专题09分式能与分式方程寒假预习讲义（3）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题09分式能与分式方程寒假预习讲义（3） · 快速入门：轻松分清 “分式方程” 和普通方程的区别，一眼识别谁是分式方程。 · 解锁解法：掌握 “去分母” 的核心思路，学会把分式方程变成你熟悉的一元一次方程，体验 “化繁为简” 的成就感。 · 避坑指南：提前搞懂 “增根” 是什么，为什么会出现，让你以后做题不掉坑。 · 实战预热：初步学会从行程、工程等实际问题里找到等量关系，尝试列出分式方程，提前感受 “用数学解决真实问题” 的乐趣。 · 埋下伏笔：对 “无解”“求参数” 这些进阶问题建立好奇心，带着疑问去上课，让听课效率翻倍。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.根据分式方程的解求参数值 4.分式方程无解问题 5.列分式方程 6.分式方式的实际应用 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.由方程解求参数值 4.分式方程无解问题 5.分式方程的列式 6.行程问题中的分式方程 7.工程问题中的分式方程 8.经济问题中的分式方程 9.和差倍分与分式方程 10.其他实际问题与分式方程 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.分式方程的定义】 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 举例：2，是分式方程；+1=3 不是分式方程（分母不含未知数）。 2.关键特征： (1)是方程（含有未知数的等式）。 (2)分母中必须含有未知数。 【知识点02.分式方程的解法】 1.核心思路：去分母，把分式方程转化为整式方程（一元一次方程）求解。 2.步骤： (1)找最简公分母：确定各分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，得到整式方程。 (3)解整式方程：解转化后的一元一次方程，得到未知数的值。 (4)检验：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原分式方程的解；若公分母为 0，则是增根，原分式方程无解。 3.增根的产生原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为 0，导致整式方程的解不满足原分式方程。 【知识点03.根据分式方程的解求参数值】 方法： 1.先解出分式方程（用含参数的式子表示解）。 2.根据题目对解的限制条件（如解为正数、负数、非零等），列出关于参数的不等式或方程。 3.结合增根的排除条件（解不能使最简公分母为 0），最终确定参数的取值范围或具体值。 【知识点04.分式方程无解问题】 1.两种情况导致无解： (1)整式方程本身无解：转化后的整式方程形如 0x=a（a0），此时整式方程无解，原分式方程也无解。 (2)整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解使原分式方程的最简公分母为 0，即产生增根，原分式方程无解。 2.解题步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程。 (2)分析整式方程无解的条件，或求出使公分母为 0 的增根，代入整式方程求参数。 【知识点05.列分式方程】 1.核心步骤： (1)审题：找出题目中的等量关系。 (2)设未知数：选择合适的未知量设为 x。 (3)列方程：根据等量关系，用含未知数的分式表示相关量，列出分式方程。 2.常见等量关系类型：行程、工程、经济、和差倍分等 【知识点06.分式方程实际应用】 一.行程问题 基本公式： 路程 = 速度 × 时间 s=vt 变形：v=​，t=. 常见等量关系： 1 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 2 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 3 不同方式行驶同一段路程，时间差相等 二、工程问题 基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 W=et 变形：e=​，t=​ 常见等量关系： 1 总工作量通常设为 1 2 各部分工作量之和 = 总工作量 3 合作效率 = 各单独效率之和 三、经济问题 核心公式： 利润 = 售价 - 成本 利润率 = ×100% 总价 = 单价 × 数量 常见等量关系：① 价格变化前后，总利润不变② 销量与单价成反比变化时，总销售额不变 四、和差倍分问题 常见等量关系： 1 A 是 B 的 n 倍 → A=nB 2 A 比 B 多 / 少 m → A=B±m 3 A 与 B 的比为 a:b → = 【题型1.分式方程的定义】 【典例】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是 ．（请填写序号） 【跟踪专练2】岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【题型2.分式方程的解法】 【典例】方程的解为 ． 【跟踪专练1】解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，如．按照上述运算法则，若，则x的值为 ． 【题型3.由方程解求参数值】 【典例】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【跟踪专练1】若关于x的方程的解为，则 ． 【跟踪专练2】如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】如果关于x的方程无解，则m的值是 ． 【跟踪专练1】若分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为 ． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【题型5.分式方程的列式】 【典例】DeepSeek公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x-2）=1.2 【跟踪专练1】随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为 ． 【跟踪专练2】某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度________．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“________”表示的缺失条件为（   ） A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务 【题型6.行程问题中的分式方程】 【典例】.八年级（）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，慢车的速度为 ． 【跟踪专练1】2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有 m． 【题型7.工程问题中的分式方程】 【典例】某公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】“为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍……，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗．设甲每小时种植x棵花苗，则可得方程 根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应为 ． 【跟踪专练2】某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 【题型8.经济问题中的分式方程】 【典例】《哪吒之魔童闹海》的观影人数急剧攀升，带动了哪吒手办的销售．某商店分别用600元和1000元分两次购进某款哪吒的手办，第二次购进的数量比第一次多40个，且两次购买手办的进价相同．设商店第一次购进该款手办x个，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某商店计划在今年的元旦购进若干件A，B两种纪念品．若花费480元购进的A种纪念品的数量比花费480元购进的B种纪念品的数量少10个，已知每件A种纪念品价格比每件B种纪念品价格多4元．求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元．设购买一件B种纪念品需x元，则可列方程 ． 【跟踪专练2】2025年春晚吉祥物“巳升升”一亮相就收获许多观众的喜爱，他憨态可掬的外表既蕴含满满的中式美好寓意，又暗藏很多创新巧思．蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，巳字又有子嗣绵延，接续继承之意．网友们太喜欢了！某网店用1000元购进吉祥物“巳升升”销售，过了一周时间，又用2400元购进吉祥物“巳升升”，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个的价格比第一次购进的价格贵了2元． (1)该网店第一次购进吉祥物“巳升升”多少个？ (2)若该网店两次购进的吉祥物“巳升升”按相同的标价进行销售，最后剩下的20个按标价的五折优惠销售．若两次购进的吉祥物“巳升升”全部售完，利润不低于950元，则每个吉祥物“巳升升”的标价至少是多少元？ 【题型9.和差倍分与分式方程】 【典例】元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为 ． 【跟踪专练2】某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【题型10.其他实际问题与分式方程】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【跟踪专练1】在某学校的读书活动中，一同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的，则乙班有学生 名． 【跟踪专练2】清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 1．解方程． (1)； (2)． 2．已知关于x的分式方程，若分式方程有增根，求m的值． 3．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．求人工每人每小时分拣多少件？ 4．列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 5.对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 6．若关于的方程无解，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09分式能与分式方程寒假预习讲义（3） · 快速入门：轻松分清 “分式方程” 和普通方程的区别，一眼识别谁是分式方程。 · 解锁解法：掌握 “去分母” 的核心思路，学会把分式方程变成你熟悉的一元一次方程，体验 “化繁为简” 的成就感。 · 避坑指南：提前搞懂 “增根” 是什么，为什么会出现，让你以后做题不掉坑。 · 实战预热：初步学会从行程、工程等实际问题里找到等量关系，尝试列出分式方程，提前感受 “用数学解决真实问题” 的乐趣。 · 埋下伏笔：对 “无解”“求参数” 这些进阶问题建立好奇心，带着疑问去上课，让听课效率翻倍。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.根据分式方程的解求参数值 4.分式方程无解问题 5.列分式方程 6.分式方式的实际应用 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.由方程解求参数值 4.分式方程无解问题 5.分式方程的列式 6.行程问题中的分式方程 7.工程问题中的分式方程 8.经济问题中的分式方程 9.和差倍分与分式方程 10.其他实际问题与分式方程 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.分式方程的定义】 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 举例：2，是分式方程；+1=3 不是分式方程（分母不含未知数）。 2.关键特征： (1)是方程（含有未知数的等式）。 (2)分母中必须含有未知数。 【知识点02.分式方程的解法】 1.核心思路：去分母，把分式方程转化为整式方程（一元一次方程）求解。 2.步骤： (1)找最简公分母：确定各分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，得到整式方程。 (3)解整式方程：解转化后的一元一次方程，得到未知数的值。 (4)检验：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原分式方程的解；若公分母为 0，则是增根，原分式方程无解。 3.增根的产生原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为 0，导致整式方程的解不满足原分式方程。 【知识点03.根据分式方程的解求参数值】 方法： 1.先解出分式方程（用含参数的式子表示解）。 2.根据题目对解的限制条件（如解为正数、负数、非零等），列出关于参数的不等式或方程。 3.结合增根的排除条件（解不能使最简公分母为 0），最终确定参数的取值范围或具体值。 【知识点04.分式方程无解问题】 1.两种情况导致无解： (1)整式方程本身无解：转化后的整式方程形如 0x=a（a0），此时整式方程无解，原分式方程也无解。 (2)整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解使原分式方程的最简公分母为 0，即产生增根，原分式方程无解。 2.解题步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程。 (2)分析整式方程无解的条件，或求出使公分母为 0 的增根，代入整式方程求参数。 【知识点05.列分式方程】 1.核心步骤： (1)审题：找出题目中的等量关系。 (2)设未知数：选择合适的未知量设为 x。 (3)列方程：根据等量关系，用含未知数的分式表示相关量，列出分式方程。 2.常见等量关系类型：行程、工程、经济、和差倍分等 【知识点06.分式方程实际应用】 一.行程问题 基本公式： 路程 = 速度 × 时间 s=vt 变形：v=​，t=. 常见等量关系： 1 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 2 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 3 不同方式行驶同一段路程，时间差相等 二、工程问题 基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 W=et 变形：e=​，t=​ 常见等量关系： 1 总工作量通常设为 1 2 各部分工作量之和 = 总工作量 3 合作效率 = 各单独效率之和 三、经济问题 核心公式： 利润 = 售价 - 成本 利润率 = ×100% 总价 = 单价 × 数量 常见等量关系：① 价格变化前后，总利润不变② 销量与单价成反比变化时，总销售额不变 四、和差倍分问题 常见等量关系： 1 A 是 B 的 n 倍 → A=nB 2 A 比 B 多 / 少 m → A=B±m 3 A 与 B 的比为 a:b → = 【题型1.分式方程的定义】 【典例】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程， 根据，可得，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程可化为. 故选：C 【跟踪专练1】下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程是分母中含有未知数的方程这一概念是解题的关键．根据分式方程的定义，判断每个方程是否为分式方程，即方程中是否含有分母且分母里含有未知数． 【详解】解：方程①，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程②，分母分别为、、，均不含有未知数，不是分式方程； 方程③，分母为和，含有未知数，是分式方程； 方程④，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程⑤，分母为和，是常数，不含有未知数，不是分式方程； 方程⑥，分母为2，不含有未知数，不是分式方程． 故答案为：①③④． 【跟踪专练2】岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 【题型2.分式方程的解法】 【典例】方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，先将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程并将的值代入分母检验． 【详解】解：， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解． 【跟踪专练1】解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 【跟踪专练2】若，如．按照上述运算法则，若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程，根据新定义运算得出，进而解方程，并检验，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【题型3.由方程解求参数值】 【典例】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可． 【详解】解：， ， ， 关于的分式方程的解为正数， 且，即， 且， 且， 故选：． 【跟踪专练1】若关于x的方程的解为，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 将代入方程进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：1． 【跟踪专练2】如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：解方程的过程中，因为把分式方程化为整式方程，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【详解】解：∵有正数解， ∴，则， ， 去分母，得，， 移项合并，得，， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：且， 故选：B． 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】如果关于x的方程无解，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的知识，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解分式方程，根据其无解，得出，即可得到答案． 【详解】方程去分母，得：， ∴， ∵关于x的方程无解， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2． 【跟踪专练1】若分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程是解题关键．把分式方程化为整式方程，先令分母求增根，最后把增根代入整式方程求出k． 【详解】解：， 去分母，得， ，解得， 代入整式方程得：， 解得． 故选：B． 【跟踪专练2】已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为 ． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了解分式方程，以及根据分式方程解的情况求参数． （1）将分式方程化为整式方程，根据此方程无解，建立等式求解，即可解题； （2）根据此方程的解为正数，建立不等式求解，并考虑无解的情况，即可解题． 【详解】解：（1） ， 若此方程无解，则，解得； （2）若此方程的解为正数，则，解得； ∵时，方程无解， ∴且． 故答案为：，且． 【题型5.分式方程的列式】 【典例】DeepSeek公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x-2）=1.2 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作1.2小时完成，可得出方程． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 【跟踪专练1】随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据快递员人数不变建立等量关系，根据快递员人数不变，原来总投递量除以每人投递量等于现在总投递量除以每人投递量，列出分式方程． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件， ∵原来总投递量为3600件，现在总投递量为4800件，由于快递员人数不变， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度________．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“________”表示的缺失条件为（   ） A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解方程所表示的意义是解题的关键．设原计划每天铺设管道米，由管道长为米，可知表示原计划铺设管道所需的天数，方程右边表示实际施工时每天铺设米（即比原计划增加了）所需的天数，方程左边比右边多4天，说明实际天数比原计划少4天（即提前4天），据此即可解答． 【详解】解：设原计划每天铺设管道米，可得方程， 可知题中用“________”表示的缺失条件为：比原计划增加了，结果提前4天完成任务， 故选：A． 【题型6.行程问题中的分式方程】 【典例】.八年级（）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，慢车的速度为 ． 【答案】 【分析】设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意列方程求解即可；本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴慢车的速度为， 故答案为：． 【跟踪专练1】2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里，根据甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，最终甲比乙早1小时到达，列分式方程即可． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里， 根据题意得． 故选：A． 【跟踪专练2】甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有 m． 【答案】1600 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据“结果甲同学比乙同学晚到”列出分式方程，求解并检验即可得到甲同学步行的速度，进而求出公交车所走的路程即可所求． 【详解】设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据题意，得 ， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意． 所以． 故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有． 故答案为：1600 【题型7.工程问题中的分式方程】 【典例】某公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 【跟踪专练1】“为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍……，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗．设甲每小时种植x棵花苗，则可得方程 根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应为 ． 【答案】乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据方程知，乙每小时种植棵花苗，则乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵，因此可补上缺失的条件． 【详解】解：由方程知，乙每小时种植棵花苗，则乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵， 故应补上条件：乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵； 故答案为：乙每小时种植花苗的棵数比甲多2棵． 【跟踪专练2】某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是，列分式方程求解即可，注意检验增根； （2）设应安排甲工程队工作天，则应安排乙工程队工作天，进而列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合实际． 答：甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是． （2）设应安排甲工程队工作天， 则应安排乙工程队工作天 根据题意得： 解得：． 的最小值是10． 答：至少应安排甲工程队工作10天． 【题型8.经济问题中的分式方程】 【典例】《哪吒之魔童闹海》的观影人数急剧攀升，带动了哪吒手办的销售．某商店分别用600元和1000元分两次购进某款哪吒的手办，第二次购进的数量比第一次多40个，且两次购买手办的进价相同．设商店第一次购进该款手办x个，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设商店第一次购进该款手办x个，则第二次购进该款手办个， 根据单价相等，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设商店第一次购进该款手办x个，则第二次购进该款手办个， 根据单价相等，得， 故选：C． 【跟踪专练1】某商店计划在今年的元旦购进若干件A，B两种纪念品．若花费480元购进的A种纪念品的数量比花费480元购进的B种纪念品的数量少10个，已知每件A种纪念品价格比每件B种纪念品价格多4元．求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元．设购买一件B种纪念品需x元，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用设购买一件种纪念品需元，则购买一件种纪念品需元，根据数量总价单价，结合花花费480元购进的A种纪念品的数量比花费480元购进的B种纪念品的数量少10个，即可得出关于的分式方程． 【详解】解：设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需元． 依题意，得 故答案为：． 【跟踪专练2】2025年春晚吉祥物“巳升升”一亮相就收获许多观众的喜爱，他憨态可掬的外表既蕴含满满的中式美好寓意，又暗藏很多创新巧思．蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，巳字又有子嗣绵延，接续继承之意．网友们太喜欢了！某网店用1000元购进吉祥物“巳升升”销售，过了一周时间，又用2400元购进吉祥物“巳升升”，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个的价格比第一次购进的价格贵了2元． (1)该网店第一次购进吉祥物“巳升升”多少个？ (2)若该网店两次购进的吉祥物“巳升升”按相同的标价进行销售，最后剩下的20个按标价的五折优惠销售．若两次购进的吉祥物“巳升升”全部售完，利润不低于950元，则每个吉祥物“巳升升”的标价至少是多少元？ 【答案】(1)个 (2)元 【分析】本题考查分式方程解应用题、一元一次不等式解应用题，读懂题意，由题中等量关系列方程、不等关系列不等式求解是解决问题的关键． （1）设第一次购进的价格为元，则第二次购进的价格为元，由第二次所购数量是第一次购进数量的2倍，列分式方程求解即可得到答案； （2）设每个吉祥物“巳升升”的标价是元，由（1）知第一次进价为元、第二次进价为元，进而得到两次购进吉祥物数量、总成本及总销售额，计算销售利润，从而得到不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一次购进的价格为元，则第二次购进的价格为元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 该网店第一次购进吉祥物“巳升升”个数为（个）； （2）解：设每个吉祥物“巳升升”的标价是元， 第一次购买吉祥物“巳升升”个，第二次购买吉祥物“巳升升”（个），则购进吉祥物总量为（个）， 第一次购买吉祥物花费元，第二次购买吉祥物花费元，则购进吉祥物总成本为（元）， 总销售额为元, 则， 解得， 答：每个吉祥物“巳升升”的标价至少是元． 【题型9.和差倍分与分式方程】 【典例】元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 【跟踪专练1】甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可 【详解】设甲摘个草莓时间为小时， 分钟等于小时， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【答案】(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元 (2)共有6种方案；87500元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出不等式的解集，用代数式表示出总费用，并分析费用何时最少． 【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， （元）； 答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元； （2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱， 则有：， 解得：， ∵种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵为正整数， ∴，，，，，，共6种方案； 设生产和两种防疫用品费用为元， 则有：，其中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元； 答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元． 【题型10.其他实际问题与分式方程】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【答案】D 【分析】先把3斗换算成30升，设可以换得粝米x升，再根据50单位的粟：30单位的粝米＝30升粟：x升粝米，列分式方程，求出x即可． 【详解】根据题意得：3斗＝30升， 设可以换得的粝米为x升， 则 ，      解得， 经检验：是原分式方程的解， 答：可以换得的粝米为18升． 故选：D． 【点睛】本题考查的是列分式方程解古代数学问题，弄清题意列出正确的方程是解题的关键．注意解分式方程必须要检验． 【跟踪专练1】在某学校的读书活动中，一同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的，则乙班有学生 名． 【答案】30 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙班有学生x名，则甲班有学生名，根据甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的建立方程求解即可． 【详解】解：设乙班有学生x名，则甲班有学生名， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙班有学生30名， 故答案为：30． 【跟踪专练2】清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 【答案】(1)每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶 (2)名 【分析】（）设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，根据题意列出方程即可求解； （）设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶； （2）解：设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名， 由题意得，， 解得， 答：最少安排名熟练采茶工人． 1．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 2．已知关于x的分式方程，若分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程求出，根据分式方程有增根得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母，得 解得， 分式方程有增根， ∴ ∴， 解得． 3．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．求人工每人每小时分拣多少件？ 【答案】人工每人每小时分拣60件快件． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程求解． 设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 依题意列方程：． 解得：， 经检验是原方程的解且有实际意义 所以原方程的解为 答：人工每人每小时分拣60件快件． 4．列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】(1)一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片 (2)a的值为5 【分析】本题考查一元一次方程的应用及分式方程的应用，读清题意并根据对应的等量关系列出方程是解此题的关键． （1）通过设未知数，根据采茶总量列出一元一次方程求解工人和机器人每分钟采茶片数； （2）根据提高后的采茶速度和时间关系列出分式方程求解a的值． 【详解】（1）解：设一名工人每分钟采茶x片，则一台机器人每分钟采茶片， ， ， ， 则机器人每分钟采茶：（片）， 即一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片． （2）解：设机器人提高后每分钟采茶片，工人提高后每分钟采茶片， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即a的值为5． 5.对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ∴． 6．若关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，分式方程无解的情况有两种，一种情况是化成的整式方程无解；另一种情况是求出的解是原分式方程的增根． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当，时， ，此方程无解， 原分式方程无解，符合题意； 当时， 若原方程有增根，则它的增根为， ， 解得：， 综上，m的值为或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $