精品解析：广东韶关市2025-2026学年 第一学期义务教育质量学业水平监测 八年级数学

2025－2026学年度第一学期义务教育质量学业水平监测 八年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 中华民族从古至今都追求“对称美”，下列具有韶关地方文化标识的汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. 丹（丹霞山） B. 禅（南华禅寺） C. 善（善美韶城） D. 珠（珠玑古巷） 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的4倍左右，约为．则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点、在上，，，要使，不能添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 7. 把多项式分解因式，结果正确的是（） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点和关于轴对称，则代数式的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 9. 若的展开式中不含关于x的一次项，则实数b的值为（ ） A. 3 B. C. 8 D. 15 10. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，． A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当x=___时，分式的值为0. 12. 计算的结果是_____． 13. 如图，在中，是角平分线，若，则点到的距离是_____． 14. 如果是一个完全平方式，则______． 15. 如图，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知点在同一直线上，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 若，且． （1）求的值； （2）求的值； 20. 某公司使用A、B两种型号的机器人运送货物．已知每台A型机器人的载货量比每台B型机器人的载货量多，A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人的载货量分别是多少千克？ （2）现在需要同时使用A、B两种型号机器人共10台，运送不少于的货物，该公司至少需要使用A型机器人多少台？ 21. 如图，中，，P为边上一点，且，，过点C作，垂足为D，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 23. 综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上．数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心．某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图1，已知是一块匀质三角板，分别是边的中点，连接，两条线段相交于点．小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点处，三角板能保持水平平衡，从而确定点即为三角板的重心． 【提出问题】探究图1中，的值是多少? 为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务： 【知识技能】（1）任务1：如图2，在中，是的中线，请用直尺和圆规作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） 【解决问题】 （2）任务2：如图3，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为_____； （3）任务3：在任务2的条件下，求的值； 【拓展应用】（4）如图4，在中，点是的重心，连接并延长，分别交边于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期义务教育质量学业水平监测 八年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 中华民族从古至今都追求“对称美”，下列具有韶关地方文化标识的汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. 丹（丹霞山） B. 禅（南华禅寺） C. 善（善美韶城） D. 珠（珠玑古巷） 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的判断方法是解题的关键．根据轴对称图形的定义，判断每个选项中的汉字能否沿某条直线对折后完全重合． 【详解】解：选项A：“丹”字沿任意直线对折后，两边无法完全重合，不是轴对称图形． 选项B：“禅”字沿任意直线对折后，两边无法完全重合，不是轴对称图形． 选项C：“善”字沿垂直中线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形． 选项D：“珠”字沿任意直线对折后，两边无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除和积的乘方，根据法则判断各选项正误即可． 【详解】∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，故A错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，故B错误； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，故C错误； ∵ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， ∴，故D正确． 故选∶D． 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的4倍左右，约为．则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：A． 4. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握“分式是分母中含有字母的代数式”是解题的关键． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母，以此区分分式与整式． 【详解】解：选项A：分母为，含有字母，是分式； 选项B：分母为，是常数，不是分式； 选项C：分母为，是常数，不是分式； 选项D：分母为，是常数，不是分式； 故选：A． 5. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此得到，即可求解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． 故选：B． 6. 如图，点、在上，，，要使，不能添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：，， 当时，有， ，故A、B选项正确； 当时，，故C选项正确； 当时，有，不能判定， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 把多项式分解因式，结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与平方差公式的综合应用，熟练掌握因式分解的步骤（先提公因式，再用公式分解到不能再分解）是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，已知点和关于轴对称，则代数式的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 利用关于x轴对称的点的坐标特征列方程求解和，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，且， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 若的展开式中不含关于x的一次项，则实数b的值为（ ） A. 3 B. C. 8 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含关于x的一次项，即含x的一次项的系数为0计算求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含关于x的一次项， ∴， ∴， 故选；D． 10. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，． A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当x=___时，分式的值为0. 【答案】-3 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件计算即可. 【详解】解：由题意得， ， 解得，x=-3, 故答案为-3. 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，分子为0；分母不为0，熟练掌握相关知识是解题关键. 12. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式的乘除运算，根据运算法则，将除法转化为乘法后简化，或直接计算乘除． 【详解】解：原式． 故答案为：． 13. 如图，在中，是角平分线，若，则点到的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．先利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，再结合已知条件，得出点到的距离等于的长度． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴点到的距离等于的长度， ∵， ∴点到的距离为， 故答案为：． 14. 如果是一个完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点列出关于的等式，即可求出的值． 【详解】解：， ， 解得． 15. 如图，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边三角形的对称性，作点关于的对称点，将转化为，当、、三点共线时，取得最小值，再通过构造直角三角形计算的长度． 【详解】解：取点关于直线的对称点，连接、，过作于， ∵ 是等边三角形，为中点， ∴ 是的垂直平分线，也是的角平分线，所在直线是的对称轴， ∵ 点是点关于的对称点， ∴ 在上，且，， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在中，， ∴ 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质及勾股定理的应用，熟练掌握利用轴对称求最短路径的方法是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、零指数幂（）、负整数指数幂（）的运算，熟练掌握这些幂的运算性质是解题的关键． 分别计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减运算． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、平方差公式以及代数式求值，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则和平方差公式是解题的关键． 先对多项式除以单项式的部分进行化简，再运用平方差公式化简整式乘法部分，之后合并同类项，最后代入数值计算． 【详解】解： ， 当时，原式 18. 如图，已知点在同一直线上，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质进行计算，得，结合全等三角形的对应角相等，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 由（1）得， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 若，且． （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1）3 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵ ∴ ． 20. 某公司使用A、B两种型号的机器人运送货物．已知每台A型机器人的载货量比每台B型机器人的载货量多，A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人的载货量分别是多少千克？ （2）现在需要同时使用A、B两种型号机器人共10台，运送不少于的货物，该公司至少需要使用A型机器人多少台？ 【答案】（1）每台A型机器人的载货量是，每台B型机器人的载货量是 （2）公司至少安排A型机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程与不等式是解题的关键； （1）设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是．根据等量关系：A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同，列出分式方程，求解并检验即可； （2）设A型机器人有m台，则B型机器人有台．根据数量关系：10台机器人运送不少于的货物，列出一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是． 由题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：每台A型机器人的载货量是，每台B型机器人的载货量是． 【小问2详解】 解：设A型机器人有m台，则B型机器人有台． 由题意得：， 解不等式得：． 公司至少安排A型机器人5台． 21. 如图，中，，P为边上一点，且，，过点C作，垂足为D，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 则是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得，利用含角的直角三角形得即可证明结论； （2）利用，得，得到，根据得，利用三角形外角和定理得，则有，等量代换得，则可求得即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形性质、三角形外角和定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角与边之间的关系是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【答案】（1），；，； （2）； （3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为； （4） 【解析】 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出次的总水量是前个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项()拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因为正整数，，故，即总倒出水量始终小于，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项()拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 【详解】（1）解：根据已知规律，， 可得；(为正整数)； 故答案为：，；，． （2）解：倒出次后总水量为； （3）解：倒出次后总水量为． ∵(为正整数)，即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘()，得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的规律探索、异分母分式的减法以及解分式方程，核心是裂项相消法的综合应用．从具体的数字规律出发，提炼出的通用裂项规律，再通过“消去中间项、保留首尾项”的技巧，把复杂的分式求和转化为简单的计算问题． 23. 综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上．数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心．某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图1，已知是一块匀质三角板，分别是边的中点，连接，两条线段相交于点．小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点处，三角板能保持水平平衡，从而确定点即为三角板的重心． 【提出问题】探究图1中，的值是多少? 为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务： 【知识技能】（1）任务1：如图2，在中，是的中线，请用直尺和圆规作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） 【解决问题】 （2）任务2：如图3，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为_____； （3）任务3：在任务2的条件下，求的值； 【拓展应用】（4）如图4，在中，点是的重心，连接并延长，分别交边于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）如图， （2）；（3）2；（4）4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义与性质、三角形中线的性质、三角形面积的计算以及等高三角形面积比与底边比的关系，熟练掌握三角形重心分中线成2:1的比例、中线分三角形面积为相等的两部分是解题的关键． （1）根据三角形重心的定义，即三条中线的交点，先作出边的中线，再与已知中线相交，交点即为重心． （2）利用重心的性质，即重心将三角形分成面积相等的三部分，以及中线分三角形面积为相等的两部分，通过面积的等量代换，得出与面积相等． （3）连接，利用重心分中线的比例关系，结合等高三角形面积比等于底边比，从而求出的值． （4）先根据重心分中线为的比例求出、的长度，结合算出的面积，再利用（2）的结论得到和的面积，进而求出的总面积，最后用总面积减去三个三角形的面积得到四边形的面积． 【详解】解：（1）作出边的中线，连接与，交点即为重心； （2）∵点是的重心， ∴是边上的中线， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，连接， ∵点是的重心，的面积为， ∴是边上的中线， ∴， ∴ 由（2）知， ∵和同高 ∴； （4）∵点G是△ABC的重心， ∴BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线， ∴， ， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $