考点01 二元一次方程（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点01 二元一次方程 考点一：二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 考点二：二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 考点三：解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 考点四：由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 题型一：二元一次方程的识别 “二元”指的是含有两个未知数 “一次”指的是含有未知数的项的次数都是1 “方程”指的是整式方程 （1）分母中不能出现字母，不能出现三个字母； （2）未知数的最高次数都只能是1次． 【典例精讲】（2025秋•桥西区期末）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．3x+y＝2 B．x﹣3＝1 C．xy＝1 D．x2﹣x﹣1＝0 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，由此即可判断． 【解答】解：A、此方程是二元一次方程，故A符合题意； B、此方程是一元一次方程，故B不符合题意； C、此方程是二元二次方程，故C不符合题意； D、此方程是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：A． 【变式训练1】（2025秋•城关区期末）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．2x﹣3y＝2 B．3x2+2y＝6 C．x2﹣16＝0 D．x﹣9＝0 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【解答】解：A、此方程符合二元一次方程的条件，故此选项符合题意； B、此方程未知数x的次数是二次，所以不符合二元一次方程的条件，故此选项不符合题意； C、此方程只含有一个未知数，所以不符合二元一次方程的条件，故此选项不符合题意； D、此方程为一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•甘州区校级期末）下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1； ⑤5x﹣3y；⑥；⑦x（x﹣1）＝x2+y． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 【解答】解：根据定义可知①②③是二元一次方程，④中未知数项的次数是2次，而不是1次，它不是二元一次方程；⑤是代数式，不是方程；⑥是分式方程，⑦整理后为x+y＝0，是二元一次方程．故正确的有①②③⑦，共4个， 故选：C． 题型二：根据二元一次方程的定义求参数 “二元”指的是含有两个未知数 “一次”指的是含有未知数的项的次数都是1 未知数x和y的次数必须均为1，且系数不为零以确保两个变量都存在． 【典例精讲】（2025秋•浑南区期末）已知x2m﹣1﹣3y4﹣2n＝﹣7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣n的值是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据二元一次方程的定义，可得m＝1，n，再计算m﹣n的值． 【解答】解：根据题意得2m﹣1＝1，4﹣2n＝1，‘ 解得m＝1，n， ∴m﹣n＝1， 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•海城市期末）若（m﹣1）x﹣4y|m|＝5是关于x，y的二元一次方程，那么m的值为　　 ． 【分析】利用二元一次方程的定义，可列出关于m的一元一次不等式及含绝对值的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵（m﹣1）x﹣4y|m|＝5是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：m＝﹣1， ∴m的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式训练2】（2025秋•太谷区期末）已知xa﹣1﹣2yb+3＝1是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝　　 ． 【分析】根据二元一次方程的定义，确定x、y的次数均为1，从而列出关于a、b的方程，求解后计算a+b的值． 【解答】解：由条件可知x的指数a﹣1＝1，解得a＝2； y的指数b+3＝1，解得b＝﹣2． 所以a+b＝2+（﹣2）＝0， 故答案为：0． 题型三：判断是否是二元一次方程的解 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等 代入验证时x和y不要错代． 【典例精讲】（2025秋•桥东区期末）下列各组数值中，哪组是二元一次方程2x+y＝10的解（　　） A． B． C． D． 【分析】将每个选项中的x和y值代入方程2x+y，验证是否等于10． 【解答】解：将每个选项中的x和y值代入方程2x+y，验证是否等于10．可得： A、把代入方程得2×（﹣2）+6＝﹣4+6＝2≠10，不符合题意； B、把代入方程得2×4+3＝8+3＝11≠10，不符合题意； C、把代入方程得2×3+4＝6+4＝10＝10，符合题意； D、把代入方程得2×（﹣6）+2＝﹣12+2＝﹣10≠10，不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•兴庆区校级期末）下列各组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把各项中的x，y代入方程检验即可． 【解答】解：A、将解代入方程得：左边＝2+2＝4＝右边，选项正确，不符合题意； B、将解代入方程得：左边＝4+0＝4＝右边，选项正确，不符合题意； C、将解代入方程得：左边＝1+3＝4＝右边，选项正确，不符合题意； D、将解代入方程得：左边＝﹣4+4＝0≠右边，选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（2025春•环翠区期末）下列各组数满足方程x﹣2y＝3的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把每个选项中的x、y的值代入方程验证即可． 【解答】解：A、把代入方程x﹣2y＝3中，左边＝3﹣0＝3，右边＝3，左边＝右边，所以是方程x﹣2y＝3的解，故此选项符合题意； B、把代入方程x﹣2y＝3中，左边＝4﹣2×1＝2，右边＝3，左边≠右边，所以不是方程x﹣2y＝3的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程x﹣2y＝3中，左边＝2﹣2×（﹣1）＝4，右边＝3，左边≠右边，所以不是方程x﹣2y＝3的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程x﹣2y＝3中，左边＝1﹣2×（﹣2）＝5，右边＝3，左边≠右边，所以不是方程x﹣2y＝3的解，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型四：用一个字母表示另外一个字母 （1）利用移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y（x）的式子表示x（y）的形式． （2）用x表示y，将x看作已知数，y看作未知数． （3）用y表示x，将y看作已知数，x看作未知数． 移项时要注意变号． 【典例精讲】（2025秋•青龙县期末）已知2x+y＝12，将其化成用含y的代数式表示x的形式为（　　） A．y＝12﹣2x B．2x＝12﹣y C．x＝12﹣2y D． 【分析】通过移项、系数化为1即可得出用含y的代数式表示x． 【解答】解：2x+y＝12， 2x＝12﹣y， x＝6， 故选：D． 【变式训练1】（2025春•邯郸期末）已知方程2x﹣3y＝2，则y可用含x的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据移项，合并同类项，系数化为1等，然后合并同类项，系数化1就可用含x的式子表示y． 【解答】解：由条件可得﹣3y＝﹣2x+2， 方程左右两边同时除以﹣3得，． 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•萧山区月考）已知方程3y﹣2x＝﹣5，用含x的代数式表示y，则y＝　　 ． 【分析】先根据被减数＝差+减数，求出3y，再求出y即可． 【解答】解：∵3y﹣2x＝﹣5， ∴3y＝2x﹣5， ， 故答案为：． 题型四：二元一次方程的整数解 先用一个字母表示另一个字母，然后分别令分子为分母的倍数即可． 看清是整数解，还是正整数解，还是非负整数解． 【典例精讲】（2025春•威远县校级期末）二元一次方程3x+2y＝18的正整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】写出方程的所有正整数解，即可得出结论． 【解答】解：原方程变为：y． 可得原方程的正整数解有：或． 故选：B． 【变式训练1】（2025•泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程x+2y＝3恰有一个正整数解x＝1，y＝1．类似地，方程2x+3y＝21的正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二元一次方程的解的定义找出正整数解即可． 【解答】解：方程2x+3y＝21的正整数解是，，，共3组， 故选：C． 【变式训练2】（2025春•江都区期中）方程2x+y＝5的非负整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出非负整数解． 【解答】解：∵2x+y＝5， ∴y＝﹣2x+5， ∴当x＝0时，y＝5；x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝1， 则方程的非负整数解为或或． 故选：C． 题型五：已知二元一次方程的解求参数 将方程的解代入方程，然后按照解一元一次方程的步骤进行求解即可． （1）去括号时，括号前是减号需要变号； （2）移项时需要变号； （3）系数化为1时，ax=b得到的为x=． 【典例精讲】（2025秋•花溪区期末）若是关于x、y的二元一次方程ax﹣5y＝1的解，则a的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．4 D．2 【分析】因为是方程ax﹣5y＝1的解，所以将x＝2，y＝1代入方程，得到2a﹣5×1＝1，求解即可． 【解答】解：将代入方程ax﹣5y＝1， 得到：2a﹣5×1＝1， 解得：a＝3． 答：a的值为3． 故选：A． 【变式训练1】（2025秋•兰州期末）已知是二元一次方程2x﹣y＝14的解，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】根据方程的解的定义，将方程2x﹣y＝14中x，y用k替换得到k的一元一次方程，进行求解． 【解答】解：将代入二元一次方程2x﹣y＝14，得 7k＝14， k＝2． 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•新民市期末）若是关于x、y的二元一次方程ax﹣2y＝1的解，则a的值为（　　） A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5 【分析】把代入ax﹣2y＝1计算即可． 【解答】解：把代入ax﹣2y＝1得， a﹣4＝1， 解得a＝5， 故选：B． 题型六：已知二元一次方程的解求代数式的值 （1）已知条件不化简，所给代数式化简； （2）已知条件化简，所给代数式不化简； （3）已知条件和所给代数式都要化简． 添括号时，括号前是减号需要变号． 【典例精讲】（2025•杭州模拟）如果是方程2x﹣3y＝2025的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入方程2x﹣3y＝2025中得到2m﹣3n＝2025，然后将代数式变形，最后代入求值即可． 【解答】解：把代入方程2x﹣3y＝2025中，得2m﹣3n＝2025， ∴2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2025＝﹣1， 故选：A． 【变式训练1】（2025春•宁强县期末）已知是关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝5的解，则代数式7+8a﹣6b的值是（　　） A．19 B．17 C．﹣5 D．﹣1 【分析】把代入方程，得出关于a、b的方程4a﹣3b＝5，再根据方程中未知数的系数特点解答即可． 【解答】解：把代入方程ax﹣by＝5， 得：4a﹣3b＝5， 8a﹣6b＝2×（4a﹣3b）＝2×5＝10， ∴7+8a﹣6b＝17， 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•安达市期末）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+b﹣1的值为 　　 ． 【分析】首先根据题意，可得：2a+b＝3，把2a+b＝3代入算式计算即可． 【解答】解：∵是方程ax+by＝3的解， ∴2a+b＝3， ∴2a+b﹣1 ＝3﹣1 ＝2． 故答案为：2． 题型七：二元一次方程的实际应用 把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （1）所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符 （2）熟记公式，找准等量关系． 【典例精讲】“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍x间，小圈舍y间，则x+y求得的结果有 　　 种． 【分析】设有大圈舍x间，小圈舍y间，根据现有的圈舍正好可以容下40只鹿，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出结论． 【解答】解：设有大圈舍x间，小圈舍y间， 依题意得：6x+4y＝40， ∴y＝10x． 又∵x，y均为自然数， ∴或或或， ∴x+y＝10或9或8或7， ∴求得的结果共有4种． 故答案为：4． 【变式训练1】某公园门票的价格为：成人票10元/张，儿童票5元/张．现有x名成人、y名儿童，买门票共花了75元．据此可列出关于x、y的二元一次方程为（　　） A．10x+5y＝75 B．5x+10y＝75 C．10x﹣5y＝75 D．10x＝75+5y 【分析】设x名成人、y名儿童，根据买门票共花了75元，列方程即可． 【解答】解：设x名成人、y名儿童， 由题意得，10x+5y＝75． 故选：A． 【变式训练2】把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有 种． 【分析】设某种截法中1m长的钢管有a根，2m长的钢管有b根，根据两种规格钢管的总长度为9m,即可得出关于a,b的二元一次方程，结合a,b均为正整数，即可找出各种截法，进而可得出结论． 【解答】解：设某种截法中1m长的钢管有a根，2m长的钢管有b根， 依题意，得：a+2b=9， ∴a=9-2b. ∵a,b均为正整数， ∴当b=1时，a=7；当b=2时，a=5；当b=3时，a=3；当b=4时，a=1， ∴a的值可能有4种． 故答案为：4． 【变式训练3】某白羽肉鸡生产企业，它的产品供应给许多餐饮品牌制作套餐．某餐厅向该企业订购两种类型的鸡肉产品（以箱为单位）： A产品：鸡翅，每箱装有20袋； B产品：鸡腿，每箱装有30袋． 餐厅后厨将1袋鸡翅和1袋鸡腿组合成一份“黄金鸡肉套餐”．为了不浪费食材，餐厅希望每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套． (1)每天A产品至少需订购_______箱，B产品至少需订购_______箱．（答案取整数） (2)已知餐厅今天已订购了48箱产品（即A箱数和B箱数之和为48），如果再增订A产品（鸡翅）2箱，那么两种产品刚好就能全部配套成“黄金鸡肉套餐”．问餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）各是多少箱？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的应用： （1）设每天A产品需订购a箱，B产品需订购b箱，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）x箱，则B产品（鸡腿）（48一x)箱，根据题意，列出方程，即可求解。 （1）解：设每天A产品需订购a箱，B产品需订购b箱， ：每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套， ∵20a=30b, ∴。 ∵a，b取正整数， ∴a最小为3，b最小为2, 答：每天A产品至少需订购3箱，B产品至少需订购2箱； （2）解：设餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）x箱，则B产品（鸡腿）（48一x）箱， 依题意，得20(x+2)=30(48-x)， 解得x=28， ∴48-x=48-28=20. 答：餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）28箱，B产品（鸡腿）20箱. 1．（2025秋•九江月考）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x2+x＝1 B．x﹣2＝3 C．xy＝1 D．x﹣1＝y 【分析】根据二元一次方程的定义，含有2个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行判断即可． 【解答】解：A、x2+x＝1只有1个未知数，且含有二次项，不是二元一次方程，不符合题意； B、x﹣2＝3只有1个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、xy＝1是二元二次方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、x﹣1＝y是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．（2024秋•峡江县期末）若方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3 【分析】依据二元一次方程的定义求解即可． 【解答】解：∵方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程， ∴a+3≠0，|a|﹣2＝1， 解得a＝3． 故选：D． 3．（2024秋•梧州期末）把2x﹣3y＝1变形成用x表示y的形式为（　　） A． B． C． D． 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【解答】解：2x﹣3y＝1， 3y＝2x﹣1， 解得：y， 故选：A． 4．（2025春•绥中县期中）下列各组数中，不是方程x+y＝8的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将各选项中的x和y代入方程x+y＝8，验证是否满足等式即可． 【解答】解：A．当时，方程左边＝4+4＝8，方程右边＝8， ∵8＝8， ∴方程左边＝方程右边， ∴是方程x+y＝8的解，选项A不符合题意； B．当时，方程左边＝6﹣2＝4，方程右边＝8， ∵4≠8， ∴方程左边≠方程右边， ∴不是方程x+y＝8的解，选项B符合题意； C．当时，方程左边＝5+3＝8，方程右边＝8， ∵8＝8， ∴方程左边＝方程右边， ∴是方程x+y＝8的解，选项C不符合题意； D．当时，方程左边＝7+1＝8，方程右边＝8， ∵8＝8， ∴方程左边＝方程右边， ∴是方程x+y＝8的解，选项D不符合题意． 故选：B． 5．（2025春•武城县期末）如果是方程3ax+2by＝20的解，a，b是正整数，则a+b的最大值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】首先将方程化简然后分三种情况讨论即可． 【解答】解：将方程组的解代入方程3ax+2by＝ 20中， 得到：3a×2+26×1＝20，化简得：6a+2b＝20，两边同时除以2，得3a+b＝10，由于a，b为正整数，因此b＝10﹣3a＞0，故a的可能取值为1、2、3， 当a＝1时，b＝10﹣3×1＝7，此时a+b＝1+7＝ 8， 当a＝2时，b＝10﹣3×2＝4，此时a+b＝2+4＝6， 当a＝3时，b＝10﹣3×3＝1，此时a+b＝3+1＝ 4， ∴a+b的最大值为8， 故答案选C． 6．（2025秋•金水区校级月考）写出一个二元一次方程，使它的一个解是，这则个方程可以是x+y＝3（答案不唯一）　 ．（写出一个方程即可） 【分析】根据二元一次方程的解，构造一个以x＝2，y＝1为解的方程即可． 【解答】解：根据题意，设二元一次方程为ax+by＝c，其中a，b，c为常数，且a和b不为0， 又∵是方程的解， ∴将x＝2，y＝1代入方程， 得2a+b＝c． 当a＝1，b＝1时， 则c＝2×1+1＝3， ∴二元一次方程可为：x+y＝3， 经验证，当x＝2，y＝1时，2+1＝3成立． 故答案为：x+y＝3（答案不唯一）． 7．（2025秋•海原县校级期末）若是关于x，y的二元一次方程ax﹣2y＝1的解，则a的值是　5　 ． 【分析】直接把代入到方程ax﹣2y＝1中求出a的值即可． 【解答】解：由题意可得：a﹣4＝1， ∴a＝5， 故答案为：5． 8．（2025秋•安达市期末）已知是二元一次方程ax﹣by＝3的解，则2a+4b﹣2的值是　4　 ． 【分析】将二元一次方程的解代入方程，得到a+2b＝3，然后通过代数变形，利用整体代入法求解即可． 【解答】解：因为是方程ax﹣by＝3的解， 所以a×1﹣b×（﹣2）＝3， 即a+2b＝3， 2a+4b﹣2 ＝2（a+2b）﹣2 ＝2×3﹣2 ＝4． 故答案为：4． 9．（2025春•德化县期末）已知方程3x+y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝　5﹣3x ． 【分析】把含y的项放到方程左边，移项即可． 【解答】解：3x+y＝5， 移项、得y＝5﹣3x． 故答案为：5﹣3x． 10．（2025春•皮山县月考）把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式： （1）3x+y﹣1＝0； （2）2x﹣y＝3． 【分析】（1）由3x+y﹣1＝0得y＝﹣3x+1； （2）由2x﹣y＝3得y＝2x﹣3． 【解答】解：（1）因为3x+y﹣1＝0， 所以y＝﹣3x+1； （2）因为2x﹣y＝3， 所以y＝2x﹣3． 11．（2024春•泰州期中）盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得2分，摸到1个白球得3分．某人摸到x个红球、y个白球，共得12分．列出关于x、y的方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解． 【分析】根据某人摸到x个红球，y个白球，共得12分，列出方程，然后求出合适的x、y的值． 【解答】解：由题意得，2x+3y＝12， x， ∵x、y都为整数， ∴x＝0时，y＝4， x＝3时，y＝2， x＝6时，y＝0， ∴x和y的值共3对． 12．（2025•黄龙县开学）如果是方程2x﹣y+1＝0的一组解，求代数式6a﹣3b﹣5的值． 【分析】先把方程的解代入方程得到a与b的关系式，再对6a﹣3b﹣5变形，最后代入求值． 【解答】解：将 代入方程2x﹣y+1＝0，得：2a﹣b+1＝0， ∴2a﹣b＝﹣1， ∴6a﹣3b﹣5＝3（2a﹣b）﹣5＝3×（﹣1）﹣5＝﹣3﹣5＝﹣8． 13．（2024秋•徐水区期末）定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，x※.例如：2※1＝2． （1）直接写出（﹣1）※7＝ 　　 ； （2）已知2※，求x的值． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得： （﹣1）※7 ； 故答案为：； （2）已知等式利用题中的新定义化简得： ， 12+3x＝10x+4， ﹣7x＝﹣8， ． 14．（2025春•梁平区期末）已知二元一次方程2x+5y＝28． （1）若x、y互为相反数，求3x+2y的值； （2）直接写出此方程的所有正整数解． 【分析】（1）由题意得x＝﹣y，将其代入2x+5y＝28中解得y的值后即可求得x的值，再将其代入3x+2y中计算即可； （2）根据题意写出该方程的所有正整数解即可． 【解答】解：（1）∵x、y互为相反数， ∴x＝﹣y， ∵2x+5y＝28， ∴﹣2y+5y＝28， 解得：y， 则x， 那么3x+2y＝x+2（x+y）0； （2）当y＝1时，2x+5＝28，此时x＝11.5，不符合题意， 当y＝2时，2x+10＝28，此时x＝9，符合题意， 当y＝3时，2x+15＝28，此时x＝6.5，不符合题意， 当y＝4时，2x+20＝28，此时x＝4，不符合题意， 当y＝5时，2x+25＝28，此时x＝1.5，不符合题意， 综上，此方程的所有正整数解为或． 15．（2025春•巴彦县月考）若将关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为（a，b）．例如：将二元一次方程x﹣2y＝1变形为，则二元一次方程x﹣2y＝1的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程2x+y＝1的“相伴系数对”为 　（﹣2，1）　 ； （2）已知一个关于x、y的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为（k，k+3），写出这个二元一次方程为 　3x﹣y+6＝0　 ． 【分析】（1）将关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式，根据已知条件中的新定义求出答案即可； （2）根据已知条件中的新定义和已知条件写出这个二元一次方程，然后把把代入，列出关于k的方程，解方程求出k，再把k代入这个方程即可． 【解答】解：（1）2x+y＝1， y＝﹣2x+1， ∴方程2x+y＝1的“相伴系数对”为（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）； （2）该二元一次方程可写成：y＝kx+k+3， 把代入y＝kx+k+3得： 3k+k+3＝15， 4k＝12， k＝3， ∴这个二元一次方程为：y＝3x+6，即3x﹣y+6＝0， 故答案为：3x﹣y+6＝0． 16．（2025春•鲤城区校级期中）已知二元一次方程mx+3y+n＝0（m，n均为常数，且m≠0）． （1）当m＝2，n＝﹣4时，用x的代数式表示y； （2）若是该二元一次方程的一个解； ①探索m与n关系，并说明理由； ②若该方程有一个解与m，n的取值无关，请求出这个解． 【分析】（1）把m＝2，n＝﹣4代入方程mx+3y+n＝0，得出2x+3y﹣4＝0，再根据等式的性质，得出用含x的代数式表示y即可； （2）①把x＝2，y＝﹣n代入方程mx+3y+n＝0，整理即可得出m﹣n＝0； ②由①得出m﹣n＝0，得出m＝n，代入方程变形，然后根据方程组的解与m，n的取值无关，进行计算即可． 【解答】解：（1）把m＝2，n＝﹣4代入方程mx+3y+n＝0，得2x+3y﹣4＝0， ∴3y＝4﹣2x， ∴； （2）①m﹣n＝0．理由如下： 把x＝2，y＝﹣n代入方程mx+3y+n＝0，得2m﹣3n+n＝0， 解得：m﹣n＝0； ②由①得m﹣n＝0，则m＝n， 把m＝n代入方程mx+3y+n＝0， ∴mx+3y+m＝0， ∴m（x+1）+3y＝0， ∵该方程有一个解与m，n的取值无关， ∴x+1＝0，y＝0， ∴x＝﹣1， ∴这个解为． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，等式的性质，掌握二元一次方程的解，等式的性质是解题的关键． 17．（2025春•海安市期中）关于x，y的二元一次方程均可以变形为ax+by＝c的形式（其中a，b，c均为常数且a≠0，b≠0），规定：（a，b，c）为方程ax+by＝c的“关联系数”． （1）二元一次方程1的“关联系数”为 　（12，10，23）　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（1，2，﹣1），若为该方程的一组解，且m，n均为正整数，求m，n的值． 【分析】（1）把x、y的系数都化为整数，再根据“关联系数”的定义可得答案； （2）根据“关联系数”的定义可得x+2y＝﹣1，再根据二元一次方程的解的定义得到m﹣15+2（m+n）＝﹣1，据此解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）整理方程得12x+10y＝23， ∴二元一次方程的“关联系数”为（12，10，23）； 故答案为：（12，10，23）； （2）∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（1，2，﹣1）， ∴x+2y＝﹣1， ∵为该方程的一组解， ∴m﹣15+2（m+n）＝﹣1， ∴3m+2n＝14， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴当m＝2时，n＝4； 当m＝4时，n＝1； ∴或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 二元一次方程 考点一：二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 考点二：二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 考点三：解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 考点四：由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 题型一：二元一次方程的识别 “二元”指的是含有两个未知数 “一次”指的是含有未知数的项的次数都是1 “方程”指的是整式方程 （1）分母中不能出现字母，不能出现三个字母； （2）未知数的最高次数都只能是1次． 【典例精讲】（2025秋•桥西区期末）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．3x+y＝2 B．x﹣3＝1 C．xy＝1 D．x2﹣x﹣1＝0 【变式训练1】（2025秋•城关区期末）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．2x﹣3y＝2 B．3x2+2y＝6 C．x2﹣16＝0 D．x﹣9＝0 【变式训练2】（2025秋•甘州区校级期末）下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1； ⑤5x﹣3y；⑥；⑦x（x﹣1）＝x2+y． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：根据二元一次方程的定义求参数 “二元”指的是含有两个未知数 “一次”指的是含有未知数的项的次数都是1 未知数x和y的次数必须均为1，且系数不为零以确保两个变量都存在． 【典例精讲】（2025秋•浑南区期末）已知x2m﹣1﹣3y4﹣2n＝﹣7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣n的值是（　　） A．2 B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•海城市期末）若（m﹣1）x﹣4y|m|＝5是关于x，y的二元一次方程，那么m的值为　　 ． 【变式训练2】（2025秋•太谷区期末）已知xa﹣1﹣2yb+3＝1是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝　　 ． 题型三：判断是否是二元一次方程的解 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等 代入验证时x和y不要错代． 【典例精讲】（2025秋•桥东区期末）下列各组数值中，哪组是二元一次方程2x+y＝10的解（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•兴庆区校级期末）下列各组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025春•环翠区期末）下列各组数满足方程x﹣2y＝3的是（　　） A． B． C． D． 题型四：用一个字母表示另外一个字母 （1）利用移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y（x）的式子表示x（y）的形式． （2）用x表示y，将x看作已知数，y看作未知数． （3）用y表示x，将y看作已知数，x看作未知数． 移项时要注意变号． 【典例精讲】（2025秋•青龙县期末）已知2x+y＝12，将其化成用含y的代数式表示x的形式为（　　） A．y＝12﹣2x B．2x＝12﹣y C．x＝12﹣2y D． 【变式训练1】（2025春•邯郸期末）已知方程2x﹣3y＝2，则y可用含x的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025秋•萧山区月考）已知方程3y﹣2x＝﹣5，用含x的代数式表示y，则y＝　　 ． 题型四：二元一次方程的整数解 先用一个字母表示另一个字母，然后分别令分子为分母的倍数即可． 看清是整数解，还是正整数解，还是非负整数解． 【典例精讲】（2025春•威远县校级期末）二元一次方程3x+2y＝18的正整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式训练1】（2025•泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程x+2y＝3恰有一个正整数解x＝1，y＝1．类似地，方程2x+3y＝21的正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】（2025春•江都区期中）方程2x+y＝5的非负整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型五：已知二元一次方程的解求参数 将方程的解代入方程，然后按照解一元一次方程的步骤进行求解即可． （1）去括号时，括号前是减号需要变号； （2）移项时需要变号； （3）系数化为1时，ax=b得到的为x=． 【典例精讲】（2025秋•花溪区期末）若是关于x、y的二元一次方程ax﹣5y＝1的解，则a的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．4 D．2 【变式训练1】（2025秋•兰州期末）已知是二元一次方程2x﹣y＝14的解，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【变式训练2】（2025秋•新民市期末）若是关于x、y的二元一次方程ax﹣2y＝1的解，则a的值为（　　） A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5 题型六：已知二元一次方程的解求代数式的值 （1）已知条件不化简，所给代数式化简； （2）已知条件化简，所给代数式不化简； （3）已知条件和所给代数式都要化简． 添括号时，括号前是减号需要变号． 【典例精讲】（2025•杭州模拟）如果是方程2x﹣3y＝2025的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式训练1】（2025春•宁强县期末）已知是关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝5的解，则代数式7+8a﹣6b的值是（　　） A．19 B．17 C．﹣5 D．﹣1 【变式训练2】（2025秋•安达市期末）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+b﹣1的值为 　　 ． 题型七：二元一次方程的实际应用 把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （1）所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符 （2）熟记公式，找准等量关系． 【典例精讲】“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍x间，小圈舍y间，则x+y求得的结果有 　　 种． 【变式训练1】某公园门票的价格为：成人票10元/张，儿童票5元/张．现有x名成人、y名儿童，买门票共花了75元．据此可列出关于x、y的二元一次方程为（　　） A．10x+5y＝75 B．5x+10y＝75 C．10x﹣5y＝75 D．10x＝75+5y 【变式训练2】把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有 种． 【分析】设某种截法中1m长的钢管有a根，2m长的钢管有b根，根据两种规格钢管的总长度为9m,即可得出关于a,b的二元一次方程，结合a,b均为正整数，即可找出各种截法，进而可得出结论． 【变式训练3】某白羽肉鸡生产企业，它的产品供应给许多餐饮品牌制作套餐．某餐厅向该企业订购两种类型的鸡肉产品（以箱为单位）： A产品：鸡翅，每箱装有20袋； B产品：鸡腿，每箱装有30袋． 餐厅后厨将1袋鸡翅和1袋鸡腿组合成一份“黄金鸡肉套餐”．为了不浪费食材，餐厅希望每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套． (1)每天A产品至少需订购_______箱，B产品至少需订购_______箱．（答案取整数） (2)已知餐厅今天已订购了48箱产品（即A箱数和B箱数之和为48），如果再增订A产品（鸡翅）2箱，那么两种产品刚好就能全部配套成“黄金鸡肉套餐”．问餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）各是多少箱？ 1．（2025秋•九江月考）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x2+x＝1 B．x﹣2＝3 C．xy＝1 D．x﹣1＝y 2．（2024秋•峡江县期末）若方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3 3．（2024秋•梧州期末）把2x﹣3y＝1变形成用x表示y的形式为（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•绥中县期中）下列各组数中，不是方程x+y＝8的解的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025春•武城县期末）如果是方程3ax+2by＝20的解，a，b是正整数，则a+b的最大值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（2025秋•金水区校级月考）写出一个二元一次方程，使它的一个解是，这则个方程可以是　 ．（写出一个方程即可） 7．（2025秋•海原县校级期末）若是关于x，y的二元一次方程ax﹣2y＝1的解，则a的值是　　 ． 8．（2025秋•安达市期末）已知是二元一次方程ax﹣by＝3的解，则2a+4b﹣2的值是　　 ． 9．（2025春•德化县期末）已知方程3x+y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝　 ． 10．（2025春•皮山县月考）把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式： （1）3x+y﹣1＝0； （2）2x﹣y＝3． 11．（2024春•泰州期中）盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得2分，摸到1个白球得3分．某人摸到x个红球、y个白球，共得12分．列出关于x、y的方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解． 12．（2025•黄龙县开学）如果是方程2x﹣y+1＝0的一组解，求代数式6a﹣3b﹣5的值． 13．（2024秋•徐水区期末）定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，x※.例如：2※1＝2． （1）直接写出（﹣1）※7＝ 　　 ； （2）已知2※，求x的值． 14．（2025春•梁平区期末）已知二元一次方程2x+5y＝28． （1）若x、y互为相反数，求3x+2y的值； （2）直接写出此方程的所有正整数解． 15．（2025春•巴彦县月考）若将关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为（a，b）．例如：将二元一次方程x﹣2y＝1变形为，则二元一次方程x﹣2y＝1的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程2x+y＝1的“相伴系数对”为 　　 ； （2）已知一个关于x、y的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为（k，k+3），写出这个二元一次方程为 　　 ． 16．（2025春•鲤城区校级期中）已知二元一次方程mx+3y+n＝0（m，n均为常数，且m≠0）． （1）当m＝2，n＝﹣4时，用x的代数式表示y； （2）若是该二元一次方程的一个解； ①探索m与n关系，并说明理由； ②若该方程有一个解与m，n的取值无关，请求出这个解． 17．（2025春•海安市期中）关于x，y的二元一次方程均可以变形为ax+by＝c的形式（其中a，b，c均为常数且a≠0，b≠0），规定：（a，b，c）为方程ax+by＝c的“关联系数”． （1）二元一次方程1的“关联系数”为 　　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（1，2，﹣1），若为该方程的一组解，且m，n均为正整数，求m，n的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $