专题03 平方根与立方根的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题03 平方根与立方根的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、复合求平方根与立方根 类型二、利用算术平方根的非负性解题 类型三、平方根与立方根的综合问题 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 类型五、与立方根有关的规律探索题 压轴专练 类型一、复合求平方根与立方根 方法总结 1. 分别计算：先单独计算平方根与立方根的值，明确各自的数学定义和结果（立方根可为负）。 2. 按序复合：按运算顺序进行复合计算，注意运算优先级（如先开方再乘除，或按括号顺序）。 解题技巧 1. 化简根号：遇到非完全平方数/立方数时，先化简根式，常能简化后续运算。 2. 符号判断：特别注意立方根下的符号，负数有立方根，避免与平方根的非负性混淆。 例1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中） ；的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的计算，根据立方根和平方根的定义，直接计算的值，以及先计算的值再求其立方根即可，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 【详解】解：由； ∵， ∴的立方根是，即的立方根是， 故答案为：，． 【变式1-1】（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）的立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、平方根及立方根，根据算术平方根、平方根及立方根的概念求解即可． 【详解】解∶， ，则9的立方根为； ， ，则4的平方根为． 故答案为，． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川内江·期中）的平方根是 ， 的立方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，解题的关键是先化简已知根式，再结合平方根、立方根的定义求解． 先计算的结果，再求该结果的平方根；先计算的结果，再求该结果的立方根． 【详解】解：①化简， 因为4的平方根是，所以的平方根是； ②化简， 因为8的立方根是2，所以的立方根是2． 故答案为：①；②． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东青岛·月考）的算术平方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根和求一个数的立方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：的算术平方根是，的平方根是，的立方根是， 故答案为：；；． 类型二、利用算术平方根的非负性解题 方法总结 1. 应用原理：利用算术平方根的定义（≥ 0，其中a ≥ 0）以及“几个非负数之和为0，则每个非负数均为0”的性质。 2. 建立方程：将问题转化为“非负数之和等于0”的形式，从而列出方程组求解。 解题技巧 1. 识别结构：见到“ + = 0”或“+ = 0”等形式，立刻想到利用非负性。 2. 整体处理：若根号下为复杂代数式，先整体判断其非负性，再结合其他非负项列式。 例2．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，满足，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质，平方项和算术平方根均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的值． 本题考查了算术平方根和完全平方式的非负性，掌握非负数的性质并能准确求解字母的值是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ； ∴ ． 故答案为：1． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）若实数a和b满足，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的被开方数的非负性是解题的关键． 根据平方根的定义，被开方数必须非负，由此确定a的值，再代入方程求b，最后计算的算术平方根 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 【变式2-2】（25-26八年级上·四川巴中·期中）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，平方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，然后计算，最后求平方根． 【详解】解：由二次根式的定义，被开方数必须非负， 即且， 解得， 代入原方程，， 即， 解得． 则， ∴的平方根为． 故答案为：． 类型三、平方根与立方根的综合问题 方法总结 1. 明确定义：严格区分平方根（±，a≥0）与立方根（，a为任意实数）的定义与性质。 2. 分类讨论：根据所求对象（如平方根或立方根本身，或其整数部分等），选择对应公式与解法。 解题技巧 1. 符号优先：首先确定题目所求结果的符号，特别是立方根需保留原数符号。 2. 估算定界：对于求整数部分或比较大小的问题，先估算被开方数介于哪两个完全平方数或立方数之间。 例3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 【变式3-1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 【变式3-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 【变式3-3】（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知的平方根是，的算术平方根是3． (1)求m，n的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，得到，，求出m，n的值即可；、 （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ， 的算术平方根为3， ， ， ． 答：m的值为5，n的值为1． （2）解：由（1）得 的立方根为2． 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 方法总结 1. 观察特例：从前几项具体数值中，观察被开方数与结果的变化规律，注意整数部分和小数部分。 2. 抽象归纳：将观察到的规律（如周期性、递推关系等）用含n的代数式（通项公式）表示。 解题技巧 1. 拆分结构：将复杂的被开方数拆分为“完全平方数+余项”的形式，便于分析结果。 2. 对比验证：用归纳出的规律计算后续1-2项，验证正确性，再用于求值或证明。 例4．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10   （2）右  1   （3）①22.4  ②25 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． 【变式4-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 【变式4-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 【变式4-3】（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 类型五、与立方根有关的规律探索题 方法总结 1. 计算定基：准确计算出前若干项立方根的具体数值（可保留根号），观察结果的数字特征或结构。 2. 归纳通式：分析序号n与被开方数、结果之间的关系，用含n的代数式表达通项或周期性规律。 解题技巧 1. 关注立方数：优先检查被开方数是否为邻近完全立方数的加减变形（如n³±1, n³±n等）。 2. 符号追踪：若涉及正负交替规律，单独分析符号因子（如(-1)n），并与数值部分结合。 例5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 【变式5-1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 【变式5-2】（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 【变式5-3】（25-26八年级上·广东河源·月考）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东东营·月考）的平方根是（   ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的平方根，先化简，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是2或； 故选D． 2．（25-26八年级上·北京延庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（25-26八年级上·四川内江·期中）若x，y为实数，且，则的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”． 根据绝对值和算术平方根的非负性，由和为0推出每个部分为0，求出、后计算代数式的值． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山西临汾·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根与被开方数的关系，掌握这个是解题的关键． 根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 5．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·甘肃酒泉·月考）的算术平方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据算术平方根，平方根及立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：，其算术平方根为； ，其平方根为； ，其立方根为； 故答案为：；；． 7．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 8．（24-25七年级下·天津南开·月考）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根等知识．先根据与互为相反数，求出，进而得到，即可求出的算术平方根是． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 9．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据“完美实数”的定义得出或1，即可求出m的值． 【详解】解：若是“完美实数”， 则或1， 解得或， 故答案为：或． 10．（25-26七年级上·上海·月考）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值∶① ；② ；③ ；④ ． 观察计算的结果，由发现的规律得出 (用含 的代数式表示)． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，规律探索，掌握二次根式的性质和化简方法，发现代数式所呈现的规律是正确解答的关键．先计算出四个代数式的值，发现规律后进行求解即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的平方根是，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3． ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 12．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及平方根的计算，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式组，通过解不等式组求出的值； （2）将（1）中求出的值代入原式，求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根． 【详解】（1）解：∵二次根式的被开方数需非负， ∴​， 解得． （2）解：把，代入原式得， 即， 解得 ∴， 的平方根是， 即的平方根是． 13．（2025七年级下·福建·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)1013 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 14．（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 15．（24-25七年级下·吉林白城·月考）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平方根与立方根的五类综合题型 月录 典例详解 类型一、复合求平方根与立方根 类型二、利用算术平方根的非负性解题 类型三、平方根与立方根的综合问题 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 类型五、与立方根有关的规律探索题 压轴专练 典例详解 类型一、复合求平方根与立方根 方法总结 1.分别计算：先单独计算平方根与立方根的值，明确各自的数学定义和结果（立方根可为负）。 2.按序复合：按运算顺序进行复合计算，注意运算优先级（如先开方再乘除，或按括号顺序）。 解题技巧 1.化简根号：遇到非完全平方数/立方数时，先化简根式，常能简化后续运算。 2.符号判断：特别注意立方根下的符号，负数有立方根，避免与平方根的非负性混淆。 例1.(25-26七年级上浙江杭州期中)64=；√⑧1的立方根是 【变式1-1】(25-26八年级上·甘肃张掖期中)⑧1的立方根是，√6的平方根是 【变式1-2】(25-26八年级上·四川内江期中)√16的平方根是 64的立方根是 【变式1-3】(25-26八年级上山东青岛月考)√49的算术平方根是，⑧1的平方根是， -V64 的立方根是」 类型二、利用算术平方根的非负性解题 方法总结 1. 应用原理：利用算术平方根的定义（√>≥0，其中a≥0）以及“几个非负数之和为0，则每个非 1/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 负数均为0”的性质。 2.建立方程：将问题转化为“非负数之和等于0”的形式，从而列出方程组求解。 解题技巧 1. 识别结构：见到“A+√B=0”或“A+B=0”等形式，立刻想到利用非负性。 2. 整体处理：若根号下为复杂代数式，先整体判断其非负性，再结合其他非负项列式。 例2.(2026七年级下.全国专题练习)已知a,b满足(a+1)2+√2-b=0,则a+b的值等于」 【变式2-1】(25-26八年级上四川眉山期中)若实数a和b满足√4-a+√a-4=b+2,则a-b的算术平 方根是， 【变式2-2】(25-26八年级上四川巴中期中)若m+1+√2n-1=0,则m+6n的平方根为」 【变式2-3】(25-26八年级上：安微宿州期中)己知√a-17+27-a=b+8,则a+b的平方根是」 类型三、平方根与立方根的综合问题 方法总结 1.明确定义：严格区分平方根（±√，a≥0）与立方根（√，a为任意实数）的定义与性质。 2.分类讨论：根据所求对象（如平方根或立方根本身，或其整数部分等），选择对应公式与解法。 解题技巧 1.符号优先：首先确定题目所求结果的符号，特别是立方根需保留原数符号。 2.估算定界：对于求整数部分或比较大小的问题，先估算被开方数介于哪两个完全平方数或立方数之间。 例3.(25-26八年级上江苏连云港期中)已知5a+2的立方根是3，b-1的算术平方根是4. (1)求a、b的值： (2)求4a+b-1的平方根. 【变式3-1】(25-26八年级上·吉林长春期中)已知正数x的两个平方根分别是2a-1和a+7,负数y的立 方根与它本身相同， (I)求a,x,y的值 (2)求x-11y的算术平方根. 【变式3-2】(25-26八年级上.宁夏银川期中)已知3x-5的算术平方根是5,1-2y的立方根是-3. (1)求x,y的值 (2)求Vx+2y-2的平方根. 【变式3-3】(25-26八年级上江西抚州期末)已知m-1的平方根是±2，m+n+3的算术平方根是3. 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m,n的值； (2)求m+3n的立方根. 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 方法总结 1.观察特例：从前几项具体数值中，观察被开方数与结果的变化规律，注意整数部分和小数部分。 2.抽象归纳：将观察到的规律（如周期性、递推关系等）用含n的代数式（通项公式）表示。 解题技巧 1.拆分结构：将复杂的被开方数拆分为“完全平方数+余项”的形式，便于分析结果。 2.对比验证：用归纳出的规律计算后续1-2项，验证正确性，再用于求值或证明。 例4.(25-26七年级下·全国·课后作业)(1)观察发现： a(a>0) 0.0001 0.01 100 10000 √a 0.01 100 表格中x= (2)归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位 (3)规律运用： ①已知5≈2.24，则√500≈ ②已知√2m≈7.07，√5000≈70.7，则m= 【变式4-1】(25-26七年级下·全国·课后作业)[核心素闲【实践与探究】 )计算：尽0一矿到 【归纳与应用】 (2)观察(1)中的等式，发现其中的规律，并猜想√a2与Q有怎样的关系，请用数学式子表示出来； (3)利用你得到的规律，计算： ①若x<2,则Vx-22=- ②V3.14-π)2- 【变式4-2】(25-26七年级上·浙江绍兴期中)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①√1×5+4=√5=3，②√2x6+4=V16=4,③V3×7+4=√25=5，… (1)观察算式规律，计算√4×8+4，√20×24+4的值. (②)用含正整数n的式子表示上述算式的规律. (3)根据规律，求1x5+4-√2×6+4+√3x7+4-√4×8+4+.…+√2023×2027+4的值 【变式4-3】(2025七年级上全国专题练习)先观察下列等式，再回答问题：第一个等式 236 ，1,1 (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式： (②)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式(n为正整数)； (3)对于任何实数a,[a表示不超过a的最大整数，如[3)=3，「V5=2,计算： 11 +2京+1+2京+37+ 32 42+…+ 20232 20242 的值 类型五、与立方根有关的规律探索题 方法总结 1.计算定基：准确计算出前若干项立方根的具体数值（可保留根号），观察结果的数字特征或结构。 2.归纳通式：分析序号n与被开方数、结果之间的关系，用含n的代数式表达通项或周期性规律。 解题技巧 1.关注立方数：优先检查被开方数是否为邻近完全立方数的加减变形（如n士1，n±n等)。 2.符号追踪：若涉及正负交替规律，单独分析符号因子（如(-1）)，并与数值部分结合。 例5.(25-26八年级上·河北石家庄·期中)观察下表，并用所得的规律解决问题： a 0.001 1000 1000000 a 0.1 10 100 ()发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动 位，其立方根的小数点向右（或左）移动 位； (2)应用：①已知0.000456≈0.07697，则456≈ ②已知3000≈14.42，则3≈ (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根.已知：√6≈2.449，√60≈7.746，计算√0.54的值. 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-1】(25-26八年级上·河南郑州期中)观察如表，并解答下列问题. 0.000001 0.001 1 1000 1000000 a 0.01 0.1 100 【规律总结】 (1)①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左） 移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左)移动位： 【规律应用】 (2)已知0.3≈0.6694,3≈1.442,30≈3.107. ①300≈ ； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 0.000001 0.001 1 1000 1000000 a 0.01 10 100 【变式5-2】(25-26八年级上山西运城期中)阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告。 以-50653的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000,1000<50653<1000000，所以50653是两位数： ②其次观察了立方数：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,6=216,73=343,83=512,93=729.猜想个位数 字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为3=27,43=64，所以50653的十位数字应为3，于是 猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到-50653=-37，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个 数的立方根也互为相反数；反之，也成立. 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题 (1)3-195112= (2)若2x-1+5=0,则x= 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)已知x-2+2=x,求x的值， 【变式5-3】(25-26八年级上·广东河源·月考)(1)【发现】 ①近+1=1+(-)=0： ②8+-8=2-2=0； ③1000+-1000=10-10=0： 1 ④ 64+ 111=0: 6444 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式：一 (2)【归纳】 等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数Q,b,若 ā+6=0，则；（写出a与b之间的关系式） (3)【应用】 根据(2)中所归纳的结论，解决下列问题： ①若3-2x+x+6=0,求V4x: ②若4a2-10+6-3b=0,且√4-b=0,求a的值. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上山东东营月考)√16的平方根是() A.4 B.4或-4 C.2 D.2或-2 2.(25-26八年级上北京延庆·期末)下列计算正确的是() A.V-22=-2B.V4=2 C.(3-3 D.±9=3 2025 3.(25-26八年级上四川内江期中)若x,y为实数，且x+1川+-=0，则x 的值是() y 6/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.-1 D.-2025 4.(25-26八年级上山西临汾月考)已知0.528≈0.8082,5.28≈1.741,352.8≈3.752，则52800≈() A.80.82 B.8.082 C.17.41 D.37.52 5.(25-26八年级上山东枣庄期中)将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是√万，那 么第101行第100列是() 0 1√23 √87√6√52 3√0T√12√13√14√15 2423222120√19√18174 ●0e●0。 A.V10100 B.V10101 C.V10102 D.10103 二、填空题 6.(25-26八年级上甘肃酒泉·月考)√36的算术平方根是_，√16的平方根是一， √64的立方根是 7.(25-26八年级上·上海期中)已知√2.14=1.463，√21.4=4.626,0.214=0.5981,2.14=1.289，则 214的立方根是 8.(24-25七年级下·天津南开·月考)如果√2x-6与√2+y互为相反数，那么x2+y的算术平方根 是」 9.(25-26八年级上·甘肃张掖月考)若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”. 若√5+m是“完美实数”，则m的值为 10.(25-26七年级上上海月考)请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①√厅；②√P+2；③ √3+2+33；④V3+23+3+43·观察计算的结果，由发现的规律得出√3+2+…+n3=_(用 含n的代数式表示). 三、解答题 11.(24-25七年级下·陕西商洛·期末)已知3a+1的平方根是±4,2b-1的立方根是3. (I)求a、b的值； 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求a+2b的平方根。 12.(25-26七年级下·全国.单元测试)已知√a-17+217-a=b+8. (1)求a的值： (2)求a2-b2的平方根. 13.（2025七年级下·福建·专题练习)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算√5×9+4=；V19×23+4=_ (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律： (3)计算：V1×5+4-√2×6+4+V3x7+4-√4x8+4+…+√2021×2025+4. 14.(24-25八年级上福建宁德·期中)探究发散： ()完成下列填空 ①V3=3,②V0.5=0.5,③V62= ④V0=0, @-@ (2)根据上述计算结果，回答：√a2一定等于α吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来： (3)利用你发现的规律完成下题：有理数α、b、c在数轴上的位置如图所示. 化简：Vb-c2-la+b+a+c 15.(24-25七年级下·吉林白城月考)探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： a 0.0001 0.01 100 10000 Ja 0.01 100 (1)表格中x= (②)从表格中探究a与√ā数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知√10≈3.16，则V1000≈ ②已知√3.24=1.8，若√a=180,则a= (3)拓展： 8/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①已知=1.587，若=-0.1587，用含x的代数式表示y.则y=; ②已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140= ③已知12≈2.289，若2=0.2289，则z= 9/9