精品解析：广西柳州市2025-2026学年度八年级上学期期末质量监测数学试题

柳州市2025－2026学年度八年级（上）期末质量监测试题数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每题只有一个选项符合题目要求） 1. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，平分．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，用正方形卡片A类4张、B类9张和长方形卡片C类m张拼成一个大正方形，且这个大正方形的边长为，则m的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 如图，，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，BC的垂直平分线EF交的平分线BD于点E，若，，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 或 12. 在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使分式有意义，则x应满足的条件是______． 14. 因式分解：_____ 15. 若的展开式中不含的一次项，则常数_____． 16. 如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的图形，并直接写出的坐标； （2）求的面积； （3）在y轴上求作一点P，使最小． 19. 已知：如图，，，则是什么三角形，请说明理由． 20. 如图，在中，，E，F为BC边上的两点，且F在E的右侧．已知． （1）求证：； （2）若点D在AF的延长线上，，，，求证：． 21. 某文具店预测一款新文具很受学生喜欢，先用元购进一批这款文具，面市后果然供不应求，又用元购进这款文具，第二批文具的数量是第一批的倍，但单价比第一批贵元． （1）求第一批文具的进货单价多少元？ （2）若二次购进的文具按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于元，那么销售单价至少为多少元? 22. 阅读材料：我们已经学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．例如求代数式的最小值． 解：配方，得，当时，的最小值是2．回答下列问题： （1）当_____时，代数式有最小值，最小值是_____； （2）求代数式的最大值； 解： ，从而． 当_____时，代数式有最大值，最大值是_____． （3）如图，长方形花圃的两面靠墙（墙足够长），另两边用总长为的栅栏围成．设，当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少？ 23. 【问题情境】如图，在中，，D是的中点，点E，F分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）若，，求证：点F在线段的垂直平分线上； 【拓展探究】 （3）若与全等（点B与点C是对应点），且的周长为14，，求的长度； （4）在（2）的基础上，试判断与是否存在关于直线成轴对称的情况，若存在，直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市2025－2026学年度八年级（上）期末质量监测试题数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每题只有一个选项符合题目要求） 1. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据已知两边长和，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边x需满足：， 即． 只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法运算，积的乘方运算和合并同类项，根据相关运算法则求解即可． 【详解】对于选项A：∵ ，∴ 正确； 对于选项B： 不是同底数幂相乘，不能合并指数，∴ 错误； 对于选项C：∵ ，∴ 错误； 对于选项D：∵ ，∴ 错误 故选：A． 5. 如图，已知，平分．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，平分，可得，根据，即计算求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 6. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：（a＋b）（a−b）＝，找出整式中的a和b，进行判定即可． 【详解】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，故选项A错误； B、（−x＋y）（x−y）＝，不符合平方差公式的特点，故选项B错误； C、（2x−y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，故选项C正确； D、（−x−y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键． 7. 学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．根据题意分以下两种情况，当是等腰三角形的底角，以及当是等腰三角形的顶角，讨论求解，即可解题． 【详解】解：当是等腰三角形的底角，则底角的度数为； 当是等腰三角形的顶角，则底角的度数为； 综上所述，等腰三角形的一个角是，其底角的可以是或． 故选：C． 8. 如图，用正方形卡片A类4张、B类9张和长方形卡片C类m张拼成一个大正方形，且这个大正方形的边长为，则m的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的面积之间的关系．先根据正方形的面积公式，利用完全平方公式计算，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：这个正方形的面积， ∴需要长方形卡片C类12张． ∴m的值为12． 故选：D． 9. 如图，，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应边相等，对应角相等即可判断A、B，再由三角形内角和定理和平角的定义即可判断C、D． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项中的结论错误，符合题意， 故选：B． 10. 如图，在中，BC的垂直平分线EF交的平分线BD于点E，若，，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由EF是BC的垂直平分线，得到BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABD=∠CBD，根据三角形的内角和即可求出∠CBD，再利用直角三角形两锐角互余求解. 【详解】解：∵EF是BC的垂直平分线， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠DBC=∠ECB， ∵∠BAC=60°，∠ACE=24°， ∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=(180°-60°-24°)=32°， ∴∠BEF=90°-32°=58°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 11. 已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：C． 12. 在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及平面直角坐标系中点的坐标特征． 解题的关键在于分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，再结合点在轴上这一条件，确定点的位置． 【详解】解：当时 已知，根据两点间距离公式，可得． 因为点在轴上，设，则． 由，即，解得，此时点的坐标为或，有个点． 当时 设，，根据两点间距离公式，． 因为，且，所以． 两边同时平方可得，即． 开方得． 当时，，此时与原点重合，不符合三角形的定义，舍去． 当时，，此时点的坐标为，有个点． 当时 设，，，． 由，即． 两边同时平方可得． 展开得． 移项化简得，解得，此时点的坐标为，有个点． 综上，符合条件的点有，，，，共个． 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是掌握分式的分母不为零，要使分式 有意义，则分母 ，进而即可求解． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴ ，解得 ． 故答案为 ． 14. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 15. 若的展开式中不含的一次项，则常数_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，先根据多项式乘多项式的运算法则展开式子，再合并同类项，根据不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，进而求出m的值． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：5． 16. 如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，等腰三角形的腰长为， ∴， ∵、分别与两边垂直 ∴， ∵面积为， ∴， ∴， 故答案为5． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，合并同类项，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用幂的乘方化简，再合并同类项； （2）利用多项式除以单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的图形，并直接写出的坐标； （2）求的面积； （3）在y轴上求作一点P，使最小． 【答案】（1） 如图所示；的坐标为； （2）7 （3）点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，轴对称最短路径问题： （1）根据关于x轴对称点的纵坐标变为相反数，横坐标不变的规律得出点的坐标，顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）将A点关于y轴的对称点与点连接交y轴于点P，则点P即为所求； 熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据轴对称变换的性质得到，，，依次连接即可， 【小问2详解】 解：; 【小问3详解】 解：将A点关于y轴的对称点与点连接交y轴于点P，如图所示： 此时轴上点，使得的和最小． 19. 已知：如图，，，则是什么三角形，请说明理由． 【答案】 解：是等腰三角形，理由如下： 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴是等腰三角形. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，利用证明，得到，则可证明，据此可得结论 ． 【详解】略 20. 如图，在中，，E，F为BC边上的两点，且F在E的右侧．已知． （1）求证：； （2）若点D在AF的延长线上，，，，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又 ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定证得，再证明即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的性质求得，进而得到即可证的结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，利用全等三角形证明线段相等或角相等是解答的关键． 21. 某文具店预测一款新文具很受学生喜欢，先用元购进一批这款文具，面市后果然供不应求，又用元购进这款文具，第二批文具的数量是第一批的倍，但单价比第一批贵元． （1）求第一批文具的进货单价多少元？ （2）若二次购进的文具按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于元，那么销售单价至少为多少元? 【答案】（1）元； （2）元． 【解析】 【分析】（）设第一批文具的进货单价为元，则第二批文具的进货单价为元，根据题意列出分式方程即可求解； （）由（）求出两次购进文具的数量，设销售单价为元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设第一批文具的进货单价为元，则第二批文具的进货单价为元， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解， 答：第一批文具的进货单价为元； 【小问2详解】 解：由（）可得，第一批文具的数量为件，第二批文具的数量为件， 设销售单价为元， 由题意可得，， 解得， 答：销售单价至少为元． 22. 阅读材料：我们已经学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．例如求代数式的最小值． 解：配方，得，当时，的最小值是2．回答下列问题： （1）当_____时，代数式有最小值，最小值是_____； （2）求代数式的最大值； 解： ，从而． 当_____时，代数式有最大值，最大值是_____． （3）如图，长方形花圃的两面靠墙（墙足够长），另两边用总长为的栅栏围成．设，当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当时，花圃的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式配方的应用，正确理解已知例题，仿照例题的解题方法完成配方是解题的关键． （1）仿照例题配方解答即可； （2）仿照例题配方解答即可； （3）用表示出，根据长方形面积公式列式，配方后即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得：时代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得： 当时代数式有最大值，最大值是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设，则 ∴ ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是. 23. 【问题情境】如图，在中，，D是的中点，点E，F分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）若，，求证：点F在线段的垂直平分线上； 【拓展探究】 （3）若与全等（点B与点C是对应点），且的周长为14，，求的长度； （4）在（2）的基础上，试判断与是否存在关于直线成轴对称的情况，若存在，直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1） （2）证明：连接，． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴点F在线段的垂直平分线上； （3）或 （4）存在，的度数为 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可． （2）证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出点F在线段的垂直平分线上． （3）先求出边长，由线段中点得出，然后分两种情况当时和，然后利用全等三角形的性质求解即可． （4）根据全等三角形的性质得出，根据成轴对称的图形的性质得出，进一步证明是等边三角形，是等边三角形，则可求出． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）略 （3）∵的周长为14，，， ∴． 又∵D是的中点， ∴． 当时，，， ∴． 当时，； （4）存在；的度数为． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，轴对称的性质，以及三角形内角和定理等知识，掌握这些知识解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $