云南民族大学附属高级中学2025-2026学年第一学期期末诊断测试高二数学试卷

[考试时间：2026年1 月28日14:30至16:30] 2025—2026学年秋季学期期末诊断测试 高二年级数学试卷评分标准 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚。并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，，所以．故选：C. 2. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】由则.故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，解得且，即函数的定义域为.故选：A. 4. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为直线，所以斜率为. 因为该直线的倾斜角为，，所以.所以. 故选：B. 5. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则 ，所以，故选：A. 6. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】所有基本事件有个，和从3，6中选共有4个，和从1，4中选1个，从2，5中选1个，共有8个，所求概率为.故选：D. 7. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为平面，平面，所以，又，所以两两垂直， 所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，即该球的直径为长方体体对角线的长， 因为，所以， 所以该球半径为2，体积为. 故选：C 8. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 双曲线中，令，解得，则， 由直线与圆相切于点，得， 又， 则， 即，于是，即， 有，解得：或，而，所以. 故选：C. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 不等式的解集是 D. 当时， 【答案】ABC 【解析】对于选项A、D：因为是定义域为上的奇函数，所以，且，令，则，有，所以，故D错误；，故A正确； 对于选项B：当时，在上单调递增， 又函数是定义域为奇函数， 所以是定义域在上的增函数，故B正确； 对于选项C：不等式转化为，即， 因为在上恒成立，所以，解得，故C正确. 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的图象可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 对任意，恒有 【答案】BD 【解析】 ， 对于选项A：当时，，函数在上不是增函数，故A错误； 对于选项B：令，得， 显然直线是函数图像的一条对称轴，故B正确； 对于选项C：函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，故C错误； 对于选项D： ，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（    ）    A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【解析】对于选项A：，，， 平面，平面，平面， 又平面，，A正确； 对于选项B：三棱锥的体积，B错误； 对于选项C，三棱锥的外接球等价于正方体外接球，设其半径为， 其直径等于正方体体对角线长：， 则所求外接球的表面积为，C正确． 对于选项D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形， 为的中点（平行则四点共面），∴等腰梯形周长为，D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且为第二象限角，则_________. 【答案】 【解析】因为且为第二象限角，所以， 所以，故答案为: . 13. 已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为.故答案为：. 14. 已知点，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ． 【答案】6 【解析】由题意知圆心是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 记点到抛物线的准线的距离为， ， 所以， 当且仅当直线与抛物线的准线垂直， 点在线段上时即，，共线时取得最小值，等号成立， 所以的最小值为6． 故答案为：6 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）在中，内角，，所对的边分别是，，．已知． （1）求角的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）因为， 所以， 又，所以. 因为，所以.......................................................................................6分 （2）选①：由余弦定理可得，. 即，此时，无解，不合题意. 选②：由余弦定理可得，整理得.................9分 解得或（舍），即....................................................................11分 满足存在且唯一确定，则的面积为........................................................................13分 选③：.........................................7分 由正弦定理可..........................................8分 由余弦定理可得，， 即.解得.........................................10分 当时，，不合题意.........................................11分 所以，满足存在且唯一确定， 则的面积为.....................................13分 16. （15分）已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】（1）由题意，圆心的坐标为，半径， 且，即点在圆外..............................................2分 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切.................4分 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得， 直线l的方程为.........................................................................7分 故过点M的圆的切线方程为或.....................................8分 （2）圆心到直线的距离为.............................10分 则，所以.....................................13分 解得..........................................15分 17. （15分）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】（1） （2）480 （3） 【解析】 （1）由图知，， 解得...........................................................................................................2分 评分在的频率为.................................3分 评分在的频率为........................................4分 故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则，解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为......................................................5分 （2）由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户..........9分 （3）由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为.........................................................10分 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户,分别记为..........................11分 评分在内被抽取户，分别记为...........................12分 从中任意选取2户，有，共10种选法，其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种.........................................14分 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.......................15分 18. （17分）如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2． （1）求证：AC⊥平面BEF； （2）求二面角B−CD−C1的余弦值； （3）证明：直线FG与平面BCD相交． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析． 【解析】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵CC1⊥平面ABC， ∴四边形A1ACC1为矩形．.........................................................................1分 又E，F分别为AC，A1C1的中点， ∴AC⊥EF........................................................................................................2分 ∵AB=BC，E为AC的中点， ∴AC⊥BE，....................................................................................................3分 而,∴AC⊥平面BEF．...........................................................5分 （2）由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1 又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC............................................................6分 ∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．...................................................................7分 如图建立空间直角坐称系E-xyz． 由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1）， F（0，0，2），G（0，2，1）． ∴.................................................................................8分 设平面BCD的法向量为， ∴，∴， 令a=2，则b=-1，c=-4， ∴平面BCD的一个法向量.........................................................10分 又∵平面CDC1的一个法向量为....................................................11分 ∴......................................................................12分 由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为........13分 （3）平面BCD的一个法向量为， ∵G（0，2，1），F（0，0，2）， ∴......................................................................................................14分 ∴...................................................................................................15分 ∴与不垂直， ∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内， ∴GF与平面BCD相交..............................................................................................17分 19. （17分）在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； （2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）或 （3）定值，证明见解析. 【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，则点在空间中的坐标分别为，，， ∴.....................................................2分 ......................................................4分 （2）由题意可知，点在空间中的坐标为，对点分类讨论， ①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为， ∴，化简得：.....6分 ②当点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为， 化简得：.....8分 ∴点的轨迹方程为：或..............9分 （3）①当直线与轴垂直时，显然不成立.........................10分 ②当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：， 联立方程 ..................................................................................12分 ∵， ∴ 代入韦达定理可得：， 即 解得或.................................................................................14分 当时， 直线经过点,故舍去. ∴，则，且， 当时, 由得 当过点，； 当过点，. ∴点在轴的上半平面，点在轴的下半平面.......................................16分 点在空间中的坐标分别为， 为定值.......................................17分 评分标准·第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ [考试时间：2026年1 月28日14:30至16:30] 2025—2026学年秋季学期期末诊断测试 高二年级数学试卷 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚。并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 不等式的解集是 D. 当时， 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 对任意，恒有 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）    A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且为第二象限角，则_________. 13. 已知正实数满足，则的最小值为 . 14. 已知点，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 . 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分） 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求角的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. （15分） 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 17. （15分） 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 18. （17分） 如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2． （1）求证：AC⊥平面BEF； （2）求二面角B−CD−C1的余弦值； （3）证明：直线FG与平面BCD相交． 19. （17分） 在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； （2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. 数学试卷·第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025一2026学年秋季学期期末诊断测试 高二年级数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 注意事项 1 答题前请将姓名、班级、考场、准 考证号填写清楚。 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 涂， 修改时用橡皮擦干净。 必须在题号对应的答题区域内作 正确填涂 缺考标记 答，超出答题区域书写无效。 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][c][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的 得0分 9[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 14 囚囚■ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步来 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 个频率 组距 0.030 0.025 0.020 1 a 0.010 5060708090100分数/分 I I I ■ 囚■囚 18.(17分) C D G 囚■囚 口 19.(17分) VA 文折叠成 ■