19.4 函数的初步应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦函数的初步应用，通过运动员血乳酸浓度变化图象导入，引导学生从图象获取信息，衔接已学的函数图象与数值表知识，搭建从具体情境到函数模型的学习支架。 以真实情境（如温度转换、五环图填数）培养数学眼光，通过建立函数表达式发展推理能力与模型意识，助力学生提升用数学语言解决实际问题的能力，为教师提供情境化教学范例，落实核心素养。

19.4 函数的初步应用 课题 函数的初步应用 课型 新授课 教学内容 教材第52-56页的内容 教学目标 1.能从函数关系中获取相应信息，运用函数解决简单的实际问题. 2.体会函数模型的作用，增强数学应用意识. 教学重难点 教学重点：经历从函数的图表中获取信息、建立数学模型，解决问题的过程. 教学难点：结合图象对某些简单实际问题中的函数关系进行分析，并能解决一些简单的问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 如图是体育科研工作者根据实验数据绘制的一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化的函数关系．(注：血乳酸浓度升高是运动员感觉疲劳的重要原因．未运动时的血乳酸浓度水平通常在40 mg／L以下．图中虚线表示运动员全力运动后来用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况，实线表示采用慢跑等活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况．) 你能从图象中获取了哪些信息呢？ 2.类比探究，学习新知 很多实际问题和数学问题都表现为两个变量之间的函数关系.因此，学会建立函数模型，并用函数模型解决问题，是十分重要的. 常用的温度计量标准有两种，一种是摄氏温度(℃)，另一种是华氏温度(℉). 中央气象台天气预报中的气温，用的就是摄氏温度. 【一起探究】 已知摄氏温度值和华氏温度值有下表所示的对应关系: 【师生互动】 老师：观察上面的表格，它描述的是哪两个变量之间的关系啊？ 学生：摄氏温度值和华氏温度值. 老师：这种描述函数关系的方法叫作什么？ 学生：数值表法. 老师：很对，根据表格，说一说，当摄氏温度为30℃时，华氏温度为多少？ 学生：86℉. 老师：当摄氏温度为40℃时，华氏温度为多少？ 学生：104℉. 老师：回答的很对，那么当摄氏温度为36℃时，由数值表能直接求出华氏温度吗？ 学生：不能，表格中没有36℃. 老师：那我们找一下规律：从摄氏温度30℃到40℃时，华氏温度升高了多少？ 学生：升高了18℉. 老师：当摄氏温度为0℃时，华氏温度为多少？ 学生：32℉. 老师：根据上面这些条件，若设摄氏温度为x（℃），华氏温度为y（℉），试着自己写一下这两种温度计量之间关系的函数表达式吧. 学生：y=1.8x+32. 老师：写的很对.根据写出的表达式，你能求出摄氏温度为36°C时的华氏温度吗？ 学生：把x=36代入表达式，可知H=1.8×36+32=96.8（℉）. 老师：那摄氏温度为25℃,45℃呢？自己算一算. 老师：下面我们再考虑一个问题：当华氏温度为140℉时，摄氏温度为多少？ 学生：华氏温度为140℉时，也就是y=140，代入可得 140=1.8x+32，能求出x=60. 老师：很好，做的很对. 情境 大家都熟悉奥运会的标志图案——五环图.在五环图的上面三个环中填入三个连续的偶数，在下面的两个环中填入两个连续的奇数，使得这三个连续偶数的和等于这两个连续奇数的和(如图中已经填好的2，4，6和5，7). 【师生互动】 老师：上面的题意你们理解了吗？试着自己验算一下：上面三个连续偶数的和等于下面两个连续奇数的和成立吗？ 学生：2+4+6=12，5+7=12，成立. 老师：请你按照要求再填写两组数.自己试着写一写. 老师：请和同学交流各自填写的数组是什么. 老师：都写出来了吗？ 学生1：写出来了，6,8,10；11,13. 学生2：8,10,12；13,17，好像不太符合要求. 老师：是不是写起来有难度啊？感觉满足要求的数组不多？ 学生：嗯，不好写. 老师：我们一起来看一下吧.如果用2x-2，2x，2x+2表示三个连续的偶数，用2y-1和2y+1表示两个连续的奇数，根据题意试着写出它们之间满足的等式. 学生：2x-2+2x+2x+2=2y-1+2y+1. 老师：试着自己化简一下，写出y与x之间的函数表达式. 学生：. 老师：很好，我们试一试，当x=10时，y的值是多少？ 学生：y=15. 老师：对，我们一起写一写，x=10,y=15,这时2x-2=18,2x=20, 2x+2=22,2y-1=29,2y+1=31，那么这组数就是18,20,22；29,31.同学们自己验证一下，是不是正确. 学生：18+20+22=60,29+31=60，正确. 老师：根据上面的办法，自己再试着写一组满足题目要求的数吧. 老师：写好了吗？我们再回头看一下之前的问题：满足要求的数组有很多吗？ 学生：有很多，只要x是偶数就可以了. 老师：说的很对.我们一起看一下课本上的内容吧. 实际上，上述问题中的函数表达式为.为保证x，y都为整数，x必须取偶数.如当x=20时，y=30,满足条件的一组数是:偶数38,40，42；奇数59，61. 3.随堂训练，巩固新知 老师：我们继续利用函数的知识解答下面这些实际问题. 1.一支20 cm长的蜡烛，点燃后，每小时燃烧5 cm.在图19.4-1中，哪幅图象能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系？请说明理由. 【师生互动】 老师：我们先看一下要题目中解决的是什么问题啊？ 学生：哪幅图象能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系？ 老师：好，最开始的时候，蜡烛是多长呢？ 学生：20 cm长. 老师：也就是时间为0时，蜡烛长20 cm，我们看一下给出的图象，哪个不符合这个要求？ 学生：图（2），开始是0 cm，肯定不对. 老师：蜡烛燃烧时，每小时燃烧5 cm，是不是越烧蜡烛就越短啊？ 学生：是的. 老师：那么图（1）符合吗？ 学生：图（1）不符合，蜡烛的长度始终不变. 老师：我们再来验证一下，图（3）是不是我们要找的图象.一支20 cm长的蜡烛，点燃后，每小时燃烧5 cm，多长时间能烧完呢？ 学生：4小时.图（3）符合题意. 老师：很好，我们继续看下面这个题目. 2.一等腰三角形的周长为12 cm，设其底边长为y cm，腰长为x cm. （1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围. （2）画出这个函数的图象. 【师生互动】 老师：等腰三角形中，两条腰长是不是相等？ 学生：相等. 老师：根据题意写出y与x的函数关系式吧. 学生：y=12-2x. 老师：自变量x的取值范围怎么求呢？ 学生：x>0,y>0. 老师：x和y可以无限大吗？还需要满足其他的条件吗？ 学生：还要注意满足三角形的三边关系. 老师：非常正确，现在同学们能试着求出x的取值范围吗？ 学生：因为x+x＞y,即x+x＞12-2x，解得x＞3. 又因为y=12-2x＞0，所以x＜6，所以3＜x＜6. 老师：说的很对.接下来同学们试着画一下这个函数的图象吧.画图象时，注意自变量的取值范围，注意画图象的步骤：列表格、描点、连线. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）如何根据函数图象读取信息? （2）通过建立函数模型解决实际问题时应注意哪些问题？ （3）你还有哪些感悟或收获？ 5.布置作业 1.课本P53-54练习第1-2题. 2.课本P54-55习题第1-4题. 引入实际问题，结合之前学过的函数知识，让学生们从图中找出信息，引出本节课所要讲的函数知识.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 本节课是用函数解决一些简单实际问题,在解决问题的过程中,使学生加深对函数概念的理解,体会函数模型的作用. 关于“一起探究”的活动,应尽可能通过老师的引导，让学生自己完成. 函数表达式具有简单明确的特点，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系.因此建立适当的函数模型会使问题简单化. 对于“大家谈谈”的活动,应让学生采取自主探究与合作交流的学习方式，独立思考,填写数组后,交流各自的结果,交流符合要求的数组所具有的特征,教师应引导学生深入思考,分析问题，建立函数模型,求解验证,体会函数模型的作用. 设三个连续偶数为2x-2,2x,2x+2,两个连续奇数为2y-1，2y+1，其中x,y均为整数，得.将y看作x的函数,自变量x只能取偶数,由此可得满足条件的两组数. 根据图象读取信息时，要把握以下三个方面： 1.横纵轴的意义，以及横纵轴分别表示什么量； 2.关于某个具体点，要求向横纵轴作垂线求得该点的坐标； 3.在实际问题中，要注意图象与x轴，y轴交点坐标代表的具体意义. 函数的初步应用： （1）根据实际问题画出函数图象再解决实际问题； （2）直接根据给定的函数图象解决实际问题. 注意：实际问题中自变量的取值范围. (1)自变量自身表示的意义，如时间、耗油量等不能为负数； (2)问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 19.4 函数的初步应用 1.确定实际问题中的函数关系式 2.描述实际问题中的函数图象 3.从函数图象中获取信息、解决问题 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $