20.4 第3课时 一次函数的应用3-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学讲解课件(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学课件聚焦一次函数的应用，核心内容为一次函数与一元一次方程、不等式的转化关系。课堂通过回顾一次函数实际应用（图象型、分段函数）导入，以甲乙行驶问题为学习支架，衔接旧知与新知，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于“数”“形”结合，通过租车、共享电动车等生活实例，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（运算能力、推理意识）与数学语言（模型意识）。如租房问题用函数关系解决决策，归纳“数”与“形”的对应规律，助力学生结构化理解，提升应用能力，也为教师提供丰富实例与清晰教学流程。

20.4 一次函数的应用 第3课时 第二十章 一次函数 学习目标 1.理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数问题的转化关系. 2.学会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式的求解问题. 学习重难点 理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数问题的转化关系. 学会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式的求解问题. 难点 重点 回顾复习 一次函数的实际应用2 类型 图象型 分段函数 关键 读懂函数图象表示的实际意义 例2. 甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25 km/h. (1)设甲离开出发地的时间为x(h)，求: ①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围. 例题示范 解:(1)由公式s=vt,得 ①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x. 自变量x的取值范围为x≥0. 例2.甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25 km/h. (1)设甲离开出发地的时间为x(h),求: ②乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围. 例题示范 解：②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3),即y=25x-75.自变量x的取值范围为x≥3. 例2.甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25 km/h. (2)在同一平面直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图象,并结合实际问题,解释两图象交点的意义. 例题示范 解:(2)以上两个函数的图象如图所示. 两个函数图象的交点坐标是(5，50)，即甲出发5 h后被乙追上(或乙出发2 h后追上甲).此时,两人距离出发地50 km. 对于例2中甲、乙行驶的情况,你能借助下图解释“乙出发多长时间后可以超过甲”这一问题吗?还有其他方法解答这个问题吗? 知识点1 两个一次函数的综合运用 新知引入 图象法：由图可知，当x>5时，乙的函数图象在甲的图象之上，说明乙超过了甲. 大家谈谈 代数法：由题意，可得25x-75>10x，解得x>5，所以5小时后乙可以超过甲. 归纳 有些一元一次方程和一元一次不等式问题,可 以借助一次函数来考虑,借助一次函数的图象, 往往能使方程和不等式的意义更加直观和形象. 一起探究 某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元. (1)设租用时间为x个月,承租房屋所付租金为y元，分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式. (2)根据求出的两个函数表达式,试判断租用哪家的房屋更合算. 解:(1)租用甲家房屋时，y=3000x； 租用乙家房屋时，y=2000x+40000. (2)解法1: ①要使y甲=y乙,就是要使3000x=2000x+40000,解得x=40,即当x=40时,无论租用哪一家，租金都相同. ②要使y甲>y乙,就是要使3000x>2000x+40000,解得x>40,即当x>40时,租乙家的房屋更合算. ③要使y甲<y乙,就是要使3000x<2000x+40000,解得x<40,即当x<40时,租甲家的房屋更合算. (2)解法2: 在同一平面直角坐标系中，分别画出： y=3000x ，y=2000x+40000这两个函数的图象. 观察图象可知，当租用40个月时，甲、乙两家的租金相同；当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算；当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算. 归纳 一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系： 1.从“数”看一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2 (1)函数值y1=y2时x的值 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解； (2)函数值y1＞y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集； (3)函数值y1＜y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集. 2.从“形”看一次函数y1=k1x+b1（直线l1），y2=k2x+b2（直线l2） (1)直线l1与l2 交点的横坐标 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解； (2)直线l1在l2 上方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集； (3)直线l1在l2 下方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集. 随堂练习 1.某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲，乙两家出租车公司．甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元．乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）．设该单位用车里程为x km,租用甲公司客车的费用为y1元，租用乙公司客车的费用为y2元． （1）y1与x的函数关系式为 ；y2与x的函数关系式为 ； （2）假设该单位用车里程为30km,你建议租用哪家公司的客车？请说明理由． （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ y1=15x y2=10x+200 解；（2）由题意，结合（1）可得，当x=30时，y1=15×30=450， y2=10×30+200=500，∵500＞450，∴建议租用甲公司的客车. （3）由题意，结合（1），令y1=y2，∴15x=10x+200，∴x=40． 答：当用车里程为40千米时，两家出租车公司的费用相同． 2.共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3 km-10 km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）分别求y1（x≥10），y2关于x的函数关系式； 解；（1）当x≥10时，A品牌收费价格为（8-6）÷（20-10）= 0.2（元/分钟）.则y1=6+0.2（x-10）=0.2x+4. ∴当x≥10时，y1关于x的函数关系式为y1=0.2x+4（x≥10）， B品牌收费价格为8÷20=0.4（元/分钟），则y2=0.4x, ∴y2关于x的函数关系式为y2=0.4x（x≥0）． 2.共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3 km-10 km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题： （2）小明每天骑行A品牌或B品牌的共享电动车外出，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度相等，那么小明选择哪个品牌共享电动车更省钱？ 解：（2）根据图象，当0＜x＜20时，y1＞y2，选择B品牌共享电动车更省钱； 当x=20时，y1=y2，A、B两个品牌共享电动车收费同样多，任选一个品牌即可； 当x＞20时，y1＜y2，选择A品牌共享电动车更省钱． 2.函数在生活中无处不在．图1展示了两种水杯的外形，1号水杯为厚底圆柱形，2号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形．图2描述的是1号水杯中水的体积V1（mL）与水面到水平桌面的距离h（cm）的函数图象； （1）求V1与h之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） 解：（1）设V1与h之间的函数关系式为y=kx+b. 将点(1，0)，(11，300)分别代入， 解得 ∴V1与h之间的函数关系式为V1=30h－30. 拓展提升 （2）2号水杯中水的体积V2（mL）与水面到水平桌面的距离h（cm）之间的关系如下表所示．在图2中，画出V2与h之间的函数图象，并直接写出函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） 解：（2）描点并连线如图所示. ∴V2与h之间的函数表达式为V2=25h. （3）求出当h（cm）为多少时，1号杯和2号杯中水的体积相差10mL？ 解：（3）根据题意，得|V1-V2|=10， ①当V1-V2=10时，30h-30-25h=10，解得h=8； ②当V2-V1=10时，25h-（30h-30）=10，解得h=4. 答：当h为8 cm或4 cm时，1号杯和2号杯中水的体积相差10ml. 归纳小结 一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系： 1.从“数”看一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2 (1)函数值y1=y2时x的值 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解； (2)函数值y1＞y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集； (3)函数值y1＜y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集. 2.从“形”看一次函数y1=k1x+b1（直线l1）,y2=k2x+b2（直线l2） (1)直线l1与l2 交点的横坐标 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解； (2)直线l1在l2 上方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集； (3)直线l1在l2 下方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集. 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $