1.1.5 多项式的乘法-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（湘教版·新教材）

1.1.5多项式的乘法 第1课时单项式与多项式相乘 一般地，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，即m(a十b十c)=ma 十mb+mc. 已课内基础练 (2)a(a-2)-2a(1-3a). 知识点① 单项式乘多项式 1.计算2y(x一y)的结果是 A.2xy-2y B.x-2y2 C.2xy-2y2 D.2xy-y (3)(-a2+2bc2)·(-3ab2)2. 2.计算2a(a-1)-2a2的结果是 ( A.a B.-a C.2a D.-2a 3.下列计算错误的是 A.-2x2(x+5y)=-2x3+10x2y B.(3x2+x+1)·4x=12x3+4x2+4x (4)3.x(x2-x-1)-2x2(1-x). C.-3xy·(-3x2y-xy)=9x3y2+3x2y2 D.x(x-2)=x2-2x 4.关于单项式乘多项式，下列说法正确的是 A.积可能是一个多项式，也可能是单项式 (5)a3-2a[2a2-3a(2a+2)]. B.积仍是一个单项式 C.积的项数与原多项式的项数相同 D.积的项数与原多项式的项数不同 5.计算： (1)（2025南充)a(a-3)一a2= 知识点② 单项式乘多项式的运用 (26x-2xyy(言y) 7.一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为 2x十5，x,2x,则这个箱子的体积为() A.4x3+10x B.4x3+10x 6.计算： C.4x2+10x D.4x2+10x 8.如图所示的大长方形是由2个小正a (D(b),12. 方形和2个小长方形组成的.根据“ 图形的面积关系，写出一个正确的 第8题图 等式： 下册第1章 已课外拓展练 13.已知计算(5-3.x+mx2-6x3)·(-2x2) 一x(一3x3+n.x-1)的结果中不含x4和 易错点 对单项式与多项式相乘的法则理 x2的项，求m,n的值. 解不透而致错 9.下列计算正确的是 ( A.(-2x)(3x2y-2xy）=-6.x3y 一4x2y B.(2mn2）(m2-2n2+1)=2m3n2 -4mn C.(-xyz)(3x2y-2xy2)=-3.x3y2 巴核心素养练 ------ +2x2y 14.应用意识下图所示的是小颖家新房的户 D.(ab)2(2ab2-c)=2ab-a2b2c 型图 10.夏夏在检查作业时，发现有一道题的部分内容 (1)小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部 被s水浸染了，■×号c山=26+06.已 2 分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地 砖？如果某种地砖的价格为每平方米@ 知等式成立，那么这部分内容是 元，那么购买这种地砖至少需要多少元？ A.(3ab2+2a2b) B(3a6+26) (2)如果房屋的高度是hm,现在需要在客 厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至 C.(3ab) D.(a6+2a26) 少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸 11.把任意数对(a,b)放人魔盒后，会得到运算 的价格为每平方米b元，那么购买所需的 (a一1)(b一2).若把数对(m,1)放入该魔 墙纸至少要多少元（计算时不扣除门、窗所 盒，得到结果n,则把数对(n,m)放入该魔 占的面积，忽略墙的厚度)？ 盒，得到的结果为 -2y 单位： 卫生 12.(1)已知a=-2,求3a(2a2-4a+3) 厨房 2a2(3a+4)的值. 客厅 卧室1 卧室2 31 (2)已知xy2=3,求2xy(x2y5-3.xy3- 4y)的值. 七年级数学XJ版 第2课时多项式与多项式相乘 要闾提 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相 加，最后的结果一定要化成最简形式，是同类项的一定要合并， 已课内基础练 知识点② 多项式乘多项式的运用 知识点① 多项式乘多项式 6.如图，在长为3a+2(a≥2)、宽为2b-1(b≥ 1.(x一2)(x+3)的运算的结果是 1)的长方形铁片上，挖去长为2a+4、宽为b A.x2-6 B.x2+6 的小长方形铁片，则剩余部分的面积是 C.x2-5.x-6 D.x2+x-6 2.下列多项式相乘结果为a2-3a一18的是 A.6ab-3a146 3a+2 B.4ab-3a-2 2b-1 C.6ab-3a+8b-2 2a+4 A.(a-2)(a+9) B.(a+2)(a-9) 第6题图 C.(a+3)(a-6) D.(a-3)(a+6) D.4ab-3a+8b-2 3.下列各式中，结果错误的是 7.设A=(x-3)(x-6),B=(x-2)(x-7), A.(x+1)(x-6)=x2-5x-6 试比较A,B的大小. B.(x-4)(x+4)=x2-16 C.(2x+3)(2x-6)=2x2-3.x-18 D.(2x-1)(2x+2)=4x2+2x-2 4.计算： (1)(x-m)(x+m)= (2)(a+2)(a+2)= 8.如下图，有A,B,C三种类型的卡片若干张。 (3)(2x+1)(x-3)= 如果要拼成一个长为(3a+2b)、宽为(2a+ 5.计算： b)的大长方形，那么分别需要多少张A类、 (1)(m+8)(m-4). B类、C类的卡片？ (2)(2a+1)(-a-2). (3)(x+3)(x-4)-x(x+2). 下册第1章 已课外拓展练 14.观察以下等式： 9.(2025永州新田期中)若(x2一2ax十3)(x十 (m+1)(m2-m+1)=m3+1: 5)的计算结果中不含x的二次项，则a的值 (m+3)(m2-3m+9)=m3+33; 为 ( (m+6)(m2-6m+36)=m3+63. A号 1 (1)根据以上等式的规律，填空： B.-2 C.2 ①(a+8)(a2-8a+64)= 10.已知m+n=-2,mn=-2,则(1-m)(1 ②(x+y)(x2-xy+y2)= n)的值为 ( (2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中② A.-3B.-1 C.1 D.5 的等式成立 11.新定义题在综合与实践课上，小明设计了 如下的运算：a☒b=(ax+2b)(bx一a). 1☒2经过运算可化简为 12.(1)(2025湖南)先化简，再求值：(x+2)(x 一2)+x(1-x),其中x=6. 核心素养练 15.创新意识在数学中，有些大数值问题可以 通过用字母代替数转化成整式问题来 解决。 (2)对于任意自然数n,多项式n(n+5) 例：试比较20262027×20262024与 (n一3)(n十2)的值能否被6整除？ 20262026×20262025的大小 解：设a=20262026,x=20262027× 20262024,y=20262026×20262025, 那么x=(a+1)(a-2),y=a(a-1). 因为x一y= 所以x y(填“>”或“<”) 填完后，尝试解决下面的问题， 13.小刚同学计算一道整式乘法：(2x+a)(3x 计算：(m+22.2025)(m+14.2025)-(m 一2).由于他抄错了多项式中a前面的符 +18.2025)(m+17.2025). 号，把“十”写成“一”，得到结果6x2一19x +10. (1)求a的值. (2)计算这道整式乘法的正确结果。 10 七年级数学XJ版2②原式=3×(-7)×（分）》 )×=-(3×7 112026、1 .11 3.解：(1)因为2+3·3+3=36-2，所以(2×3)+= 62-2,所以6r+3=62-,所以x+3=2x一4，解得x =7. (2)因为3×2+1×4+1=192，所以3×(2×4)+1= 192,所以3×8+1=192，所以8+1=64，所以8+1= 82,所以x十1=2，解得x=1. 4.解：(1)因为8131=(3)1=324,271=(32)1=323， 91=(32)1=312,124>123>122, 所以3121>3123>32，即811>271>961. (2)因为a2=2,b3=3, 所以(a2)3=a=8,(b3)2=b=9,8<9,所以a<b. 1.1.4单项式的乘法 1.D2.D3.C 4.(1)4a5(2)-2.x3y(3)1.2×10 5.解：1)原式=(6×)(x·r() =3x3y2之. 2)原式-[(-号)×号] ·(a3·a)·(b·b)·c= 7 5a'b'c. 1 (3)原式=4ab·（-4ab）=-a6, (4)原式=9ab2·(-ac) =-(9X1)·(a·a5)·b2·c9 =-9a°b2c2. 6.B 7.解：因为x3y2·x"y2+2=x”y, 所以xm+8y2m+=x”y8,所以m十3=9,2n十4=8， 解得m=6,n=2,所以mn=6×2=12. 8.解：(7.9×103)×(2×102)=(7.9×2)×(103×10)= 15.8×105=1.58×10°(m) 故这颗卫星绕地球运行2×10s走过的路程为1.58× 105m. 9.D【解析】因为单项式-2x-y与2xy是同类 项，所以这两个单项式分别是-2ry和2y,所以 1 -2xy·2x2y=-xy 10.yang8888 【解析】阳⊕[(x2y)·(yx“)2]=阳④ y5=yang8888. 11.解：(1)原式=(-4x2y)·(-xy)·8y 1 =4x'y·8y 1 -7y. 42 七年级数学XJ版 2聚式=品y4ry-ryy 1 12.解：原式=3a1°b4+ab"=4a1b“.当a=1,b=-1 时，原式=4×1°×(-1)4=4. 13.解：(1)由题意，得 （-2x2m+1y2m)·7x6-"y-3-m =(-2X7)·(x2m+1·x6-")·(y2m·y8=m) =一14x2m+1+6-"y2m-3-m, 即-14x2m-"+7y2n-3-m=-14x°y, 2m-n+7=8 所以 2n-3-m=1 解得m2, n=3, 所以m的值为2，n的值为3. (2)原式=(-2X7)·(x3m+1·x-8)·(y2”·y3-m) =一14x3m+1+n-6y2a-3-m】 由(1)可知m=2,n=3, 所以原式=一14xy. 一题多解法◆ 由(1)可知m=2,n=3, 所以原式=-2xy·7x-3y =-14xy. 14.解：由题意可知， =3 X 3mn =9mn In 3 =-4n2m5, 所以A· =9mm·(-4n2m3)=-36mn. 15.解：有. 因为长方体废水池的容积为(2×10)×(4×10)× (8×102)=64×1012=(4×10)3dm3, 所以正方体贮水池的棱长为4×10dm. 1.1.5多项式的乘法 第1课时单项式与多项式相乘 1.C2.D3.A 4.A【解析】一个非零单项式乘多项式的积是一个多项 式，且其结果的项数与原多项式的项数相同，而0乘以 多项式的积是一个单项式0.故A选项说法正确. 2 5.1)-3a(2)-2x‘y+3xy 6.解：1)原武-4126-6126 3 =9ab-3ab2. (2)原式=a2-2a-2a十6a2 =7a2-4a. (3)原式=(-a2+2bc2)·9a2b =-9ab+18abc2. (4)原式=3.x3-3.x2-3.x-2.x2+2.x3 =5.x3-5.x2-3.x. (5)原式=a3-2a(2a2-6a2-6a) =a3-4a3+12a3+12a =9a3+12a2. 7.A8.2a(a+b)=2a2+2ab(答案不唯一)9.D 10.C 11.一m+2m【解析】由题意，得n=(m一1)(1-2)= 一m十1，所以把数对(n,m)放入该魔盒，得到的结果 为(-m+1-1)(m-2)=-m(m-2)=-m2+2m. 12.解：(1)原式=6a3-12a2十9a-6a3-8a =-20a2+9a. 当a=-2时，原式=-20×(-2)2+9×(-2)= -98. (2)原式=2x3y-6.x2y-8.xy =2(xy2)3-6(xy2)2-8xy2. 当xy2=3时，原式=2×33-6×32-8×3 =2×27-6X9-24=-24. 13.解：原式=-10.x2十6.x3一2m,x十12x十3x一nx2 十x =12x5+(3-2m)x+6x3+(-10-n)x2+x. 由题意，得3一2m=0,一10一n=0, 3 解得m=2n=-10. 14.解：(1)由题意可知，两个卧室以外的部分的面积为3y· y+2y·(3.x-x-y)=3y2+4xy-2y2=(y2+ 4xy)m,所以至少需要(y2十4xy)m2的地砖.购买这 种地砖至少需要(y2+4xy)a=(ay2+4a.xy)元. (2)客厅贴墙纸的面积为(2y十6y)h=8hy(m), 两个卧室贴墙纸的面积为(4x十6y)h=(4hx+6hy)m, 所以贴墙纸的总面积为8hy十4h.x+6hy=(14hy+ 4hx)m, 所以至少需要(14hy十4h.x)m的墙纸， 所以购买所需的墙纸至少要(14hy+4hx)b=(14bhy +4bhx)元. 第2课时多项式与多项式相乘 1.D2.C3.C 4.(1)x2-m2(2)a2+4a+4(3)2.x2-5.x-3 5.解：(1)原式=m2-4m十8m-32 =m2+4m-32. (2)原式=-(2a+1)(a十2) =-(2a2+4a十a+2) =-2a2-5a-2. (3)原式=x2-4x+3.x-12-x2-2x =-3.x-12, 6.B 7.解：A-B=(x-3)(x-6)-(x-2)(x-7) =x2-9x+18-(x2-9x+14) =x2-9x+18-x2+9x-14 =4. 因为4>0，所以A>B. 8.解：(3a十2b)(2a+b)=6a2+7ab+2b2. 因为S4=a2,S4=b2,Sc=ab,所以需要6张A类的 卡片，2张B类的卡片，7张C类的卡片. 9.A【解析】原式=x3-2ax2+3.x+5.x2-10a.x+15 =x3-(2a-5)x2+(3-10a)x+15. 因为(x2-2a.x十3)(.x十5)的计算结果中不含x的二 次项， 所以-(2a-5)=0,解得a=， 10.C【解析】因为m+n=一2，mn=一2，所以(1- m)(1-n)=1+mn-(m+n)=1+(-2)-(-2) 1. 11.2x2+7x-4【解析】因为a☒b=(a.x十2b)(bx a),所以1☒2=(x+2×2)(2x一1)=(x+4)(2x 1)=2x2-x+8x-4=2x2十7x-4. 12.解：(1)(x十2)(x-2)+x(1-x) =x2-2x十2x-4十x-x =x-4. 当x=6时，原式6-4=2. (2)因为原式=n2+51-(n2-n-6) =n2十5n-n2+n+6 =6n+6 =6(n+1), 所以对于任意自然数n,多项式n(n十5)一(n-3)(n 十2)的值能被6整除. 13.解：(1)由题意，得(2x-a)(3x-2)=6x2十(-4- 3a)x+2a=6.x2-19x+10, 所以2a=10,解得a=5,此时-4-3a=-19,符合题 意.故a的值为5. (2)(2x+5)(3x-2)=6x2-4x+15.x-10=6.x2+ 11x-10. 14.解：(1)①a3+83②.x3+y (2)原式=x3-x2y+xy2十x2y-xy2+y3=x 十y3. 15.解：-2< 设t=m+18.2025,p=(m+22.2025)(m+ 14.2025),g=(m+18.2025)(m+17.2025), 所以p=(t+4)(t-4),q=t(t-1), 所以原式=p-q=(t十4)(t-4)-t(t-1)=t2-4t +4t-16-t2+t=t-16=m+18.2025-16=m +2.2025. 1.2乘法公式 1.2.1平方差公式 第1课时平方差公式 1.C2.C 3.(1).x2-9(2)x2-y2(3)36a2-b 4.(1)5+x(2)x"-y 5.解：(1)原式=(4m)2一n =16m2-n2. 下册参考答案 3△