精品解析：广东省深圳市龙岗区2025-2026学年上学期八年级数学期末统考试卷

龙岗区2025-2026学年第一学期学科素养调研 八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟． 2.答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3.本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 4.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内． 5.考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列情形中，不能确定物体位置的是（ ） A. 北偏西 B. 清林路130号 C. 301室3排5列 D. 东经，北纬 2. 如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 五子棋，亦称“连珠”，是棋类竞技项目之一．某对弈情况如图所示，若在棋盘上建立了平面直角坐标系，黑子M的位置是，白子①的位置是，则白子②的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下面命题中，是假命题的是（ ） A. 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线也互相平行 B. 将直角三角形的三条边长同时扩大相同的倍数，那么得到的三角形还是直角三角形 C. 如果一个数是实数，那么一定可以在数轴上找到一个点与其对应 D. 如果一个数是无理数，那么这个数可能是有限小数 5. 如图所示为根据A、B两地某月每天最低气温所绘制的箱线图，根据该图判断，下列说法错误的是（ ） A. 该月A地每天最低气温的最小值低于B地 B. 该月A地每天最低气温的中位数低于B地 C. 该月A地每天最低气温的方差低于B地 D. 该月A地每天最低气温的下四分位数低于B地 6. 有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？如果设1只雀重x斤，1只燕重y斤，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ） A. B. C. D. 8. 在验证“不同物质吸热能力不同”的试验中，数学兴趣小组准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度y（）与加热时间x（），绘制成图象如图②所示．则下列说法错误的是（ ） A. 菜籽油和水在加热前的温度均为 B. 在水沸腾之前，水的温度上升速度是 C. 当加热时，菜籽油的温度是 D. 菜籽油温度比水高时，此时加热时间为 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 16的平方根是______． 10. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛，已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分（百分制）分别是80分，90分，90分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是___________分． 11. 如图所示为直线和的图像，则方程组的解是______． 12. 装修工人携带一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知小明家的电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条最长为______．（结果保留根号，并不考虑木条的粗细） 13. 利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式． 【定义】将点变换得到点，则称点是点的“加密点”． 【示例】点的“加密点”是点． 【问题】点的“加密点”不在第______象限． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解方程组：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）与关于原点对称，请在平面直角坐标系中画出； （2）连接，则的面积是______； （3）求证：是直角三角形． 17. 质检员从某公司9月份生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，87，87，89，96，96，96，98． 10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94． 抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表 抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 A 90 a b c B 90 90 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______，______； （2）某月该公司生产A型扫地机器人为1200台，B型扫地机器人1000台，估计该公司当月生产扫地机器人“优秀”等级的总台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由． 18. “传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： （1）分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； （2）已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 19. 综合与实践 【实践任务】测量旗杆高度． 【工具素材】卷尺，升旗的绳子． 【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度． 【实施方案1】 步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为； 步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离为． （1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______． 【实施方案2】 步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长； 步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距． （2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度． 【实施方案3】 步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C）， 另一端拉直至地面的点B处，并测得长度为； 步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进至点D，发现此时绳子另一端上升至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态） （3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度． 20. 综合与探究 【研究主题】一次函数图象成轴对称的问题探究． 【特例感知】 探究直线：关于x轴成轴对称的直线的关系式的过程如下： 步骤1：如图1，在平面直角坐标系中，画出直线：的图象； 步骤2：求出与x轴交于点，与y轴交于点； 步骤3：点关于x轴对称的点C的坐标是______； 步骤4：画出直线，并由A、C两点坐标可求得的关系式为______． 归纳：问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为“______的对称问题”． （1）补全上述探究过程中的空格； （2）直线：关于y轴成轴对称的直线的关系式是______； 【类比迁移】 （3）如图2，已知直线：的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．若直线关于直线的对称后的直线恰好与x轴重合，请求出对称轴的解析式． 【拓展提升】 （4）结合上述探究所得的结论和经验，尝试完成下列问题： ①直线关于直线成轴对称的直线解析式是______； ②直线关于直线成轴对称的直线解析式是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岗区2025-2026学年第一学期学科素养调研 八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟． 2.答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3.本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 4.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内． 5.考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列情形中，不能确定物体位置的是（ ） A. 北偏西 B. 清林路130号 C. 301室3排5列 D. 东经，北纬 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用有序数对确定位置，方位角，掌握其相关性质是解题的关键． 根据平面内的点与有序实数对一一对应，对各选项进行判断即可． 【详解】解：确定位置需要两个要素，如方向与距离或具体坐标， A．该情形缺少距离，不能确定物体位置，故此选项符合题意； B．该情形能确定物体位置，故此选项不符合题意； C．该情形能确定物体位置，故此选项不符合题意； D．该情形能确定物体位置，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质得，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3. 五子棋，亦称“连珠”，是棋类竞技项目之一．某对弈情况如图所示，若在棋盘上建立了平面直角坐标系，黑子M的位置是，白子①的位置是，则白子②的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标在实际中的应用，根据题意确定坐标系的原点的位置，进而求解即可． 【详解】解：∵黑子M的位置是，白子①的位置是， ∴如图，坐标系的原点如图： ∴白子②的坐标是， 故选：B． 4. 下面命题中，是假命题的是（ ） A. 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线也互相平行 B. 将直角三角形的三条边长同时扩大相同的倍数，那么得到的三角形还是直角三角形 C. 如果一个数是实数，那么一定可以在数轴上找到一个点与其对应 D. 如果一个数是无理数，那么这个数可能是有限小数 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A，根据平行公理即可判断答案； 对于选项B，设直角三角形的三边分别为a，b，c（其中c为斜边），则，将该直角三角形的各边同时扩大n倍，则得到的三角形的三边分别为，，，即可证明，即可判断答案； 对于选项C，根据实数与数轴上的点一一对应即可判断答案； 对于选项D，根据无理数是无限不循环小数即可判断答案． 【详解】解：对于选项A， 因为平行于同一直线的两条直线互相平行（平行公理），所以选项A是真命题，不符合题意； 对于选项B， 设直角三角形的三边分别为a，b，c（其中c为斜边），则， 将该直角三角形的各边同时扩大n倍，则得到的三角形的三边分别为，，， 所以， 所以得到的三角形也是直角三角形， 所以选项B是真命题，不符合题意； 对于选项C， 因为实数与数轴上的点一一对应，所以选项C是真命题，不符合题意； 对于选项D， 因为无理数是无限不循环小数，而有限小数是有理数，所以无理数不可能是有限小数，所以选项D是假命题，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行公理，勾股定理及其逆定理，实数的性质，无理数的识别，命题真假的识别．熟练掌握勾股定理及其逆定理和无理数的识别是关键． 5. 如图所示为根据A、B两地某月每天最低气温所绘制的箱线图，根据该图判断，下列说法错误的是（ ） A. 该月A地每天最低气温的最小值低于B地 B. 该月A地每天最低气温的中位数低于B地 C. 该月A地每天最低气温的方差低于B地 D. 该月A地每天最低气温的下四分位数低于B地 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，熟读箱线图是解题的关键． 根据箱线图中的四分位数，中位数，上下限，判断各个选项即可解答． 【详解】解：A、由图可得A地每天最低气温的下限比B地每天最低气温的下限低，故A地每天最低气温的最小值低于B地，不符合题意； B、由图可得该月A地每天最低气温的中位数低于B地，不符合题意； C、根据图中可得看出A地每天最低气温的波动更大，即该月A地每天最低气温的方差高于B地，符合题意； D、由图可得该月A地每天最低气温的下四分位数低于B地，不符合题意， 故选：C． 6. 有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？如果设1只雀重x斤，1只燕重y斤，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意，总重为，互换1只雀和1只燕后，雀堆变为4只雀和1只燕，燕堆变为1只雀和5只燕，两者重量相等，即． 【详解】解：由题意可得方程组为， 故选：A． 7. 如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可． 【详解】解：中间正方形纸片的面积为， 中间正方形的边长为， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为． 故选：D． 8. 在验证“不同物质吸热能力不同”的试验中，数学兴趣小组准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度y（）与加热时间x（），绘制成图象如图②所示．则下列说法错误的是（ ） A. 菜籽油和水在加热前的温度均为 B. 在水沸腾之前，水的温度上升速度是 C. 当加热时，菜籽油的温度是 D. 菜籽油温度比水高时，此时加热时间为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据图象中的数据，逐一判断即可解答，熟练读懂图中数据是解题的关键． 【详解】解：A、由图中数据可得菜籽油和水在加热前的温度均为，故A正确，不符合题意； B、由图中数据得到在水沸腾之前，水的温度上升速度是，故B错误，符合题意； C、由图中数据可得菜籽油温度上升速度是，所以当加热时，菜籽油的温度是，故C正确，不符合题意； D、菜籽油温度比水高时，此时加热时间为，可得方程，解得， 故菜籽油温度比水高时，此时加热时间为，故D正确，不符合题意， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 10. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛，已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分（百分制）分别是80分，90分，90分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是___________分． 【答案】88 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数．根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：该选手的成绩是：（分）， 故答案为：88． 11. 如图所示为直线和的图像，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 由函数和函数的图象的交点的横、纵坐标就是二元一次方程组的解，即可求解． 【详解】解：由图象可得直线和的交点为， 所以方程组的解是． 故答案为：． 12. 装修工人携带一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知小明家的电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条最长为______．（结果保留根号，并不考虑木条的粗细） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示： 由勾股定理得：， （米； 即放入电梯内的木条的最大长度是米． 故答案为：． 13. 利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式． 【定义】将点变换得到点，则称点是点的“加密点”． 【示例】点的“加密点”是点． 【问题】点的“加密点”不在第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的坐标变换以及平面直角坐标系中象限的坐标特征．根据“加密点”的定义，求出点的坐标，再根据各象限点的坐标符号特征，分析参数的取值范围，判断点可能出现的象限即可解答． 【详解】解：点的加密点的坐标计算如下： 横坐标为， 纵坐标为， 因此点的坐标为， 象限判断： 若在第一象限，则且，即且，解得； 若在第二象限，则且，即且，解得； 若在第三象限，则且，即且，无解； 若在第四象限，则且，即且，解得； 由以上分析，点可能出现在第一、第二、第四象限，但不可能出现在第三象限． 故答案为：三． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）利用算术平方根和立方根的计算法则计算每一项，最后算加减即可； （2）先根据平方差公式计算乘法，再利用二次根式的除法化简，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ． ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟练计算是解答此题的关键． 整理后利用加减消元法求解可得； 【详解】解：原方程组可转化为， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）与关于原点对称，请在平面直角坐标系中画出； （2）连接，则的面积是______； （3）求证：是直角三角形． 【答案】（1） 如图所示； （2）15 （3） 由题意可知：， ，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系、关于原点对称以及勾股定理的逆定理． （1）利用关于原点对称的特征画出点的位置，再顺次连接即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积是， 故答案为：15； 【小问3详解】 略 17. 质检员从某公司9月份生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，87，87，89，96，96，96，98． 10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94． 抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表 抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 A 90 a b c B 90 90 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______，______； （2）某月该公司生产A型扫地机器人为1200台，B型扫地机器人1000台，估计该公司当月生产扫地机器人“优秀”等级的总台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由． 【答案】（1），，， （2）780台 （3） 解：A型扫地机器人质量更好，理由如下： ∵A型扫地机器人的除尘量的众数大于B型扫地机器人， ∴A型扫地机器人质量更好． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、用样本估计总体等知识点，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可求出a，b，根据型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比可求得c，先求出“良好”等级所占的百分比，然后用1减去其他所占的百分比即可求得合格所占的百分比，即可求得m的值； （2）分别用A型、B型机器人的数量乘以扫地机器人“优秀”等级所占百分比，然后再求和即可解答； （3）可从众数的角度进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，87，87，89，96，96，96，98，位于中间位置的两个数为87和89，故中位数为，即；出现最多的次数是96，故众数为96，即． A型扫地机器人“优秀”等级的有4台，故“优秀”等级所占百分比为，即； 10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占，“优秀”等级所占百分比为， 所以“合格”等级占，即． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 解： （台）． 答：估计该公司当月生产扫地机器人“优秀”等级的总台数为780台． 【小问3详解】 略 18. “传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： （1）分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； （2）已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】（1）每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 （2）共三种租车方案， ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； 最省费用为12800元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【小问1详解】 解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． 【小问2详解】 解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 19. 综合与实践 【实践任务】测量旗杆高度． 【工具素材】卷尺，升旗的绳子． 【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度． 【实施方案1】 步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为； 步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离为． （1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______． 【实施方案2】 步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长； 步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距． （2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度． 【实施方案3】 步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C）， 另一端拉直至地面的点B处，并测得长度为； 步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进至点D，发现此时绳子另一端上升至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态） （3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度． 【答案】（1）15；（2）旗杆b的高度为12米；（3）旗杆c的高度为12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可解答； （2）设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米，根据勾股定理列方程即可解答； （3）设米，米，根据题意列出方程组即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得旗杆a的高度为米， 故答案为：； （2）解：设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米， 依题意可得：， 解得：． 答：旗杆b的高度为12米． （3）解：设米，米， 则可得： ， 解得：． 答：旗杆c的高度为12米． 20. 综合与探究 【研究主题】一次函数图象成轴对称的问题探究． 【特例感知】 探究直线：关于x轴成轴对称的直线的关系式的过程如下： 步骤1：如图1，在平面直角坐标系中，画出直线：的图象； 步骤2：求出与x轴交于点，与y轴交于点； 步骤3：点关于x轴对称的点C的坐标是______； 步骤4：画出直线，并由A、C两点坐标可求得的关系式为______． 归纳：问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为“______的对称问题”． （1）补全上述探究过程中的空格； （2）直线：关于y轴成轴对称的直线的关系式是______； 【类比迁移】 （3）如图2，已知直线：的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．若直线关于直线的对称后的直线恰好与x轴重合，请求出对称轴的解析式． 【拓展提升】 （4）结合上述探究所得的结论和经验，尝试完成下列问题： ①直线关于直线成轴对称的直线解析式是______； ②直线关于直线成轴对称的直线解析式是______． 【答案】（1）；；点；（2）；（3）或；（4）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及轴对称图形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及轴对称图形的性质是解题的关键； （1）根据点的坐标关于坐标轴对称的特征可进行求解； （2）由题意易得，然后可得直线与直线相交于点，进而根据待定系数法可进行求解； （3）由题意易得关于直线点的坐标规律是横纵坐标相反，则有直线与x、y轴的交点坐标为，然后可得直线关于直线的对称点坐标为，进而根据待定系数法可求解． 【详解】解：（1）设直线的解析式为， ∵点关于x轴对称的点C的坐标为， ∴把，代入， 得, 解得， ∴的解析式为； ∴问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为“点的对称问题”． 故答案为：；；点． （2）由（1）知，与x轴交于点，与y轴交于点； ∴点关于y轴对称的点D的坐标是， 设直线的解析式为, 把,代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； 故答案为：； （3）设点B关于直线对称后的点为点C，如图， 对，令，则， 令，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵直线关于直线对称后的直线恰好与x轴重合， ∴点C恰好在x轴上，且 , 设, ∵， ∴, ∴， 当时，， ∴, 连接，设线段的中点为D， 则， 设解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的解析式为． 综上，的解析式为或． （4）①如图，设平面直角坐标系中直线外任意点，作点Q关于直线的对称点P，分别作点于点N、轴于点M， 则，，， ∴， ∴， 由直线可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设是直线关于直线成轴对称的直线上的点， 则对应点在直线上， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， 设， 则， ∴可化为， ∴， 由①知，直线关于直线对称的直线为， ∴， ∵， ∴， ∴, 即． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $