精品解析：江西上饶中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

江西省上饶中学2025-2026学年度高一下学期期中考试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：吴亚楠 审题人：王巍 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标的求法：终点坐标减去始点坐标，列出方程组求出点的坐标． 【详解】解：设则 ，解得，即； 故选：C． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于，所以. 3. 如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】平行四边形．中，，，为的中点，所以. 4. 在中，角所对的边分别为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求出外接圆的半径，代入圆的面积公式求解即可. 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即，所以. 所以外接圆的面积为. 5. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理得，再两边平方可求得，可求得的值． 【详解】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ， 则， ，则． 故选：D． 6. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据诱导公式，得； 根据诱导公式，得. 因为正弦函数在上单调递增，且， 所以，即 . 7. 已知函数，，若为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 函数的一个零点为 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性先求出函数的参数，再结合余弦（型）函数求周期公式，余弦（型）函数对称性、零点，单调性逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 由为奇函数，所以 ，即 ， 因为，所以当时，， 所以， 对于A，由，所以的最小正周期为，故A错误； 对于B，由 ，解得：， 令 ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，当时，，由函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故D错误. 8. 已知是所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，再由直线与圆相切可得的最大值为. 【详解】根据，， 可得， 即可得； 即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示： 由图可知，当与圆相切时，取到最大， 又，可知此时. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 【答案】BCD 【解析】 【详解】解：选项，由向量的模长公式，所以错误； 选项，由，可得，因为，则由向量共线的坐标公式， 可得，所以，因此正确； 选项，由，，当时，由向量垂直的坐标公式， 可得，所以，因此正确； 选项，由投影向量坐标公式可得在上的投影向量为，又，， 代入得投影向量，所以正确. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若有两解，，，则 C. 若，，则A可以是 D. 若，则最大角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用锐角三角形各角均为锐角得出，再结合正弦函数性质和诱导公式判断A，由正弦定理判断BC，由正弦定理得出边的关系，再由余弦定理判断D． 【详解】对A，为锐角三角形，则，，又均为锐角， 所以，所以，A正确； 对B，有两解，则，又，，所以，B正确； 对C，若，由正弦定理得，无解，C错； 对D，若，由正弦定理得，最大边是，最大角是，设，则，D正确． 11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A. B. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则__________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义即可求解． 【详解】在中,， 所以． 13. 若集合，，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由交集为空集得出，解之可得． 【详解】因为，所以， 所以 ， 即的范围是 ． 14. 已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得图象平移后的函数解析式，根据所得函数在区间上最值点的情况以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后， 所得函数图象对应的解析式为， 则当， 即时，在上至少存在两个最值点，满足题意； 当时，，所以（）， 解得（）．当时，解集为，不符合题意； 当时，解得；当时，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】三角函数图象变换，首先要看是变还是变，平移变换中：变是“左加右减”，变是“上加下减”.伸缩变换中，如：由变换为，则是缩小为原来的倍；如变为，则是放大为原来的倍. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，. （1）求向量，夹角的大小； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的分配律结合夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律求出，再由向量的夹角公式即可求出. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即 ， 所以 ，解得， 又，所以. 【小问2详解】 . 因为 ， 所以. 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 17. 如图，在三角形中，点在线段上（异于和）． （1）设，证明：； （2）若，为的中点，交于点，设（），求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算进行证明； （2）利用（1）的结论及三点共线充要条件进行求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（1）可知， 因为为的中点， ， 所以，， 所以，即， 因为三点共线，所以，所以 18. 已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下 （1）求的解析式： （2）若在区间上的最大值为，求m的最小值； （3）已知，若，使得 ，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据五点法的取值特点，结合表格数据确定最大值、最小值、周期，然后代入坐标计算可得解析式； （2）求得，根据该区间内有最大值点求解即可； （3）转化为，然后参变分离，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由表格数据可知，的最大值为，最小值为，所以，得， 又，所以，所以 因为，即， 所以，得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 当时，， 因为在区间上的最大值为，所以， 解得，即的最小值为. 【小问3详解】 ， 则，成立， 等价于使得， 因为，所以， 所以，得， 所以，使得，即. 记，由对勾函数性质可知，在单调递增， 所以，所以 所以，即的取值范围为. 19. 定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角. （1）已知，，，求，，； （2）证明：对任意，，有； （3）已知点，点P，Q是单位圆O的圆周上两个相邻的四等分点，求三角形和面积之和的取值范围. 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的向量积定义分别求解即得； （2）由题意得​，，结合新定义即可求解； （3）设，由位置关系得到 ，再由三角形的面积公式结合新定义得到，通过平方即可求解. 【小问1详解】 因为，则， ，则， 由逆时针旋转到的最小角， 由逆时针旋转到的最小角， 由逆时针旋转到的最小角， 所以，， ． 【小问2详解】 由，， 可得​，， 由正半轴逆时针旋转到或的最小角，， 由定义，是逆时针转到的最小角，故（或）， 因此， 则 ； 【小问3详解】 设 ，因 是单位圆上相邻四等分点，可得 ， 即 ，则， 因为，所以 ， ， 由（2）的结论： ， 所以和面积之和, 平方得： ，  因为 ，故  ，即  . 即和面积之和取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶中学2025-2026学年度高一下学期期中考试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：吴亚楠 审题人：王巍 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 函数的一个零点为 D. 在上单调递增 8. 已知是所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若有两解，，，则 C. 若，，则A可以是 D. 若，则最大角的余弦值为 11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A. B. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则__________. 13. 若集合，，且，则的取值范围是________. 14. 已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，. （1）求向量，夹角的大小； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 17. 如图，在三角形中，点在线段上（异于和）． （1）设，证明：； （2）若，为的中点，交于点，设（），求的值． 18. 已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下 （1）求的解析式： （2）若在区间上的最大值为，求m的最小值； （3）已知，若，使得 ，求的取值范围. 19. 定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角. （1）已知，，，求，，； （2）证明：对任意，，有； （3）已知点，点P，Q是单位圆O的圆周上两个相邻的四等分点，求三角形和面积之和的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $