精品解析：四川省遂宁市2025-2026学年九年级上学期 一模 数学试题

初中2026届中考模拟考试 数 学 试 题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在机读卡上； 2.1—18小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上； 3．考试结束后，将第I卷的机读卡和第Ⅱ卷的答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共54分） 1. 下列根式是最简二次根式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解． 【详解】解：A选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意； B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选:A． 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质． 2. 估算的结果（ ） A. 在7和8之间 B. 在8和9之间 C. 在9和之间 D. 在和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， . 原式结果在9和10之间， 故选：C． 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 4. 小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．设“□”表示的数为，根据题意得出，求解即可得到答案． 【详解】解：设“□”表示的数为， 方程有实数根， ， 解得：， “□”的值可能为4， 故选：A． 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0 D. 拨打一个电话号码，电话正被占线中 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，属于不可能事件，不符合题意； B、两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块，属于不可能事件，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0，属于必然事件，不符合题意； D、拨打一个电话号码，电话正被占线中，属于随机事件，符合题意； 故选：D． 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，两直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，据此即可求解﹒ 【详解】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， 即， ∴﹒ 故选：D 7. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2，1），然后求在另一侧为（2，-1）． 故选∶D． 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4050 B. 4054 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 10. 如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知最小数为，然后可列出方程进行求解． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选D． 11. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 12. “赵爽弦图”是我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小华在如图所示的“赵爽弦图”中，连接．若正方形与正方形的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解． 【详解】解：设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x， 即，， 由题意得，，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 13. 如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（ ）． A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 14. 如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点．其中点处的读数分别为，已知直尺宽为2，则为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意得到，，可得相似比为，设点到的高为，点到的高为，直尺宽为2，则，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∵点处的读数分别为， ∴， ∴相似比为， 设点到的高为，点到的高为，直尺宽为2， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：B ． 15. 若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解． 【详解】解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 16. 已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴不一定为0，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 17. 如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键．连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点A作交于点M． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∵要使线段最小， ∴最小即可， 则当时最小， ∵， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ． 故选：C． 18. 如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分线的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明，，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤． 【详解】解：四边形正方形， ，． ∵， ， ，故①正确； 由①得， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 四边形是正方形， ，即是的角平分线， 点G到边与边的距离相等， 即中边的高与中边的高相等， 又， ，故③正确； 设正方形的边长为， 当E是的中点时，，， 由勾股定理得：，， ，， ， ， ． ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， 当E是的中点时，，故④错误； 当时，， ， ， ， ， 中边的高与中边的高相等，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤错误． 综上，①②③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形． 第Ⅱ卷（非选择题，满分96分） 注意事项： 1．用钢笔或签字笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上． 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，需要你在答题卡上作答． 3．答题前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（每空4分，共24分） 19. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的被开方数大于等于0，确定的值，然后代入求，最后计算． 【详解】解：由二次根式的定义可得：， 解得：， 将代入可得：， ． 故答案为：． 20. 四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，设边框的宽为，由题意列出方程，然后解方程并检验即可，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的值是， 故答案为：． 21. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 22. 在消防救援锦标赛攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为___________米 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用---坡度坡角问题，根据坡角设出直角边的长并利用勾股定理是解题的关键． 根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为，结合勾股定理建立方程求解垂直高度． 【详解】解：如图，设垂直上升的高度为米，水平距离为米． 由坡度比为，得，即． ∵在中，，即 ∴， 解得（舍去负值）． ∴消防员攀爬的垂直上升的高度为5米． 故答案为：5． 23. 小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 _____立方分米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方体的体积公式，理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形是解题的关键．先对图形的部分顶点命名，如图，由裁剪的方式可得和是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的性质得到，结合正方形的边长求出的长，进而得到正方体礼品盒的棱长，再利用正方体的体积公式即可解答． 【详解】解：如图，在正方形中，（分米）， 由此裁剪可得，和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即（分米）， （分米）， 正方体礼品盒的棱长为2分米， 礼品盒的体积为（立方分米）． 故答案为：8． 24. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“积方和数”．例如：四位数1732，因为，所以1732是“积方和数”．已知四位数是“积方和数”，将“积方和数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被22整除，则满足条件的的最小值是______ 【答案】1842 【解析】 【分析】本题考查了整数的性质，不定方程，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键． 根据“积方和数”的定义，满足 ，且数字互不相等且不为0。设 ，则 ，计算 。要求 被22整除，即需 为偶数。为求最小 ，从千位 开始尝试，结合条件推导出唯一解 。 【详解】设，则， 有． ∵需被22整除，且11已整除， 故需为偶数， 即为偶数． 同时需满足，且数字互异且非0． 为求最小，取， 则，故． ∵， 有，推出（若，则，，，矛盾）． 若， 则， 但与重复， 违反互异条件，故． 若， 则，且， 故． 数字互异要求，， 故，， ∴，， 即． 需为偶数， 即为偶数： 时奇数，无效； 时偶数，有效； 时奇数，无效． 故唯一解，，． 验证：，， 满足；数字互异； （千位百位对调为81，十位个位对调为24）， ， ，整除成立． 且时无其他更小， 故最小值为1842． 故答案为：1842． 三、解答题（共72分） 25. （1）计算： ① ② （2）解方程： ① ② 【答案】（1）①，②；（2）①，②， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂公式，负整数指数幂公式，含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程等知识，掌握相关运算法则和解法是解题的关键． （1）①运用二次根式的混合运算法则计算即可； ②运用零指数幂公式，负整数指数幂公式和特殊角的三角函数值等知识计算即可； （2）① 运用配方法求解即可； ②运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）① = = ② = = （2）①解： 解得：； ②解： 则或 解得，． 26. 某调查小组邀请广大游客对“飞阅遂宁•光影同庆”无人机灯光秀表演打分(分数为百分制且为整数)，并从男、女游客中各随机抽取25名游客的分数进行整理、描述和分析(分数均不低于60分，用表示，共分4组：A．；B．；C．；D．)，下面给出部分信息： 25名男游客打分在C组的数据： 80，81，82，83，85，87，88； 25名女游客打分：60，61，63，65，67，69，72，74，75，78，80，82，94，94，94， 94，94，95，96，97，98，99，100，100，100； 抽取男、女游客的分数统计表 游客性别 男游客 女游客 平均数 83 83 中位数 a 94 众数 78 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______， ______， ______； （2）调查小组准备从A、B、C、D组各一名的游客代表中随机选择两名进行采访，请用列表或画树状图的方法，求两名游客恰好来自C组和D组的概率． 【答案】（1）81，94，28 （2） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数和众数，用表格法或树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据中位数定义可求出，根据众数的定义可求出，用总体“1”减去组所占的比例可求出； （2）先用表格列举所有情况，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：25名男游客打分中从小到大排列，中位数是第个数，打分在组数据共有(个)， ∴结合组数据可得：中位数， 25名女游客打分中，出现次数最多的是，共次， ∴， 25名男游客打分在C组的数据有个， ∴打分在C组所占的比例为：， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如图： 第一名代表 第二名代表 由表知共有3×4=12种情况，其中两名游客恰好来自C组和D组共有2种 ∴P(两名游客恰好来自C组和D组)= 27. 如图，，，P为AB上一点，，连接CD． （1）若，求BD的长； （2）若CP平分，求证：． 【答案】（1）BD的长为； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得∠PCD=∠ACP，从而可得∠PCD=∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答． 【小问1详解】 解：∵AB=9，AC=3， ∴BP=AB-AP=9-3=6， ∵∠A=∠CPD，∠ACP+∠APC=180°-∠A，∠APC+∠BPD=180°-∠CPD， ∴∠ACP=∠BPD， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴，即， ∴BD=， ∴BD的长为； 【小问2详解】 证明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD=∠ACP， ∵∠ACP=∠DPB， ∴∠PCD=∠DPB， ∵∠CPD=∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴， ∴PD2=CD•BD． 【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键． 28. 江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥．某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案： 课题 测量桥塔顶到江面的距离AB 实物图 测量工具 卷尺、测角仪… 测量示意图 测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点，点处有一高为 2m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为45° 测量说明 点在同一水平直线上，且 均垂直于 参考数据 … … 请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离．(结果精确到0.1m) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，，则，继而求得，再用的正切值建立方程求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 设，则． ， 在中， ∴ 在中， ，即 解得 ∴主桥塔顶到江面的距离为． 29. 定义：设，是方程的两个实数根，其中．若，则称这个方程为“俏方程”． （1）方程 ________“俏方程”（用“是”或“不是”填空）； （2）若关于x的方程是“俏方程”． ①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为________； ②求m的取值范围． 【答案】（1）不是，见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）求得方程的两个根分别为，，，不满足，故判定不是即可； （2）①根据题意，得，解得，故判定不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为； ②当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可；当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可； 本题考查了一元二次方程的解法，新定义方程，熟练掌握解方程的方法，正确理解新定义方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：解方程， 得， 故，，不满足， 故方程不是“俏方程”， 故答案为：不是； 【小问2详解】 ①解：根据题意，得， 解得， 故不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为， 故答案为：； ②解：当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 30. 综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题： 【观察猜想】 （1）如图1，在中，，点是平面内不与点重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 ． 【类比探究】 （2）如图2，点是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，则的值为 ； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点、分别是、的中点，连接，如图4，将绕着点顺时针旋转角度，直线交于点，连接，若射线将分成的两个角度之比是，则的值为多少？请直接写出答案． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得和为等边三角形，结合角的和差可得，利用全等三角形的性质可得，结合三角形内角和可得直线与直线相交所成的较小角的度数． （2）①连接，根据正方形的性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得． ②连接交于点，根据正方形的性质可得，进而证明，利用相似三角形的性质可得， 进而得出． （3）连接，根据题意可利用中位线定理和等腰三角形的性质，得，，， ，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和可得，根据勾股定理即可求得，由射线将分成的两个角度之比是，可分成旋转后，直线交于点，交于点，直线交于点，当，时，和直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，当，时两种情况分别讨论，根据相似三角形的性质和判定，勾股定理，解二元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴直线与直线相交所成的较小角的度数是：． 故答案为：，． （2）①如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，且，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：连接交于点，如图所示： ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，如图所示： ∵，点、分别是、的中点， ∴是的中位线，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵射线将分成的两个角度之比是， ∴可将分成，两个角， 旋转后，直线交于点，交于点，直线交于点，当，，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 旋转后，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，当，，如图所示： ∵， ∴， 又∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∵ ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍）， ， 综上可得：的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形，正方形的性质，等腰三角形，勾股定理，解二元一次方程，等边三角形，旋转的性质，中位线定理，全等三角形的性质和判定，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中2026届中考模拟考试 数 学 试 题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在机读卡上； 2.1—18小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上； 3．考试结束后，将第I卷的机读卡和第Ⅱ卷的答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共54分） 1. 下列根式是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 2. 估算的结果（ ） A. 在7和8之间 B. 在8和9之间 C. 在9和之间 D. 在和之间 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 不确定 4. 小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和 B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0 D. 拨打一个电话号码，电话正被占线中 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4050 B. 4054 C. D. 10. 如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（ ） A B. C. D. 11. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 12. “赵爽弦图”是我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小华在如图所示的“赵爽弦图”中，连接．若正方形与正方形的边长之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（ ）． A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 14. 如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点．其中点处的读数分别为，已知直尺宽为2，则为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 15. 若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 16. 已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 17. 如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 18. 如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题，满分96分） 注意事项： 1．用钢笔或签字笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上． 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，需要你在答题卡上作答． 3．答题前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（每空4分，共24分） 19. 已知，则的值为______． 20. 四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 21. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 22. 在消防救援锦标赛攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为___________米 23. 小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 _____立方分米． 24. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“积方和数”．例如：四位数1732，因为，所以1732是“积方和数”．已知四位数是“积方和数”，将“积方和数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被22整除，则满足条件的的最小值是______ 三、解答题（共72分） 25. （1）计算： ① ② （2）解方程： ① ② 26. 某调查小组邀请广大游客对“飞阅遂宁•光影同庆”无人机灯光秀表演打分(分数为百分制且为整数)，并从男、女游客中各随机抽取25名游客的分数进行整理、描述和分析(分数均不低于60分，用表示，共分4组：A．；B．；C．；D．)，下面给出部分信息： 25名男游客打分在C组的数据： 80，81，82，83，85，87，88； 25名女游客打分：60，61，63，65，67，69，72，74，75，78，80，82，94，94，94， 94，94，95，96，97，98，99，100，100，100； 抽取男、女游客的分数统计表 游客性别 男游客 女游客 平均数 83 83 中位数 a 94 众数 78 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______， ______， ______； （2）调查小组准备从A、B、C、D组各一名游客代表中随机选择两名进行采访，请用列表或画树状图的方法，求两名游客恰好来自C组和D组的概率． 27. 如图，，，P为AB上一点，，连接CD． （1）若，求BD的长； （2）若CP平分，求证：． 28. 江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥．某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案： 课题 测量桥塔顶到江面的距离AB 实物图 测量工具 卷尺、测角仪… 测量示意图 测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点，点处有一高为 2m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为45° 测量说明 点在同一水平直线上，且 均垂直于 参考数据 … … 请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离．(结果精确到0.1m) 29. 定义：设，是方程的两个实数根，其中．若，则称这个方程为“俏方程”． （1）方程 ________“俏方程”（用“是”或“不是”填空）； （2）若关于x的方程是“俏方程”． ①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为________； ②求m取值范围． 30. 综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题： 【观察猜想】 （1）如图1，在中，，点是平面内不与点重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 ． 类比探究】 （2）如图2，点是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，则的值为 ； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点、分别是、的中点，连接，如图4，将绕着点顺时针旋转角度，直线交于点，连接，若射线将分成的两个角度之比是，则的值为多少？请直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $