19.2 函数（第2课时）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“自变量的取值范围”核心知识点，通过弹簧秤称重、长方体体积等实际问题导入，师生互动发现自变量需取值限制，衔接上一课时函数概念，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 资料特色在于融合生活情境与数学表达，通过“大家谈谈”讨论实际问题中自变量取值（如月份、时刻），“随堂训练”分析整式、分式、二次根式中自变量限制，引导学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理条件，培养模型意识与推理能力，助力学生夯实函数基础，教师可直接参考互动设计提升教学效率。

19.2 函数 第2课时 自变量的取值范围 课题 自变量的取值范围 课型 新授课 教学内容 教材第42-44页的内容 教学目标 1.进一步经历函数模型的建构过程，体会函数中变量之间的对应关系. 2.能确定简单函数和有实际背景的函数中自变量的取值范围. 3.渗透数学结合的数学思想，发展学生的模型观念，感受函数的普遍性. 教学重难点 教学重点：确定简单函数和有实际背景的函数中自变量的取值范围. 教学难点：经历函数模型的建构过程. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子． (1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm； (2)设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变． 【师生互动】 老师：问题（1）中，哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？ 学生：所挂重物的质量是自变量，挂上重物后弹簧的长度是自变量的函数. 老师：你能写出用自变量表示函数的式子吗？ 学生：y=10+0.5x. 老师：题目中“一个弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体”是什么意思？ 学生：这个弹簧秤能称的物体质量要小于或等于10 kg. 老师：那超过10 kg会怎么样？ 学生：弹簧会变形，测量不准确了. 老师：是的，因此，这个函数表达式中，x是不是需要有一个取值范围啊？ 学生：是的. 老师：好的，我们再看第（2）题，哪个是自变量？ 学生：底面边长a(cm)是自变量. 老师：你能写出用自变量表示函数的式子吗？ 学生：V=30a2. 老师：同学们看一下，这个自变量a有没有取值范围啊？ 学生：a要大于0. 老师：很好，我们这节课就来研究一下自变量的取值范围问题吧. 2.类比探究，学习新知 函数的自变量可以在允许的范围内取值，超出这个范围可能失去意义，就是函数的自变量的取值范围问题. 【大家谈谈】 老师：大家翻到课本第39页，问题（1）中，“自动售货机1月~6月的每月纯收入S(元)是月份n的函数”，自变量n的值可以是1吗？ 学生：可以. 老师：还可以是几啊？ 学生：还可以是2，3，4，5，6. 老师：当T=1.5时，原问题有意义吗？ 学生：没有意义. 老师：那当T=7时呢？ 学生：也没有意义. 老师：好了，我们继续看下面的问题（2），“某市某一天的气温T(°C)是时刻t的函数”，自变量t可以是2时吗？ 学生：可以. 老师：自变量t还可以是多少？ 学生：还可以4时、5时，14时、15时…… 老师：说了这么多啊，那可以是第二天3时吗？ 学生：不可以. 老师：好了，我们继续看下面的问题（3），“报告厅内第n排的座位数m是排数n的函数”，自变量n的值可以是3吗？ 学生：可以. 老师：可以是5吗？ 学生：可以. 老师：还可以是多少呢？ 学生：还可以是6，7，8，9，10…… 老师：回答的很好，那么当n=0.5时，原问题有没有意义？ 学生：没有意义了. 老师：大家再回想一下这三个问题，自变量都分别可以取哪些值？跟同桌一起讨论一下. 老师：好了，大家都讨论完了吗？老师给大家总结一下吧. 实际上，在上述三个问题中，n只能取1，2，3，4，5，6；t可取这一天0时~24时中的任意值；n只能取正整数. 老师：大家都明白了吗？ 学生：明白了. 老师：我们一起再来看一下下面这个例题. 例 如图19.2-3，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边CA与边MN在同一条直线上，点A与点M重合.让△ABC沿MN方向运动，当点A与点N重合时停止运动.试写出运动中两个图形重叠部分的面积y(cm2)与MA的长度x(cm)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. 【师生互动】 老师：同学们先自己思考一下这个题目该怎么解答？ 老师：好，我们一起来看一下，∠A的度数是多少？ 学生：45°. 老师：重合部分是什么图形呢？ 学生：等腰直角三角形. 老师：MA的长度是x，另一条直角边的长度是多少？ 学生：也是x. 老师：自变量x的取值范围如何确定呢？ 学生：x应该大于等于0. 老师：还有其他限制条件吗？ 学生：…… 老师：好，我们一起看一下课本上的解答过程吧. 解:因为△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形，且AC=BC=QM=MN,∠BAC=45°，∠QMN=90°. 所以,运动中两个图形的重叠部分也是等腰直角三角形. 由MA=x,得，0≤x≤10. 【课堂小结】 函数自变量的取值范围由两个条件所确定：一是使函数表达式有意义，二是使所描述的实际问题有意义. 3.随堂训练，巩固新知 1.求下列函数自变量x的取值范围： （1）；（2）；（3）. 【师生互动】 老师：同学们先看一下这个题目，跟同桌讨论一下如何解决. 老师：好了，现在我们一起看一下，在函数中，x可以取1吗？可以取1.5吗？可以取吗？ 学生：都可以. 老师：那我们试试0和负数，可以取得到吗？ 学生：可以. 老师：那么函数y=2x+1中，x可以取哪些数啊？ 学生：能取到全体实数. 老师：回答的很好，能取到全体实数.我们继续看第二个函数，的x能取到全体实数吗？ 学生1：能. 学生2：不能. 老师：到底能，还是不能呢？你说一下，为什么不能啊？ 学生2：因为x（x+1）是分母，不能取0. 老师：他说的对不对啊？ 学生：对. 老师：嗯，很好，作为分母不能取0，因此函数的自变量x的取值范围是什么？ 学生：因为x（x+1）≠0，所以x不能取除了0和-1以外的所有实数. 老师：很好，我们可以写作x≠0且x≠-1. 老师：我们看最后一个函数，我们先看一下等式右边，是不是一个二次根式啊？ 学生：是的. 老师：二次根式有什么性质呢？ 学生：有双重非负性. 老师：回答的很对，那x的取值范围你们能求出来吗？ 学生：根据x-1≥0，可以求出x的取值范围是x≥1. 老师：真棒，回答的非常好. 老师：做完了给出函数的取值范围的问题， 2.写出下列问题中的函数关系式及自变量的取值范围: (1)某市民用电的收费标准为0.52元/千瓦时，求电费y(元)与用电量x(千瓦·时)的函数关系式. (2)已知一等腰三角形的面积为20 cm2.设它的底边长为x(cm)，底边上的高为y(cm),求y与x之间的函数关系式. 分析：（1）电费=用电的收费标准×用电量. （2）三角形的面积=×底×高. 解：（1）电费y(元)与用电量x(千瓦·时)的函数关系式为y=0.52x. （2） ∵xy=20, ∴y= ，x>0. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1） 什么是自变量的取值范围？ （2）在判断整式、分式和二次根式三种形式的函数表达式中的自变量的取值范围时，对自变量的取值有什么限制条件？ （3）函数自变量的取值范围由哪两个条件所确定？ 5.布置作业 1.课本P43练习第1-2题. 2.课本P44习题第1-4题. 引入生活中的弹簧秤称物体、长方体盒子求体积的实际问题，根据实际问题中自变量是否有限制，引出本节课所要讲的自变量取值范围的问题.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上.引出本节课的知识. (1)根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，可以列出函数表达式；(2)根据“长方体的体积=底面积×高”可以列出函数表达式． 在函数中,自变量取定的一个值,函数相应地有一个值与之对应,但函数的自变量往往需要满足一定的条件，这就是函数的自变量的取值范围.在教学中，应结合具体问题以及函数表达式来辨析自变量的取值范围. 让学生在实例中体会函数的自变量的取值范围. 对于“大家谈谈”活动,应充分给学生独立思考、交流的时间和空间,也可另外让学生再举一些实例,根据实例,寻求函数的自变量的取值范围,以丰富学生对函数概念的理解. 1.n只能取1，2，3，4，5，6这6个整数. 2.0≤t<24. 3.n≥0,且n是整数. 使函数有意义的自变量取值的全体，叫作函数自变量的取值范围． 对于“例题”的教学,也应让学生先行独立思考,并交流各自做法,再由教师引导，完整解决问题的过程以及书写规范. 对整式、分式和二次根式三种形式的函数表达式中的自变量的取值范围进行探究. 让学生自己思考后，再进行交流合作,不但要关注结果的正确与否,还要探求确定自变量取值范围的依据. 当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 教师注意引导学生是“且”而不是“或”，必须同时满足. 教师强调确定函数关系式时关键是找到题目中隐含的等量关系，再用相应的字母进行替换即可. 解答问题（2）时，一定要注意自变量x所在的位置，x的取值范围要使函数表达式有意义. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 19.2 函数 第2课时 自变量的取值范围 1.使函数有意义的自变量取值的全体，叫作函数自变量的取值范围． 2.当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 3.函数自变量的取值范围由两个条件所确定，一是使函数表达式有意义，二是使所描述的实际问题有意义. 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $