19.2 函数（第1课时）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“自变量与函数”核心概念，通过“水滴波纹”生活实例导入，衔接方程不等式知识，构建从等量不等关系到变量对应关系的学习支架，引导学生理解函数模型。 以售货机收入、气温变化图、报告厅座位等实例驱动教学，抽象变量对应关系形成函数概念，培养抽象能力与模型意识，结合数值表、图象、表达式三种表示方法，提升应用意识，助力学生理解函数本质，教师教学逻辑清晰，互动性强。

19.2 函数 第1课时 自变量与函数 课题 自变量与函数 课型 新授课 教学内容 课本第39-42页的内容 教学目标 1.结合丰富的实例，使学生在具体情境中了解变量之间的对应关系，抽象出函数模型，感受函数是刻画现实生活中一种重要的数学工具. 2.结合实例，初步了解数值表、图象、表达式这三种函数的表示方法. 3.在具体函数中，能指出自变量及函数关系，并利用函数关系解决简单问题. 教学重难点 教学重点：理解自变量与函数的意义，初步了解函数的三种表示方法. 教学难点：能够根据题意抽象出函数模型，并利用函数关系解决简单问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定． 在上述例子中，每个变化过程中的两个变量．当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定． 老师：你能举出一些类似的实例吗？ 教师引出课题：方程和不等式是描述等量关系和不等关系的数学模型.那么，用什么模型来描述一个事物变化过程中两个变量之间的关系呢？这就是我们今天要学习的内容. 2.类比探究，学习新知 【观察与思考】 1.思考并解决下列问题: (1)下表是某自动售货机上半年的纯收入情况: 根据这个表格你能说出1月~6月每个月的纯收入吗？ 【师生互动】 老师：在这个问题中，一共有几个量？ 学生：一共有两个量. 老师：分别是哪两个量呢？ 学生：月份和纯收入. 老师：这两个量是常量还是变量？ 学生：是变量. 老师：根据上面的表格，1月份的纯收入是确定的吗？ 学生：是确定的，是4560元. 老师：那2月份的呢？ 学生：也是确定的，是4790元. 老师：同桌之间互相提问一下，每个月份的纯收入分别是多少元？ 学生：…… 老师：好了，不管几月，是不是月份确定了，纯收入就是确定的呢？ 学生：是的. 老师：好，我们继续看下面一个题目. (2)图19.2-1是某市冬季某天的气温变化图. 观察这个气温变化图，你能找到3时、9时和16时对应的温度吗？你能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗？ 【师生互动】 老师：在这个问题中，一共有几个变量？ 学生：两个. 老师：分别是哪两个变量呢？ 学生：温度和时间. 老师：你能从图上找到3时对应的温度吗？ 学生：是-3 ℃. 老师：那9时的温度呢？ 学生：是1 ℃. 老师：那下午16时的温度呢？ 学生：是4 ℃. 老师：和同桌讨论一下，看看其他时间的温度分别是多少摄氏度？ 学生：…… 老师：你能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗？ 学生：根据气温变化图，可以得到这天24小时内任意时刻对应的温度. 老师：好，我们继续看下面这个问题. (3)某报告厅共有30排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多2个座位. 若用n表示排数，m表示第n排的座位数，请写出用n表示m的表达式.根据写出的表达式，是否可以得出任意排数的座位数？ 【师生互动】 老师：在上面的问题中，有哪些变量啊？ 学生：报告厅内座位的排数和第n排的座位数. 老师：它们之间有什么关系呢？ 学生：后面每一排都比前一排多2个座位. 老师：用n表示排数，m表示第n排的座位数，你能写出用n表示m的表达式吗？ 学生1：m=20+2（n-1）. 学生2：m=20+2n. 老师：哪个同学做的对呢？ 学生：…… 【课堂小结】 在上述三个问题中，都有两个变量，并且在同一个问题中，当其中一个量变化时，另一个量也在相应地变化，当其中一个量取定一个值时，另一个量也相应地确定一个值. 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数.其中，x叫作自变量. 如上面问题1(1)~(3)中，自动售货机的纯收人S(元)是月份n的函数，n是自变量；某市某一天的气温T(℃)是时刻t的函数，t是自变量；报告厅内第n排的座位数m是排数n的函数，n是自变量. 如果y是x的函数，那么我们也说y与x具有函数关系. 【大家谈谈】 1. 如果y是x的函数，那么哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数？ 预设：x是自变量，y是x的函数. 2.在上面的“观察与思考”中，我们认识了用“数值表、图形、表达式”三种方式分别表示的函数，请用这三种方式各再举一个表示函数关系的例子. 3.随堂训练，巩固新知 1.党的十九大以来，我国人民的生活发生了巨大的变化.下表是国家统计局公布的近几年全国居民人均可以支配收入的情况: 在这里，全国居民人均可支配收入（元）与年份两个量之间是否具有函数关系？若具有函数关系，请指出其中的自变量和关于自变量的函数. 【师生互动】 老师：我们先回忆一下，什么是函数关系？ 学生：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数. 老师：上面这个问题中，全国居民人均可支配收入（元）与年份两个量之间是否具有函数的特征？ 学生：具有. 老师：全国居民人均可支配收入（元）与年份两个量之间是否具有函数关系？ 学生：具有函数关系. 老师：请指出其中的自变量和关于自变量的函数. 学生：自变量是年份，存款余额(亿元)是关于自变量的函数. 老师：好，回答的很好，我们继续看下面一个题目. 2.海水受日月的引力而产生潮汐现象.海水早晨上涨的现象叫作潮，黄昏上涨的现象叫作汐，潮与汐合称潮汐.某港口的某一天，从0时至24时的水位情况如图19.2-2所示.变量h（m）与变量t（时）是否具有函数关系？若具有函数关系，则哪个量是自变量，哪个量是这个自变量的函数？ 【师生互动】 老师：大家都知道潮汐现象吗？海水受日月的引力而产生潮汐现象. 学生：知道. 老师：根据水位情况变化图，你能看出有哪几个变量吗？ 学生：h和t. 老师：变量h与变量t是否具有函数关系？ 学生：具有. 老师：当t=6时，h的值是多少？ 学生：…… 老师：当t=8时，h的值是多少？ 学生：…… 老师：哪个量是自变量，哪个量是这个自变量的函数？ 学生：t是自变量，h是这个自变量的函数. 老师：好，同学们回答的非常好. 4.课堂小结，自我完善 老师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1） 什么是自变量？什么是自变量的函数？ （2） 如何确定两个变量之间是否存在函数关系？ 5.布置作业 课本P41练习第1-2题. 课本P41-42习题第1-3题. 引入生活中的“水滴激起的波纹”实际问题，根据圆的面积随着半径的变化而变化，引出问题.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上.引出本节课的知识. 本节课是在上一节课内容的基础上，探索两个变量之间的对应关系——函数.它是刻画两个变量之间关系的重要数学模型,也是解决许多实际问题的重要工具.函数概念的本质是两个变量之间存在的对应关系,教学中,应关注三个问题:一是变化过程,二是互相依赖的关系,三是“值”的唯一性. 通过实例，从三个不同角度描述变化规律，感受变量之间的对应关系. 在“观察与思考”活动中,应先让学生自己尝试、思考,再合作交流,引导学生对1月~6月中的“月份”、24小时内任意“时刻”及折叠的“次数”多取一些值,感受月份与纯收入、时刻与温度、折叠次数与层数之间的变化规律及其对应关系. 引导学生思考、交流,分析三个实例的共性:两个变量间,当一个变量变化时,另一个变量也相应地变化;当一个变量取一个确定的值时,另一个变量的值也随之确定. 三个实例中的两个 变量之间分别具有相互依赖关系,当其中一个变量变化时，另一个变量也相应地变化,并且当其中一个变量取定一个值时,另一个变量也相应地确定一个值. 进一步理解函数模型，辨析自变量与函数,初步体会数值表、图象、表达式这三种函数的表示方法. “大家谈谈”与“做一做”的活动,是为了让学生对函数概念进一步理解.应为学生提供充足的思考、交流的时间和空间,让学生进行深刻的思考和广泛的交流,在交流中达成共识，不要简单地说“是”或“不是”. 1.全国居民人均可支配收入与年份具有函数关系,年份是自变量,存款余额是年份的函数. 2.h与t具有函数关系,t是自变量,h是t的函数. 函数的概念是属于“了解”的内容,只要学生能够领会其意义,能够辨识两个量之间的关系是否为函数关系就可以了,不宜深究. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 19.2 函数 第1课时 自变量与函数 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数.其中，x叫作自变量. 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $