第1章三角形的证明 寒假自主学习单元同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》 寒假自主学习单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1.用反证法证明：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B>∠A,则∠A<45°，第一步应假设 () A.∠B≤∠A B.∠B≥∠A C.∠A≥450 D.∠A>45° 2.在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a.下列条件中：①∠A=∠B-∠C,② ∠A:∠B:∠C=3:4:5,③a2+b2=c2,④∠A=∠B=克∠C,⑤a:b:c=3:4:5.能 确定△ABC是直角三角形的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,AC与BD相交于点O,下列说法正 确的是（) A.BD平分∠ABC B.BD是线段AC的垂直平分线 C.AC是线段BD的垂直平分线 D.0A=OC 4.如图，△ABC中，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于 E,则∠BDC的度数为() A.70 B.40o C.60° D.80° 5.如图，在△AEC中，D为边AC上一点，B为CE延长线上一点，连接BD交AE于点F, 若∠B=45°，∠C=38°，∠A=25°，则∠AFD等于() A.97o B.83 C.93 D.72 6.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能 三等分一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OAOB组成，OC=CD=DE,点D、E可 在槽中滑动.若∠BDE=78°，则∠CDE的度数是() 图1 图2 A.260 B.52o C.75° D.76 7.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，E、F分别是ACAD边上的动 点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为() A.15° B.25° C.30 D.45° 二、填空题 8.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD.若AC=15, BC=11,则△BDC的周长为 M D/ 9.如图，△ABC中，∠B平分线BH和边AB的垂直平分线DE交于点E,已知点E到BC边 距离为2，AB=8,那么点E和点A之间的距离为」 10.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm,将斜边AB翻折， 使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则点D到直线AB的距离为 cm. 11.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，点E在边AB上，且 AE=AD,连结DE,若∠BDE=15°，则∠CAD的大小为度. D 12.如图，点B,C,E三点在同一直线上，AB=AD,AC=AE,BC=DE.若 ∠3=52°，∠1=30°，则∠2的度数为， 13.如图，在△ABC中，B0,C0分别平分∠ABC,∠ACB,且B0,C0交于点O,CE 为外角∠ACD的平分线，交B0的延长线于点E.已知∠E=25°，则∠B0C的度数为 14.如图，等边三角形ABC的边长是6cm,动点M,N分别从AC两点同时出发，沿 AC,CB边匀速运动，M,N的运动速度分别是1cm/s,2cm/s,当点N到达点B时， M,N两点均停止运动.当△MCN是直角三角形时，点M的运动时间ts的值为」 三、解答题 15,天水市要在麦积山建第五代移动通信技术铁塔（简称5G),要求发射塔离村庄A、B的 距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等.发射塔点G应修建在什么 位置？（在图上用直尺和圆规做出它的位置.保留作图痕迹，不写做法） 9 ·B p 16.在△ABC中，请用无刻度的直尺和圆规完成下列题目（保留作图痕迹，不写作法）： 图1 图2 (1)如图1，在BC边上找一点P,连接AP,使得AP将△ABC分成面积相等的两部分。 (2)如图2，在AB边上找一点Q,使∠BCQ=60°. 17.如下图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,边AC的垂 直平分线分别交AC,BC于点N,E,连接AD,AE. B (1)若∠DAB+∠EAC=60°，求∠BAC的度数。 (2)设直线DM,EN交于点O,试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由， 18.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E. D (1)若∠ACD=136°，∠B=36°，求∠E的大小 (2)点F在EC上，若AF平分∠EAC,求证：点F在∠ABC的平分线上. 19.△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°.若D为线段BC上一点，∠EDB=号∠ACB, BE⊥DE,垂足为E,DE交AB于F. E C(D) D 图1 图2 (1)如图1，当D与C点重合时，探究BE、DF的数量关系； (2)如图2，当D不与C重合时，线段BE与DF的数量关系是否发生变化，证明你的结论. 20.如图1，△ABD,△BCE都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，AE和CD交 于点P D B 图1 图2 (1)求证：AE=CD; (2)求∠APD的度数： (3)如图2，M,N分别是AE,CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论 参考答案 1.解：：结论是∠A<45°， :反证法第一步应假设∠A≥45。. 故选：C. 2.解：对于条件①：：∠A=∠B-∠C,且∠A+∠B+∠C=180°， ∠B-∠C+∠B+∠C=180°，即∠B=90°， :△ABC是直角三角形. 对于条件②：设∠A=3k,∠B=4k,∠C=5k,则3k+4k+5k=180°， k=15°， ∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°， :△ABC不是直角三角形， 对于条件③：：a2+b2=c2, :由勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形 对于条件④：：∠A=青∠B=∠C,即∠B=2∠A∠C=2∠A, ∠A+2∠A+2∠A=180°， .∠A=36°，∠B=72°，∠C=72°， :△ABC不是直角三角形. 对于条件⑤：设a=3k,b=4k,c=5k,则a2+b2=9k2+16k2=25k2c2=25k2, a2+b2=c2, ·△ABC是直角三角形 ∴.能确定△ABC是直角三角形的条件有①、③、⑤，共3个. 故选：C 3.解：“AB=AD,BC=DC,AC=AC, △ABC≌△ADC(SSS), AC平分∠BAD和∠BCD, ∠BAO=∠DAO,∠BC0=∠DCO, AB=AD,AO=AO, .△OAB≌△OAD(SAS), 同理△OCB≌△OCD(SAS), :.OB=OD, O是BD的中点， BC=DC. △BCD是等腰三角形， .OC⊥BD, :AC是线段BD的垂直平分线， 故选C。 4.解：：AB=AC,∠A=40°， :∠ABC=∠C=18004=18040=700, 2 :DE垂直平分AB, :∠A=∠ABD=40°， :∠BDC=∠A+∠ABD=40°+40°=80°. 故选：D 5.解：：∠B=45°，∠C=38°， .∠ADB=∠B+∠C=45°+38°=83°， 又：∠A=25°， .∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-25°-83°=72°， 故选：D. 6.解：：OC=CD, ∠0=∠CD0, .∠ECD=∠0+∠CD0=2∠O, CD=DE, ∠CED=∠ECD=2∠0， ∴：∠EDB=∠0十∠CED=3∠0=78°， ∠0=26°， ∠ECD=∠CED=2∠0=52°， ∴∠CDE=180°-∠ECD-∠CED=76°， 故选：D, 7.解：过点B作BE⊥AC交AD于点F,连接CF, E D :等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线， AD垂直平分BC ∴BF=CF .EF+CF=EF+BF≥BE .当BE⊥AC时，EF+CF取得最小值 :等边三角形ABC的边长为4， ∴AE=EC=2, .AF=FC, .∠FAC=∠FCA, :AD是BC边上的中线， ·∠BAD=∠CAD=309, ∠ECF=30o. 故选：C. 8.解：：AB的垂直平分线MN交AC于点D, ·AD=BD, ·△BDC的周长为 CD+BD+BC=CD+AD+BC=AC+BC=15+11=26. 故答案为：26 9.解：过点E作EG⊥BC, G D B 由题意得DE垂直平分AB, .AD=BD=AB,∠ADE=90°， :AB=8, ∴AD=BD=4, :BH平分∠ABC,∠EGB=90°，EG=2, DE=EG=2, .AE=DE2+AD2=2V5, ·点E和点A之间的距离为25. 故答案为：25。 10.解：：∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm, “由勾股定理得AB=VAC2+BC=5cm, 由翻折的性质得，∠DAE=∠DAB,BD=DE,AE=AB=5cm, 假设CD长为xcm,则DE=BD=BC-CD=(3-x)cm, CE=AE-AC=5-4=1cm, 由勾股定理得，CD2+CE2=DE2, 即x2+1=(3-x)2, 解得x=等， :∠DAE=∠DAB,∠C=90°， ∴点D到直线AB的距离等于CD的长度，即为cm, 故答案为：号 11.解：：AB=AC,AD是边BC上的中线， ÷AD⊥BC,∠CAD=∠BAD, ∠ADB=90°， :∠BDE=15°， ·∠ADE=∠ADB-∠BDE=75°， AE=AD, ·∠AED=∠ADE=75°， ÷∠BAD=180°-∠AED-∠ADE=30°， :∠CAD=30°. 故答案为：30. 12.解：AB=AD,AC=AE,BC=DE, △ABC≌△ADE(SSS), :∠3=52°，∠1=30°， ∠ABC=∠1=30°，∠BAC=∠2， ∠3=∠ABC+∠BAC,∠3=52°， ∴∠2=∠BAC=∠3-∠ABC=52°-30°=22°， 故答案为：22°. 13.解：C0平分∠ACB, :∠AC0=∠BC0=∠ACB, CE为外角∠ACD的平分线， :∠ACE=∠ECD=∠ACD, :∠ACB+∠ACD=180°， :∠AC0+∠ACE=克∠ACB+∠ACD=(∠ACB+∠ACD)=专×180·=90°， ÷∠0CE=90°， 又：∠E=25°， :∠B0C=∠0CE+∠E=90°+25°=115°， 故答案为：115°. 14.解：设t秒后，△MCN是直角三角形， 则AM=t,CN=2t, :CM=6-t. 若∠CMN=90°时，如图， BN :△ABC是等边三角形， .∠C=600, .∠CNM=30°， CN=2CM,