19.1 常量和变量-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“常量和变量”核心知识点，通过动车行驶、购买文具盒等生活实例导入，关联小学“路程=速度×时间”“总价=单价×数量”知识，搭建新旧知识支架，引导学生从熟悉情境过渡到变量关系探究。 此资料以“问题情境—探究建模—应用拓展”为主线，结合动车匀速行驶、长方形折叠等实例，培养学生用数学眼光观察变化（抽象能力）、用数学思维分析关系（推理意识）、用数学语言表达规律（模型意识），助力学生理解概念本质，教师易操作，提升课堂效率与学生学习兴趣。

第二十章 函 数 章 节 备 课 第十九章 本章所需课时数 6课时 课标要求 1. 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例. 2. 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析. 3. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值. 4. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义. 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 教材分析 本章的主要内容是在实际问题中认识变量和常量,通过实例分析建立函数模型,确定函数自变量的取值范围,研究函数的表示方法,函数模型的简单应用，以及以变化的观点对两个量之间的关系作进一步研究.函数概念是学习一次函数、反比例函数和二次函数等内容的基础,它所体现的模型化思想沟通了许多数学内容之间的联系,为学生观察事物、解决问题提供了一条新的、有效的途径. 主要内容 本章的主要内容是,在实际问题中认识常量和变量，通过实例分析建立函数模型，确定函数自变量的取值范围，研究函数的表示方法，函数模型的简单应用. 教学目标 1.让学生经历常量和变量、两个变量之间的函数关系,建立函数模型,以及用多种方法表示函数的认知过程,进一步发展学生的抽象思维和符号感. 2.通过实例,让学生了解变量和常量的意义、函数的概念;能举出现实生活中具有函数关系的例子,并能确定简单的整式、分式、二次根式和实际问题中的函数自变量的取值范围，会求函数的值;了解函数的三种表示方法,能够选择适当的表示方法刻画某些简单实际问题中变量间的函数关系. 3.使学生能结合图象对某些简单实际问题中的函数关系进行分析,对变量的变化规律进行预测,并能解决--些简单的问题. 4.让学生经历“问题情境一建立模型一求解验证”的过程,体会数学的价值,增强学生学习数学的信心. 课时分配 19.1 常量与变量 1课时 19.2 函数 2课时 19.3 函数的表示 1课时 19.4 函数的初步应用 1课时 回顾与反思 1课时 教与学建议 1.让学生充分经历建立函数模型的过程.函数模型的建立需要经历对实际情境的理解，变量之间关系的探究,问题本质的抽象,共同本质的概括等一系列过程,这是对实际情境亲身感受的积累、提炼与升华.应让学生在教科书设计的活动中去亲身体验和理解两个变量间的对应关系.在教学中，根据实际需要,可以对前面的实例进行分析,也可以再补充一些实例,但不要把问题作为概念的引例直接讲授,不要让学生去机械记忆概念. 2.教师在组织教学活动的过程中,应充分发扬民主，为学生提供自主学习及探索的空间与时间.在建立变量与常量、函数的概念时,应让学生结合具体实例进行辨析,加深对概念的理解,促使学生在课堂上积极思考、合作交流,并在活动的过程中不断地获取新知,提高数学思考的能力. 3.注意知识间的前后联系.函数关系及三种表示方法,在前面的教学中已有渗透和体现，在教学中应注意与前面知识的联系.对于今后相关函数的学习,本章知识作了必要的知识思想和方法的铺垫,函数关系的分析,图象的研究,函数模型的建立等都是将来学习的基础,在本章教学中应给予关注. 19.1 常量和变量 课题 常量和变量 课型 新授课 教学内容 课本第36-38页的内容 教学目标 1.通过实例，让学生了解实际生活中事物变化中的存在的常量和变量. 2.通过探索两个量之间的关系和变化规律，能说出常量和变量的意义. 3.发展学生的抽象思维和符号意识. 教学重难点 教学重点：了解实际生活中事物变化中的存在的常量和变量. 教学难点：通过探索两个量之间的关系和变化规律，能说出常量和变量的意义. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？我们一起来看下面的问题： （1）一列高速行驶的动车，速度为280千米/时，它行驶的路程与时间有什么关系呢？ （2）一个文具盒15元，购买的文具盒的数量和总价有什么关系呢？ 【师生活动】 老师：我们先看第（1）个问题，还记得路程、时间、速度的数量关系吗？ 学生：路程=速度×时间. 教师：上面的三个量中，哪个量是固定不变的？ 学生：速度是固定不变的. 老师：1小时动车能跑多少千米？2小时呢？ 学生：1小时动车能跑280千米，2小时跑560千米. 老师：回答的很好.我们再来看第（2）个问题，还记得总价、数量、单价的数量关系吗？ 学生：总价=单价×数量. 老师：上面的三个量中，哪个量是固定不变的？ 学生：单价是固定不变的. 老师：购买2个文具盒多少钱？4个呢？ 学生：购买2个文具盒30元钱，购买4个60元钱. 老师：好了，同学们，数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．本节课我们就来研究一下数学问题中的常量和变量． 2.类比探究，学习新知 在描述一个事物的变化过程时，常常会涉及一些量.其中，有些量是不变的，有些量是变化的. 我们知道，在一个匀速运动过程中,路程=速度×时间. 这里的路程、速度和时间就是三个不同的量.这些量在不同的变化过程中会有怎样的具体表现形式呢？ 我们一起来进行下面的探究. 【一起探究】 探究1. 中国标准动车组“复兴号”是由我国自主研发、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的新一代高速列车，也是我国科技创新的又一重大成果. 已知某高速列车在一运行区间内匀速行驶，速度为350 km / h. （1）填写下表: (2)在这个问题中，哪些量是不变的，哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系？ 【师生互动】 老师：由题意可知，某高速列车在一运行区间内匀速行驶，此时速度、时间、路程的之间存在怎样的关系？ 学生：路程=速度×时间. 老师：高速列车的速度为350 km / h，按照数量关系填一下表格吧. 学生：填好了. 老师：好，我们再回顾一下这个问题.在这个问题中，有哪些量？ 学生：速度、时间、路程三个量. 老师：哪些量是不变的？ 学生：速度是不变的. 老师：那哪些量是变化的呢？ 学生：时间和路程是变化的. 老师：同学们回答的很对.那你们知道变化的量之间存在着怎样的关系吗？ 学生：路程=350×时间. 老师：回答的很好.我们用字母表示就是s=300t. 老师：我们接着看下面一道题目. 探究2. 用一根长为20 cm 的细铁丝任意折出一个长方形.在长方形的长、宽、周长和面积这四个量中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？变化的量之间存在着怎样的关系？ 【师生互动】 老师：在长方形的长、宽、周长和面积这四个量中，长方形的周长是变化的量吗？ 学生：不是变化的量. 老师：还有不变的量吗？ 学生：没有了. 老师：那变化的量有哪些？ 学生：长方形的长、宽和面积都是变化的量. 老师：变化的量之间存在着怎样的关系？ 学生：长方形的面积=长×宽； 长方形的宽=（周长-2×长）÷2. 老师：回答的很好，如果用a表示折出的长方形的长，用S表示长方形的面积，那么S和a之间满足怎样的关系呢？ （教师提示学生，可以先将长方形的宽表示出来） 学生：长方形的宽为， S和a之间满足关系S=a(10-a). 老师：回答的非常对. 老师：类似地，请你再举出两个实际问题的例子，并分别说明它们各含有几个不同的量，其中哪些量是不变的，哪些量是变化的.试着跟同桌一起说一说. 【课堂小结】 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，而可以取不同数值的量叫作变量. 【大家谈谈】 根据上面大家自己举出的两个例子，说一说这两个例子中常量和变量. 3.学以致用，应用新知 例 在下列各问题中，分别各有几个量，其中哪些量是常量，哪些量是变量？这些量之间具有怎样的关系？ (1)每张电影票的售价为50元.某日共售出x张票，票房收入为y元. (2)一台小型台秤最大称重为6 kg，每添加0.1 kg重物，指针就转动6°的角.添加重物质量为m kg时，指针转动的角度为α. (3)如图，有n个点阵图，其中第n个点阵图中点的总个数为a. 解：(1)有三个量,10元是常量,x张和y元是变量,y=10x. (2)有五个量,6 kg,0.1 kg和6°是常量,m kg和α是变量,α=60m(m≤6). （3）由题意，知a=n2,共三个量，指数2是常量，n和m是变量. 4.随堂训练，巩固新知 (1)“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的 是（　　） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 答案：D (2)河北省的特产丰富多样，其中赞皇大枣被誉为“枣中之王”，皮薄肉厚、甜度高、营养丰富．一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元，则50和m分别是（　　） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 答案：D (3)一物体自高处自由落下，其运动的距离h（m）与它下落的时间t（s）的关系式是（其中g取9.8m/s2），对于变量和常量下列说法正确的是（　　） A.，，是常量，h是变量 B.， C.是常量，，h，是变量 D.，，， 答案：B (4)写出下列问题中的关系式，并指出其中的常量和变量． ①设打字收费标准是每千字4元，试用字数x（单位：千字）表示打字费y（单位：元）； ②一个盛满30t水的水箱，每小时流出0.5t水，试用流水时间t（单位：h）表示水箱里的剩余水量Q（单位：t）． 答案：①关系式为y=4x,其中4是常量，x与y都是变量； ②关系式为Q=30-0.5t,其中常量有30，0.5；变量为放水时间t与剩余水量Q． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1） 什么是常量和变量？ （2） 通过本节课的学习，你有哪些收获与疑问？ 6.布置作业 课本P38习题第1-4题. 引入生活中的实际问题，联想小学知识：路程=速度×时间、总价=单价×数量，此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 通过生活中的动车运动、购物问题，变换动车的运动时间、购买的数量，让学生直观感受变量和常量的存在. 通过活动,使学生感受到实例中有的量是不变的,有的量是变化的,变量之间存在一定的关系. 本节课是用变化的观点研究数量,重点是认识在变化过程中,常常呈现具有不同状态的量:变量和常量.应设置适当的问题系列,让学生充分体会其中的变量和常量. 对于“一起探究”中的问题1,可按下列问题展开分析: (1)高速列车行驶0.5 h 时，自行车的行驶速度是多少?行驶路程是多少? 1 h 时呢? 1.5h呢? (2)高速列车行驶过程中,平均速度、行驶时间和行驶路程三个量是否变化?若不变,它们对应的数值是多少?若变化,是怎样变化的? (3)行驶路程的变化与行驶时间的变化是否有联系，它们之间具有怎样的关系? 对于“一起探究”中的问题2,是以学生已经学习过的常见的长方形的基础上进行的,学习过程可设计以下环节进行: (1)先让学生结合问题情境,独立思考分析，几个量之间的关系. (2)组织同学间互动、交流、研讨,扩充获得的信息. (3) 整合获得的信息,将信息归纳为几个量,这些量哪些是变化的,哪些是不变的? (4)这些量之间具有怎样的关系? 通过让学生自己举例，给学生充分思考、交流的时间,尽量丰富有关“不变的量”“变化的量”的实例,进一步让学生了解常量与变量,激发学生的发散思维. 通过例题，加深学生对常量、变量的理解，以及对量与量之间关系的初步认识. 可让学生先独立思考，再合作交流，形成共识. 通过随堂训练，巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 注意： ①常量可以是具体的数，也可以是字母； ②常量和变量是对某一变化过程来说，不是绝对的而是相对的. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 19.1 常量和变量 常量、变量的概念： 在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，而可以取不同数值的量叫作变量. 提纲挈领，重点突出 学科网（北京）股份有限公司 $