8.4 整式的乘法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该教案聚焦整式乘法（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式），通过复习旧知（如幂的运算、整式概念）和情境创设（如长方形面积、鱼塘扩建）导入，搭建前后知识衔接的学习支架。 以几何直观（面积表示）和问题驱动引导法则探究，体现数学眼光观察现实世界，通过推理推导运算法则培养数学思维，结合堤坝体积等实际应用强化数学语言表达，助力学生提升运算能力与应用意识，为教师提供清晰教学流程与实例支撑。

8.4 整式的乘法 第1课时 单项式乘单项式 课题 单项式乘单项式 课型 新授课 教学内容 教材第85-87页的内容 教学目标 1.经历探索单项式乘法法则的过程，理解单项式乘法法则. 2.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则,能够熟练地进行单项式的乘法计算. 教学重难点 教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则及其应用. 教学难点：灵活地进行单项式与单项式相乘的运算. 教 学 活 动 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 【问题1】前面学习了哪些幂的运算?运算性质分别是什么？ 学生口答即可. 【问题2】上学期我们已经学过整式了，那么谁能说一下整式包括什么？ 学生口答. 【追问】什么是单项式，什么是多项式？可以举例说明. 学生口答. 教师点评，并引出课题. 2.类比探究，学习新知 我们上学期学过整式的加减，那么现在就来学习整式的乘法. 【思考】关于整式的乘法，你们认为都包括什么？ 学生思考，尝试回答. 教师：整式的乘法包括单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式.我们先来学习单项式乘单项式. 【问题3】怎样计算2a·2b呢? 如图是由4个长为a、宽为b的小长方形组成的大长方形，这个大长方形的面积可以表示为2a·2b，也可以表示为4ab. 由此可以得出2a·2b=4ab. 【问题4】根据乘法的运算律和同底数幂相乘的运算性质计算： (1）2a·3a= = . (2)2a·3ab= = . （3）4xy·5x2y= = . 【师生活动】教师：大家思考一下，应该怎么去计算这3个小题，相互交流讨论. 学生：学生分组交流、讨论. 教师：给大家一个小提示：将字母视为数，按数的相关运算进行即可. 学生：根据提示和讨论的结果，尝试解答题目. 教师：请同学上台板演解题过程. 学生成果：(1)2a·3a=(2×3)·（a·a) =6a2 . （2）2a·3ab=(2×3)·（a·a)·b = 6a2b. (3）4xy·5x2y=(4×5)·(x·x 2）·（y·y）= 20x3y 2. 教师：教师点评，并追问. 【追问】大家观察一下这3个小题的计算过程，用到了 哪些运算律和运算法则？为什么？整个计算过程实际是什么运算？ 学生：思考、交流讨论. 学生成果：乘法交换律、结合律. 为了能让系数与系数、相同字母分别结合. 有理数的乘法运算和同底数幂的乘法运算. 教师：大家看一下课本P85的“观察与思考”，并思考后面的两个问题. 学生：思考、交流讨论. 【追问】大家尝试总结单项式与单项式相乘的运算法则. 提示学生从三方面考虑，系数与系数，相同字母与相同字母， 单独存在的字母. 学生：交流讨论，尝试总结，并发言表述. 教师点评，总结. 【总结】单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式. 3.学以致用，应用新知 考点1 单项式乘单项式 【例1】计算： (1)4xy• 3xy; (2)(-2x)•(-3x2y). 答案：(1)12x2y2. (2)6x3y. 【例2】计算： 答案：（1）-3a4b3c. （2）-5a3b5. 考点2 单项式乘单项式的应用 【例3】已知-2x3m＋1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项，求m2＋n的值. 答案： 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图,阴影部分的面积是 ( ) A. B. C.6xy D.3xy 答案：A （2）计算（4×102 )×(1.5×106 )的结果是（ ） A.6×107 B.6×106 C.6×108 D.6×1010 答案：C （3）若长方形的宽是a2，长是宽的2倍，则长方形的面积 为_____. 答案：2a4 （4）计算：①； ②； ③. 答案：①6a4b2. ②-6x5y3z. ③. （5） 答案：5 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）单项式乘单项式的原理是什么？ (2)单项式乘单项式的法则是怎样的？ （3)计算单项式乘单项式时，注意事项有哪些？ 6.布置作业 课本P87习题第1-4题. 幂的三个运算性质是学习单项式与单项式相乘的基础,所以先组织学生复习. 复习整式的相关概念，为接下来的学习做铺垫. 结合具体的图形探究单项式乘单项式的结果，生动形象，为学生探索新知指明了方向. 教师巡视时积极参与到学生的讨论中， 对于有问题或者没有思路的小组及时进行指导. 学生知道运用乘法交换律、结合律的知识探索单项式乘单项式的运算法则,并理解算理,让学生理解运算法则及其探索过程,而不是仅仅背过法则,使学习知识的过程同时成为提高学生分析和解决问题能力的过程. 注意： （1）系数相乘； （2）相同字母的幂相乘； （3）其余字母连同它们的指数不变，作为积的因式. 初学新知，让学生按照步骤计算，并可以让同学上台板演，教师讲解步骤注意事项. 有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘. 通过随堂训练，巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 板书设计 8.4 整式的乘法 第1课时 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式. 2.例题 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步 优化操作流程和提升自身素质. 第2课时 单项式乘多项式 课题 单项式乘多项式 课型 新授课 教学内容 教材第87-90页的内容 教学目标 1.通过探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，在具体情境中了解单项式与多项式相乘的意义,理解运算法则. 2.会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算. 教学重难点 教学重点：单项式与多项式相乘的法则及应用. 教学难点：灵活运用单项式与多项式相乘的运算法则. 教 学 活 动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【问题1】如图,为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长 为m,宽为 a的长方形绿地扩建，将宽延长b，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积?不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系? 2.类比探究，学习新知 针对上面的问题，我们可以这样逐步分解解答： (1)扩大后绿地的长和宽分别是多少？ 长为 ；宽为 . (2）根据长方形的面积=长×宽,你能得到的式子 是: .① (3)利用分割法，可以把扩大后的面积看成几部分面积的和? (4）这两部分的面积可以怎么表示？ （5)式子①和②都表示扩大后绿地的面积，它们是什么关系呢？ 学生：学生根据教师展示的问题，分组交流讨论，并回答. 学生成果：（1）（a+b），m；（2）m（a+b）；（3）2部分； （4）ma，mb；（5）相等，即m（a+b）=ma+mb. 教师点评，并进行部分板书. 【追问】对于这个等式，同学们想一想:你能用乘法分配律说明这个等式吗？ 学生相互交流，讨论，并尝试回答. 【问题2】类比【问题1】，你能计算mn（a+b-c）吗？并根据下面的图形谈一谈结果表示的几何意义. 学生：相互交流讨论，解答. 教师：教师点评，并请同学口答. 【追问】m（a+b）与mn（a+b-c）这两个式子有什么共同点？都是如何运算的？能总结这类运算的法则吗？ 学生：分组交流讨论，并尝试总结法则. 学生成果：这两个式子中m，mn是单项式，a+b，a+b-c是多项式.都是单项式与多项式相乘.通过乘法的分配律，转化为单项式乘单项式进行计算. （学生阐述自己的总结即可） 教师：教师点评，并总结法则. 【总结】单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加. 3.学以致用，应用新知 考点1 单项式乘多项式 【例1】计算： （1）ab(a2+b2)； (2)（-2x2）(4x-3). 解：（1）ab(a2+b2) (2)（-2x2）(4x-3) =ab·a2+ab·b2 =(-2x2)·4x+(-2x2)·(-3) =a3b+ab3. =-8x3+6x2. 【要点提醒】单项式乘多项式的三点注意： （1）要按顺序相乘，不要漏项或增项； （2）单项式系数为负数时，要注意每一项乘积的符号，相乘时,每一项都包括它前面的符号； （3）积是一个多项式，其项数与原多项式的项数相同. 考点2 化简求值 【例2】先化简，再求值： a(a2+1)-a(a2-1)，其中，a=5. 解：a(a2+1)-a(a2-1)=a3+a-a3+a=2a. 当a=5时，原式=2a=2×5=10. 【方法总结】单项式乘多项式，结果中如果有同类项， 要合并同类项.在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项． 考点3 实际应用 【例3】一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高米． (1)求防洪堤坝的横断面面积； (2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 解：（1）防洪堤坝的横断面面积为 （平方米）. （2）因为防洪堤坝长100米， 所以这段防洪堤坝的体积是=50a2＋50ab（立方米）. 4.随堂训练，巩固新知 （1）计算：(-2a 2）(-3a+1）= （ ) A.-6a 3-2a 2 B.6a 3-2a 2 C.6a 3+2a 2 D.6a 3 -a 2 答案：B (2)若 2x（x-1）-x(2x-5）=12，则 x 的值为 ( ） A.2 B.1 C.0 D.4 答案：D (3)已知 x(x+3）=1，则代数式 2x2+6x-5 的值为　　　　. 答案：-3 （4）计算. ①2xy(5xy2+3xy-1); ②(a2-2bc)·（-2ab)2. 解：①10x 2y 3+6x 2y 2 -2xy. ②4a 4b 2 -8a 2b 3c. （5）先化简，再求值：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中 a=-2. 解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a. 当a=-2时，原式=-20×（-2）2+9×（-2）=-818. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）单项式与多项式相乘的实质是什么？ （2）单项式乘多项式的法则是怎样的？ （3）计算单项式乘多项式时，需要注意的问题有哪些？ 6.布置作业 课本P89-90页习题A组、B组. 通过问题情境,让学生通过图形探索面积的不同表示方法，培养学生的兴趣和探究的欲望. 将问题分解，为学生解决问题提供思路，让学生能够积极参与到课堂中，同时为了学生独立完成问题2做铺垫. 此问题为总结单项式乘多项式的运算法则做铺垫. 在解决问题的过程中,学生观察总结规律、探索法则,通过与乘法分配律的对比，让学生总结出单项式与多项式相乘的法则，培养了学生的概括能力和语言的严谨性. 学生根据法则独立思考，并在练习本上完成，教师巡视，选择典型答案展示，让学生赏析、纠错、改错，形成规范的解答过程. 解决化简求值问题时，首先要进行化简，然后再代入求值，注意集体步骤要规范. 将单项式与多项式的乘法法则应用到实际生活中，展示了数学与生活实际紧密相关，同时激发学生学习数学的兴趣. 通过随堂训练，巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过总结,掌握代入消元的目的是将二元一次方程组转化为一元一次方程求解. 板书设计 8.4 整式的乘法 第2课时 单项式乘多项式 1.单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加. 2.例题 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 第3课时 多项式乘多项式 课题 多项式乘多项式 课型 新授课 教学内容 教材第90-92页的内容 教学目标 1.通过探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，在具体情境中了解多项式与多项式相乘的意义，理解运算法则. 2.会利用法则进行多项式与多项式的乘法运算. 教学重难点 教学重点：多项式与多项式相乘的法则及应用. 教学难点：灵活运用多项式与多项式相乘的运算法则. 教 学 活 动 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 前面已经学过了单项式乘单项式、单项式乘多项式，谁能说一说它们的乘法法则？ 教师点名让学生回答. 那我们又如何计算多项式乘多项式呢？我们一起来探究. 2.类比探究，学习新知 如图，张伯伯准备对长为a m、宽为p m的长方形鱼塘进行扩建，使得长再增加b m，宽再增加q m. 【问题1】请用不同的方法表示扩建后鱼塘的面积.将结果写出来. 学生：学生观察图形，交流讨论，得出结果. 教师：教师请同学说出计算的理由及结果，并板演所有结果. 板演：（1）(a+b)(p+q)； （2）(a+b)p+(a+b)q； （3）（p+q)a+(p+q)b; (4)ap+bp+aq+bq.. 【追问】这四个式子之间是什么关系？ 【追问】(a+b)(p+q)这个式子有什么特点？ 对于(a+b)(p+q)=ap+bp+aq+bq应如何进行说明？试着写写说明过程 学生：相互交流讨论，并书写说明过程. 教师：请同学上台展示说明过程，并口述理由. 学生口述：根据两次运用乘法分配律将多项式与多项式相乘化为单项式与单项式相乘，进而得出结果. （学生不会表述时，教师适时地进行提示） 【追问】那你能总结一下多项式乘多项式的运算法则吗？ 学生：学生相互交流讨论，并尝试总结， 教师：请同学展示总结结果，并给出法则. 【总结】多项式乘多项式的运算法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式与多项式相乘的过程可以示例为： 3.学以致用，应用新知 考点1 多项式乘多项式 【例1】计算： （1）（x-2）（x+1）； （2）. 解：（1）（x-2）（x+1）=x2+x-2x-2=x2-x-2. （2） 【例2】计算： （1）（x+3y）（2x-y）； （2）（-3x+2b）（2x-4b）. 解：（1）（x+3y）（2x-y）=2x2-xy+6xy-3y2=2x2+5xy-3y2. （2）（-3x+2b）（2x-4b）=-6x2+12bx+4bx-8b2=-6x2+16bx-8b2. 【要点提示】多项式乘以多项式的“三点注意” (1)一定要按照一定的顺序相乘,做到不重不漏； (2)计算时,一定要注意符号问题,每一项都包含前面的符号； (3)如果结果中有同类项,一定要合并同类项. 考点2 化简求值 【例3】先化简，再求值：(a-2b)(a2＋2ab＋4b2)-a(a-5b)(a＋3b)，其中a＝-1，b＝1. 解：(a-2b)(a2＋2ab＋4b2)-a(a-5b)(a＋3b) =a3+2a2b+4ab2-2a2b-4ab2-8b3-(a2-5ab)(a+3b) =a3+2a2b+4ab2-2a2b-4ab2-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab2 =-8b3＋2a2b＋15ab2. 当a＝-1，b＝1时， 原式=-8×13+2×（-1）2+15×（-1）×12=-21. 【方法总结】化简求值的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算． 4.随堂训练，巩固新知 （1）计算(x-1)(2x+3)的结果是( ) A.2x²+x-3 B.2x²-x-3 C.2x²-x+3 D.x3-2x-3 答案：A （2）若(x+4)(x-3)=x²+mx-n，则( ) A.m=-1，n=12 B.m=-1，n=-12 C.m=1，n=-12 D.m=1，n=12 答案：D （3）方程(2x+1)(x-1)=(x+2）(2x-1）的解为 . 答案： （4）①化简:(3x-2y)（y-3x）-(2x-y）（3x+y); ②先化简，再求值:（x-2)(x² -x-9)-x(-2x-7),其中 x=1. 答案：①10xy-15x²-y²②x³- x²+18，18 （5）为参加市里的“灵智星”摄影大赛,小红同学将同学们参加“向灾区献爱心"活动的照片放大为长 a 厘米，宽 厘米的长方形形状,又精心地在四周加上了宽为 b 厘米的装饰彩框,如图所示.你能知道小红同学的这幅摄影作品总面积吗? 答案： 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）多项式乘多项式的运算法则是怎样的？ （2）应用多项式乘多项式的法则时，有哪些注意事项？ （3）回顾单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则，它们之间有什么联系和区别？ 6.布置作业 课本P92习题第1-5题. 复习旧知，为新知识额学习做准备. 通过用不同方法计算直观的几何图形的面积，引发学生的思考，为学习多项式乘多项式做铺垫. 与单项式乘多项式的推理过程类似，让学生用不同的方法表示出图形的面积，然后抽象出多项式乘多项式的法则,培养学生的抽象、概括的能力. 从几何直观到代数表达式，引导学生自主探究法则，培养合作、归纳和表达能力. 通过例题的计算过程，进一步加深对法则的理解，同时教师总结在计算过程中的注意事项. 需要注意的几个问题:(1)漏乘;(2)符号问题;(3)最后结果应化成最简形式. 通过例题，让学生规范解题步骤,掌握运算法则的运用，发现并纠正自己的错误. 通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力. 应用题考查学生运用多项式乘多项式的知识解决实际问题的能力，让学生学会将实际问题转化为数学问题，并通过多项式的运算得出结果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 板书设计 8.4 整式的乘法 第3课时 多项式乘多项式 1.多项式乘多项式的运算法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.例题 3.多项式乘多项式的注意事项 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $