题： (1)√10的小数部分是 √/17一2的小数部分是 (2)若a是√90的整数部分，b是√5的小数 部分，求a十b一√3的立方根， 下册第2章 31△8的立方根是2. (2)错误.理由如下： 负数开立方的结果为负数。 (3)错误.理由如下： 任何数都有立方根. (4)3是3的立方根，正确. 5.解：(1)因为63=216，所以216=6. (2)因为(-0.2)3=-0.008，所以一0.008=-0.2. 27_3 4 8,175 √-427= 3 6.A7.1.2872.7725.972 8,解：1)依次按键□可□☑日， 显示结果为8， 所以9/512=8. (2)依次按键□-)3□3☑可日， 显示结果为一1.5， 所以9-3.375=-1.5. 9.B10.B 11.27.76 12.一2【解析】由题意，得3a+2十a一10=0，解得a= 2,所以a-10=2-10=-8.因为(-2)3=-8，所以 a-10的立方根为一2. 变式题1C【解析】因为a是（一3）2的平方根， 所以a=3或一3， 所以a=3或一3. 变式题2士4【解析】由题意，得（一3）3=一27=3一 6x,解得x=5,所以2x十6=2×5十6=16.因为 (士4)2=16，所以2x+6的平方根是士4. 13.解：(1)4cm (2)因为魔方的棱长为4cm,所以阴影部分的面积为 1 X4×4=8(cm2),所以其边长为8cm. 14.解：(1)①两②6③2④26 (2)因为1000<474552<1000000， 所以10</474552<100， 所以能确定474552的立方根是个两位数， 因为474552的个位上的数是2,83=512， 所以能确定474552的立方根的个位上的数是8. 划去474552后面的三个数552得到数474， 而343<474<512，则7<474<8，可得70 </474552<80, 由此能确定474552的立方根的十位上的数是7. 因此474552的立方根是78. 2.3实数 2.3.1认识实数 1.C 2.D【解析】因为4<6<9， 所以√4<√6<√，即2<6<3，所以数轴上表示√6的 点可能是点Q. 3.B 4.解：(1)9-27=-3. 因为一（一3）=3，所以√一27的相反数为3. 由绝对值的意义，得1一271=|-3=3. (2)因为-（√5-2）=2-5， 所以5-2的相反数为2一√5. 由绝对值的意义，得|5-21=√5-2. 5.解：整数：{一64,0，-9，…： 负数：-日-1，-1.32-9…小： 分数：--1.327.16… 有理数：-，-6,0.-1.327.166，-9…： 正数：(7.1665，，5.131131113…（相邻两个3之 间1的个数依次增加1)，…： 无理数：5,5.13113113（相邻两个3之间1 的个数依次增加1)，…· 6.解：因为√3x-y+|y-9|=0, 所以3.x-y=0,y-9=0,解得x=3,y=9, 所以)=√.故5是无理数. 2.3.2实数的运算 1.B【解析】原式=11+11-11=11. 2.B【解析】(W3)2×2-1=3×2-1=5. 3.-2或-8【解析】-125的立方根为-5，√81=9,9 的平方根为土3，则一125的立方根与√81的平方根的 和为一5+3=-2或-5+（一3）=一8. 4.解：原式=3一6+3=0. 5.A6.C 7.解：(1)因为42>39.304， 所以-/42<-3.4. (2)因为5二1-1=5一2.且2<53， 22 所以5-2>0， 所以5子>0， 所以52> 下册参考答案 1 8.解：点A表示的数是-5，点B表示的数是-2，点0 表示的数是0，点C表示的数是√2，点D表示的数是 2,点E表示的数是π. >2>2>0>-含>-a 9.解：(1)原式=(2x)2-y2=2x2-y2. (2)原式=x2-2√3xy+(√3y)2=x2-23xy+3y2. 10.解：①×3，得3x-√5y=7√5，③ ③十②，得4x=8√3，解得x=2V3 把x=2√3代入②，得2√3十√3y=√3，解得y=-1, 所以原方程组的解为口=2，B, y=-1. 11.D【解析】因为(-√)2=9,9的平方根是士3,64的 立方根是4，所以x=士3，y=4,所以x十y的值为1 或7. 12.5【解析】因为25<26<36， 所以√/25<√26<√36， 所以5<√26<6. 因为n为正整数，且满足n<26<n十1， 所以n=5. 【解析】由题意，得6*(6*3)=6*√6+3 =6* 6-3 1=6+I万 6-15 14.解：(1)原计算第一步开始出错. (-6x(+号-》 1 =-6X2-6 x号+6x号 =-3-4+5 =-2 (212-21-(-2y×(号-1) =2-厄-4x号 =1-√2 15.解：设大正方形的边长为xm,小正方形的边长为ym. 由题意，得x2=30,解得x=√30， 即大正方形的边长为√30m; y2=2,解得y=√2，即小正方形的边长为√2m. √30-2J2≈2.6(m). 故此运输箱底面的边长约为2.6m, 16.解：(1)如图所示. b-1 a 0-a 2 由数轴上各数对应的位置，得-b<a<一a<b. (2)因为-a>0,b<2, 所以|-a=-a,b-2=2-b, 410 七年级数学XJ版 所以1-a|-1b-2|=-a-(2-b)=-a+b-2. 17.解：(1)√10-3√17-4 (2)因为9<√90<10，所以a=9. 因为1<3<2，所以b=√5-1， 所以a+b-√3=9+（√3-1）-√3=8. 因为√⑧=2，所以a十b一√3的立方根是2. 数学思想专题实数中的数形结合 1.A 2.B【解析】因为点A,B表示的两个实数互为相反数， 所以原点在线段AB之间，且到点A,B的距离相等， 所以原点在线段AB的中点处. 3.解：因为A,B两点所对应的实数分别是一√5,1， 所以AB=1-(-5)=1+√5. 又因为B,C两点关于点A对称，所以AB=AC. 设点C所对应的实数是x, 则-√5-x=1+√5，解得x=-25-1. 故点C所对应的实数是一2√5一1. 4.解：(1)因为点A,B分别表示1，√3，所以AB=√3-1. 由题意，得x>0,所以x=√3-1. (2)因为x=3-1,所以(x-3)2=(3-1-3)2= (一1)2=1，所以(x一√3)2的立方根为1. 5.解：(1)>>< (2)因为b一a>0,b+c>0,a一c<0,a<0,所以原式 =b-a+b+c-2(c-a)-(-a)=2a+2b-c. 6.解：(1)因为蚂蚁从点A开始沿数轴向右爬行2个单 位长度后到达点B,所以点B表示的数比点A表示的 数大2. 因为点A表示的数为一√2，点B表示的数为n,所以n =-√2+2. (2)|n+1|+(n+2√2-2)=|-√2+2+1|+(-√2 +2+2√2-2)=3-√2+√2=3. 解题方法专题实数大小比较的常用方法 1.C【解析】因为2=4，（√5）2=5,4<5，所以2<5.因 为23=8，(7)3=7,7<8，所以7<2，所以√7<2 <5. 2.解：两数平方，得(1+√2024)2=2025+2√2024， (√2025)=2025. 因为2025<2025+22024， 所以√2025<1+√/2024. 3.解：因为3<√13<4，所以0<√13-3<1. 因为1<√5<2，所以√13-3<√3， 所以宿-35 8 8