安徽合肥市第一中学淝河校区2025-2026学年高一上学期数学诊断性训练（八）

· 合肥一中淝河校区2025-2026学年高一上学期数学诊断性训练（八） 试卷分值：120分 考试时间：90分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合即得解. 【详解】由题得， 所以 . 故选：B 2．下列四个命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．设是两个集合，则“”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”的否定是“” 【答案】B 【分析】根据充要条件的判断方法可确定ABD项，根据带量词的命题的否定要求可判断D项. 【详解】对于A，当时，由可得，故充分性不成立； 由可得，故可得，即必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，A错误； 对于B，由可得，由也可推得， 故“”是“”的充要条件，B正确； 对于C，由可得：，则，故充分性成立； 由可得：，而当时，，故必要性不成立， 即“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，因“”的否定是“”，故D错误. 故选：B. 3．下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域的特点先判处BD，再根据函数的奇偶性排除A. 【详解】因为函数的定义域为，，所以函数在其定义域不具有单调性，故B不合题意； 因为函数的定义域为，函数在其定义域不具有单调性，故C不合题意； 对A：，所以为偶函数，故A不合题意； 对C：对函数，由，得函数的定义域为， ，所以函数为奇函数， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故D符合题意. 故选：C 4．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质判断，，的范围，即可比较，，的大小. 【详解】由题可知， ， ， 故， 故选：B. 5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：mL血液中酒精含量在mg之间为酒后驾车，mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每mL血液中的酒精含量上升到了mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20% 的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（    ）小时才能驾驶.（参考数据：） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】由题意，利用指对互化及对数运算性质求解即可. 【详解】想要在不违法的情况下驾驶汽车，则每血液中酒精含量小于， 即小时后，，则，两边取对数得， 即小时， 所以至少需要等待11个小时， 故选：A. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用辅助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案 【详解】由，得，即， 则， 故 ． 故选：A. 7．设，则当的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解. 【详解】原式 ， 当且仅当，即，，时，等号成立. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 【答案】D 【分析】由图像即可得到函数解析式，从而判断AB，由正弦型函数的单调区间即可判断C，由正弦型函数的零点代入计算，即可判断D. 【详解】由图可知，，且，可得， 又，∴，故A错误； 由五点作图法可知，，解得， 则的最小正周期为，故B错误； 函数解析式为， 当时，，， 在区间上不是单调减的，故C错误； 由，可得，即， 再由，解得， 由，解得， ∴，则在区间上共有8100个零点， 故D正确． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（多选）下列选项正确的是（    ） A．是第二象限角 B． C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】BCD 【分析】根据象限角的定义，以及角度与弧度的转化关系，扇形面积公式，即可判断选项． 【详解】选项A，在第三象限，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角， 每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确； 选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为， 则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确． 故选：BCD 10．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ） A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有2个 C．的图象与直线在上的交点恰有2个 D．在上不一定单调 【答案】ABD 【分析】利用辅助角公式化简函数，由零点个数列出不等式求解判断A；整体代换并结合余弦函数图象性质求解判断BC；由给定区间求出相位所在范围分析判断D． 【详解】函数， 令，则.    对于A，由，得，依题意，，解得，A正确； 对于B，由选项A知，，而函数在上， 当且仅当或时，取得最大值1，则当取时，取得最大值1， 因此的图象与直线在上的交点恰有2个，B正确； 对于C，当时，当且仅当时，取得最小值， 由，知是否取到不确定， 因此的图象与直线在上的交点有1个或2个，所以C错误； 对于D，当时， ，由， 得，，显然值可以超过， 因此函数在上不一定单调，所以D正确． 故选：ABD 11．已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是 C．若，则函数的最小值为 D．若，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据点关于点对称的点不在函数图象上，判断A不正确； 根据判断B正确； 求出函数在上的值域可判断C正确； 根据函数的最大值，结合推出，再根据的最小正周期为可得的最小值为，可得D正确. 【详解】在的图象上取一点，其关于点对称的点不在的图象上，所以函数的图象不关于点对称，故A不正确； 因为，所以函数图象的一条对称轴是，故B正确； 若，则，所以，故C正确； 因为，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，验证可得答案. 【详解】根据题意，是奇函数，其定义域为， 则有，必有， 当时，，其定义域为， ， 为奇函数，符合题意. 故答案为：. 13．若将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为 ． 【答案】/5.5 【分析】由题可知平移后的解析式为，根据与函数的图象重合可得即可求解. 【详解】向左平移个单位长度后得到 ， 又与函数的图象重合， 所以，解得， 又，所以的最小值为. 故答案为： 14．方程在上的根从小到大依次为，则 ，的值为 【答案】 . 【分析】根据三角函数的图象，结合其对称性，数形结合，即可求得结果． 【详解】，∵，∴，令，则，函数在上的图象如下图所示， 由图可知，与共有5个交点，∴在上共有5个根，即， ∵ ∴. 故答案为：，. 四、解答题：本题共3小题，共37分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）结合诱导公式进行化简，然后结合同角基本关系进行化简即可求解； （2）结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解. 【详解】（1） ， ， 若的纵坐标为，则， 当时，时，； 当时，； 综上，或； （2）因为， 所以， ， . 16．已知函数的最小正期为． (1)求的值域； (2)方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用二倍角余弦公式、诱导公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出值域. （2）令，画出的图象，数形结合求在上有且只有一个解对应n的取值范围. 【详解】（1）依题意，， 由函数的最小正周期为，得，解得，则， 而，所以的值域是. （2）令，当时，，函数在的图象如下， 由图知：在上有且只有一个解，则或， 解得或，所以实数的取值范围是或. 17．已知函数，其中． (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求m的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）当时，解对数不等式即可． （2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可． （3）根据条件得到恒成立，利用二次函数的性质求最值即求. 【详解】（1）由，得，即 ∴且， 解得． （2）由题得，即， ①当时，，经检验，满足题意． ②当时， （ⅰ）当时，，经检验，不满足题意． （ⅱ）当且时，，，． 是原方程的解当且仅当，即； 是原方程的解当且仅当，即． 因为解集中恰有一个元素则满足题意的m不存在． 综上，m的取值范围为． （3）当时，， 所以在上单调递减． ∴函数在区间上的最大值与最小值分别为． ，即， 对任意成立． 因为，所以函数在区间上单调递增， 当时，y有最小值，由，得． 故m的取值范围为． 五、附加题：本题共2小题，共10分。 18．若时，取得最大值，则 ． 【答案】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】 （其中，）， 当取最大值时，，∴ ， ∴． 故答案为： 19．已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令（），由单调性求出的范围或最大值即可得． 【详解】与的图象关于直线对称，因此函数的图象上存在关于直线的对称点， 则函数与的图象在时有交点， 即在时有解，在时有解， 令（），设，则， ，，∴， 从而，∴在上是增函数， 由题意，所以的最大值是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关于直线对称可以转化为反函数（需有反函数的部分）的图象与函数图象（函数的另一部分）有公共点，从而转化为方程有解． 试卷第2页，共13页 试卷第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中淝河校区2025-2026学年高一上学期数学 诊断性训练（八） 试卷分值：120分 考试时间：90分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列四个命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．设是两个集合，则“”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”的否定是“” 3．下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：mL血液中酒精含量在mg之间为酒后驾车，mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每mL血液中的酒精含量上升到了mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20% 的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（    ）小时才能驾驶.（参考数据：） A．11 B．10 C．9 D．8 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．设，则当的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（多选）下列选项正确的是（    ） A．是第二象限角 B． C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ） A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有2个 C．的图象与直线在上的交点恰有2个 D．在上不一定单调 11．已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是 C．若，则函数的最小值为 D．若，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是奇函数，则 . 13．若将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为 ． 14．方程在上的根从小到大依次为，则 ，的值为 四、解答题：本题共3小题，共37分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 16．已知函数的最小正期为． (1)求的值域； (2)方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围. 17．已知函数，其中． (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求m的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求m的取值范围． 五、附加题：本题共2小题，共10分。 18．若时，取得最大值，则 ． 19．已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为 . 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $