20.5 一次函数与二元一次方程的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学讲解课件(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程（组）的关系，通过回顾一次函数与一元一次方程、不等式的“数”“形”联系，再以“一起探究”活动用x+y=1为例，从列表、画图到证明点与解的对应，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是采用探究式学习，结合几何直观与推理意识，通过具体例子归纳关系，如证明点与解的双向对应，总结用图象法解方程组的步骤。培养学生模型意识，帮助学生建立知识联系，教师可借助结构化内容提升教学效率。

20.5 一次函数与二元一次方程的关系 第二十章 一次函数 学习目标 1体会一次函数与二元一次方程的关系,感悟数学知识之间的内在联系. 2.会用一次函数的图象解决二元一次方程的求解问题. 学习重难点 理解一次函数与二元一次方程的关系. 理解一次函数与二元一次方程的关系. 难点 重点 回顾复习 一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系： 1.从“数”看一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2 (1)函数值y1=y2时x的值 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解； (2)函数值y1＞y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集； (3)函数值y1＜y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集. 2.从“形”看一次函数y1=k1x+b1（直线l1）,y2=k2x+b2（直线l2） (1)直线l1与l2 交点的横坐标 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解； (2)直线l1在l2 上方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集； (3)直线l1在l2 下方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集. 1.二元一次方程x+y=1可以变形为一次函数y=-x+1，当x=-2，-1，0，1，2，3时，分别写出二元一次方程x+y=1的解和一次函数y=-x+1所对应的点的坐标，并探究它们之间的关系. 知识点1 一次函数与二元一次方程的关系 新知引入 当x=-2，-1，0，1，2，3时，二元一次方x+y=1的解分别是 一次函数y=-x+1所对应的点的坐标为 （-2,3）,（-1，2）,（0,1）,（1,0）, (2,-1), (3.-2). 一起探究 2.在如图所示的平面直角坐标系中，画出一次函数y=-x+1的图象. x y O 2 3 -3 -1 2 -2 1 -2 1 3 -1 -3 一起探究 3.（1）若点P（a，b)在一次函数y=-x+1的图象上，则x+y=1的一组解吗？ ∵点P（a，b)在一次函数y=-x+1的图象上，∴b=－a+1，∴a＋b=1， ∴是方程x+y=1的一组解. （2）若x+y=1的一组解，则坐标为（a，b)的点是否在一次函数y=-x+1的图象上？ ∵是方程x+y=1的一组解象上，∴a＋b=1，∴b=－a+1，∴点P（a，b)在一次函数y=-x+1的图象上. 总结 过上面的探究活动，我们发现：以二元一次方程x+y=1的解为坐标的点都在一次函数y=-x+1的图象上；反过来一次函数y=-x+1图象上的点的坐标都是二元一次方程x+y=1的解. 事实上，我们把二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)变形为y= ﹣x，y 表示未知数时，ax+by=c就是二元一次方程. 当x，y表示变量时，y=就是一次函数. 归纳 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上; 反过来,一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解. 你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别? 知识点2 一次函数与二元一次方程组的关系 新知引入 l1：y= l2：y= 例 已知直线l1：y=l2：y= (1)在同一平面直角坐标系中，画出直线l1l2的图象. 例 已知直线l1：y=l2：y= (2)若直线l1l2相交于点P，求点P的坐标. l1：y= l2：y= (2)我们知道，一次函数y= 3y=9的解.同理，y 一次方程直线l1l2交点P的坐标就是 例 已知直线l1：y=l2：y= (2)若直线l1l2相交于点P，求点P的坐标. l1：y= l2：y= 二元一次方程3y=9和 的公共解，即为 因此，解方程组得 所以，点P的坐标为（3,1） 归纳 两个一次函数图象的交点坐标是它们对应的二元一次方程组的解；反过来以二元一次方程组的解为坐标的点是这两个一次函数图象的交点. 用图象法解二元一次方程组的基本步骤： (1)将方程组中的两个方程转化成一次函数y＝kx＋b 的形式 (2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象； (3)利用图像的直观性确定交点坐标． 随堂练习 1.如图所示，直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点(-5,0)，则关于x的方程kx+b=0(k≠0)的解是x=_____. -5 2.已知二元一次方程组 的解为则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为( ) A.(4,1) B.(1,-4) C.(-1,-4) D(-4,1) D 3.数形结合是解决数学问题常用的思想方法. 如图，一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k<0)的图象与直线y=都经过点A(3,1)，当kx+b<时，根据图象可知，x的取值范围是( ) A. x>3 B. x=3 C. x=-2 D. x=-3 A 4.如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x,y的方程组的解为________. 1.如图，直线和直线相交于点P(1,-1)，直线交于y轴于点A，直线交于y轴于点B，则△PAB的面积为____________. 拓展提升 2.如图，已知直线，与x轴交点坐标分别为6和-1，与的交点为P(3,n) (1)求，的解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ 解：(1)∵直线与x轴交点的横坐标为-1，∴-1+a=0，∴a=1，所以的解析式为. 把P(3,n)代入，得n=3+1=4，∴P(3,4). ∵直线与x轴交点的横坐标为6，与的交点为P(3,4). ∴解得∴的解析式为. (2)若函数的图象在函数图象的上方，则，解得. ∴当时，函数的图像在函数图象的上方 归纳小结 一次函数与二元一次方程的关系 从形式上它们之间可以相互转化 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上； 反过来,一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解. 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $