19.3 函数的表示-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“函数的表示”核心知识点，通过上班路程与时间关系、银行利率等生活实例导入，衔接已学的数值表、图象、表达式三种方法，引导学生思考不同情境下的合适表示方式，搭建新旧知识的学习支架。 此资料以声速与气温关系为载体，整合三种表示方法的转换与特点分析，学生动手画图、归纳表达式，培养几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）与模型意识（数学语言），助力学生理解方法联系，提升教师教学效率与学生应用能力。

19.3 函数的表示 课题 函数的表示 课型 新授课 教学内容 教材第45-50页的内容 教学目标 1.通过实例,进一步了解函数关系的三种表示方法. 2.了解函数各种表示方法的特点，能选择适当的方法表示实际问题中的函数关系，发展符号感. 3.体会并认识函数关系的三种表示方法的关系,初步体会数形结合的思想方法. 教学重难点 教学重点：了解函数三种表示方法的特点，能选择适当的方法表示实际问题中的函数关系. 教学难点：理解三种函数表示形式之间的联系. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？ (2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？ 【师生互动】 老师：同学们，还记得我们在“函数”这一节学过，表示函数有哪几种方法吗？ 学生：记得，有数值表、图象和表达式三种方法. 老师：针对问题（1），选择哪种方法最合适？ 学生：图象法. 老师：针对问题（2）中的不同情境，我们应该选择哪种方法？ 学生：…… 2.类比探究，学习新知 函数有不同的表达方式，可用来表达不同问题情境中两个变量之间的关系，帮助我们分析和解决问题. 我们知道，用数值表、图形和表达式等都可以表示两个变量之间的函数关系.现在，我们对这些表示方法作进一步的探究. 情境 声音在空气中传播的速度(简称声速)与气温之间具有函数关系.某研究者通过实验得到了如下一组关于气温x（℃）与声速y（m/s）对应的数值： 【师生互动】 老师：上面表示的是哪两个变量之间的函数关系？ 学生：气温x与声速y的函数关系. 老师：哪个是自变量？ 学生：气温x是自变量. 老师：这是用什么方法表示的两个变量之间的函数关系？ 学生：数值表法. 老师：根据上面的表格你能直接说出x=-5时的声速吗？ 学生：328 m/s. 【做一做】 老师：我们按照下面的要求，自己画一画： 以横轴表示气温，每5 ℃为一个单位长度，纵轴表示声速，每100 m/s为一个单位长度，建立平面直角坐标系，以表格中给出的气温和声速的数值为点的横坐标和纵坐标. 老师：坐标系画好了吗？继续下面的步骤： 在直角坐标系中描点. 老师：点描完了吗？我们进行最后一步： 连线(用平滑的曲线连点)，画出图形. 老师：同学们，都画好了吗？看一下老师画的吧. 老师：大家看一下，这个函数的图像是不是一条直线啊？ 学生1：是.学生2：不是. 老师：好，我们看一下表格中的数据，从-10℃到-5℃，对应的声速增加了多少？算一算. 学生：328-325=3（m/s）. 老师：再看一下从-5℃到0℃，对应的声速增加了多少？算一算. 学生：331-328=3（m/s）. 老师：自己仔细看一下，气温每升高5℃，对应的声速是不是增加3 m/s？ 学生：是的. 老师：那么气温每升高（或降低）1℃，对应的声速增加（或降低）多少？ 学生：0. 6（或）m/s. 老师：当x=0时，y的值是多少？ 学生：331 m/s. 老师：如何用表达式表示声速y(m/s)和气温x(℃)之间的关系？ 学生： 老师：是的. 老师：好，我们一起看一下课本上的内容. 通过上面的“做一做”，我们发现在这个问题中，声速与气温这两个变量之间的函数关系，既可以用数值表来表示，也可以用图19.3-1中的图形来表示，还可以用函数表达式来表示. 一般地，我们把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫作这个函数的图象.如图19.3-1中的图形就是函数的图象. 观察可知，函数的图象为一条直线. 数值表、图象、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点. 【大家谈谈】 由函数的数值表、图象和表达式三种方法给出的函数关系各有怎样的特点？ 老师：我们先来看一下数值表，它有怎样的特点呢？还是看上面的气温与声速对应的数值表： 老师：根据这个数值表，你能不能直接说出10℃时对应的声速？ 学生：能，337 m/s. 老师：那12℃时对应的声速呢？ 学生：不知道. 老师：好，我们总结一下数值表的优缺点吧. 优点:具有很强的操作性,数据很具体,便于作深入的统计分析,对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便. 缺点:它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出,而且从表中看不出变量间的对应规律. 老师：好，下面我们继续看一下图象，它有怎样的特点呢？还是看上面的气温与声速对应的函数图象： 老师：根据画出的图象，你能不能判断，随着气温的升高，声速的变化规律？ 学生：能，随着气温的升高，声速越来越快. 老师：你能直接说出气温是12℃时的声速吗？ 学生：不能. 老师：好，我们总结一下图象法的优缺点吧. 优点:能形象直观地显示出函数的变化规律,把抽象的函数概念形象化,为研究函数的性质提供方便. 缺点:所画的图像是近似的、局部的,从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值. 老师：下面我们继续看一下表达式，它有怎样的特点呢？还是看上面的气温与声速对应的函数表达式：.根据这个表达式，你能直接说出10 ℃是的声速吗？ 学生：不能. 老师：你能算出12℃时的声速吗？ 学生：可以.把x=12代入表达式就可以算出来. 老师：好，我们总结一下表达式法的优缺点吧. 优点:简单明了,能从解析式中清楚地看到两个变量之间的全部相依关系,并且适合进行理论分析和推导计算. 缺点:在求对应值时,有时要做较复杂的计算. 【归纳】图象法、数值表法、表达式法表示函数关系时各自的优缺点： 老师：好了，我们一起看下面这个例题. 例 在平面直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图象. 解:(1)取值.根据函数表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表: (2)描点.根据自变量和函数的数值表，在平面直角坐标系中描点. (3)连线.用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图象，如图19.3-2. 老师：同学们，根据上面的作法法，自己试着画一画吧. 3.随堂训练，巩固新知 用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根，显示器显示的结果随输入数的变化而变化.设输入的数为x，显示的结果为y，程序如图19.3-3所示. (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. (2)根据函数关系式，填写表格: (3)借助这些对应的数值画出这个函数的图象. 答案： （1）. （2）填表如下： （3）函数图象如图所示. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1） 函数关系的三种表示方法分别是什么？各自的特点是什么? （2） 画函数图象的一般步骤是什么？ 5.布置作业 1.课本P47练习第1-2题. 2.课本P48-49习题1-3题. 引入生活中常见的实际问题，结合之前学过的表示函数的方法，讨论选择合适的表示方法，引出本节课所要讲的函数表示的问题.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上，引出本节课的知识. 这是用数值表的形式来表达声速y（m/s）与气温x（℃）之间的函数关系. 在前面学习的函数知识的基础上,探索把数值表表示的函数关系用图象和表达式来表示. 通过对函数关系表示方法的进一步研究,使学生加深对函数概念的理解,认识到三种表示方法能使数和形统一起来,三者各有特点,有时又可互相转换. 对“做一做”的内容，应根据学生不同的基础,给学生提供探索的空间,视探索进程进行适当地引导,在学生画出函数图象后,引导学生归纳、体会图象表示函数关系的特点. 给出问题背景中的数据后,让学生尝试完成以下任务: (1)除用数值表表示这个函数外,还可以用哪些形式表示这个函数关系? (2)气温每升高(或降低)1 °C,对应的声速增加(或降低)多少?当x=0时,y的值是多少?如何用表达式表示声速y与气温x之间的关系? (3)如何求气温为-4 °C,28 °C时声速y的值?引导或组织学生进行合作交流,教师作适当的引导. 充分调动学生学习的积极性，展开思考和交流活动,引导学生归纳三种函数表示方法的特点. 例题是在前面学习、分析函数三种表示方法的特点的基础上,进一步学习用图像表示函数的方法. 画图象的三个主要步骤： （1）取值. （2）描点. （3）连线. 让学生尝试独立画图，熟练作图步骤. 通过学生的探究和交流,用表达式、数值表、图象表示问题中的函数关系. 尽量让学生独立完成或合资完成，使学生进一步体会各种表示方法的特点. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 19.3 函数的表示 数值表、图象、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点. 一般地，我们把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图象. 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $