第2章 圆锥曲线（复习讲义）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

第2章 圆锥曲线（复习讲义） 1.熟练掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质，明确各曲线核心参数的意义与关系；能灵活进行方程互化、参数求解，建立知识间的内在关联，形成完整的知识网络。 2.掌握坐标法、数形结合、分类讨论等思想方法，能运用这些方法解决直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，以及轨迹方程求解、最值与范围等综合问题，提升数学运算、逻辑推理和直观想象素养。 3.能综合运用圆与圆锥曲线的知识解决实际问题和跨章节综合题，理解解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，学会从几何特征到代数表示的转化，培养分析和解决复杂数学问题的能力。 知识点01 ：圆 1.标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程是. 2.点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 3.圆的一般方程 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径. 4.直线与圆的位置关系及判断 位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 判定方法：（1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： ①d>r⇔圆与直线相离； ②d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； ③⇔直线与圆相离. 5.求切线方程的常用方法 （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条. 6.利用直线与圆的位置关系求范围 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想． （2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 7.圆与圆位置关系及判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 知识点02：椭圆 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 知识点03：双曲线 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 知识点04：抛物线 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 题型一 求圆的方程 【例1-1】（25-26高二上·上海·期中）已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为 ． 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆M经过两点，且圆心M在直线上. (1)求圆M的标准方程； (2)若直线过点，且被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期中）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线l的方程为．过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点． (1)求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； (2)记（1）中的公共点为P，求证：P、M、、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程． 题型二 直线与圆的位置关系 【例2-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．与圆的位置关系不确定 【例2-2】（24-25高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 . 【例2-3】（25-26高二上·上海·期中）已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m，    (1)建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； (2)在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 【变式2-3】（25-26高二上·上海·月考）已知圆，过坐标原点的直线交圆于 两点，是圆心在直线上的投影，当直线绕转动时，点的轨迹是曲线. (1)求圆心的坐标； (2)设点，点在曲线上. 求的最小值； (3)若直线与曲线恰有一个公共点，求实数的取值范围. 题型三 圆与圆的位置关系 【例3-1】（25-26高二上·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【例3-2】（25-26高二上·上海·期末）圆与圆相交，则的取值范围为 . 【例3-3】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线被圆、圆、圆所截得弦长均等于，求出的值. 【变式3-1】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式3-2】（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是 . 【变式3-3】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 题型四 求椭圆的标准方程 【例4-2】（25-26高二上·上海·期末）椭圆上有一点在抛物线的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 【例4-2】（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为 (1)求的标准方程； (2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【变式4-1】（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同两点，且直线的斜率之积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式4-2】（25-26高三上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右顶点分别为､，右焦点为，且椭圆过点､，过点的直线与椭圆交于､两点（点在轴的上方）.      (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)设直线､的斜率分别为､，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式4-3】（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点.是E的左、右焦点.过的直线与E交于两点. (1)求E的标准方程； (2)若的内切圆半径为，求的方程； (3)点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由. 题型五 求双曲线的标准方程 【例5-1】（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【例5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，直线交双曲线右支于不同的两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过，求的取值范围； (3)若线段的垂直平分线过点，求的取值范围； 【变式5-1】（25-26高三上·上海·月考）如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q. (1)求双曲线E的标准方程； (2)当时，求t的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【变式5-2】（24-25高二下·上海·月考）已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最大值； (3)是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 【变式5-3】（24-25高三上·上海宝山·月考）已知双曲线的虚轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，是双曲线上的动点，求的最小值； (3)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 题型六 求抛物线标准方程 【例6-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【例6-2】（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线， (1)若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； (2)若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 【例6-3】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 【变式6-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为焦点的抛物线的标准方程； (2)已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； (3)设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 【变式6-2】（24-25高二上·上海·月考）已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点， (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值. 【变式6-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线、，其中A、B为切点，设直线、的斜率分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若点P的纵坐标为1，计算的值； (3)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 题型七 直线与圆锥曲线综合 【例7-1】（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点.    (1)若，求的值； (2)求面积的最大值. 【例7-2】（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线，的离心率为，长轴长为．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，、是双曲线上两点，点也在双曲线上，直线、与轴分别交于点、，点在直线上．若、关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【例7-3】（25-26高二上·上海·期末）如图所示，已知抛物线：，点是x轴正半轴上一点，过T的直线、分别与抛物线交于点、和点、，其中、在轴上方且在右侧，、在轴下方.    (1)若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标； (2)若直线的斜率为2且，求实数的值和的面积； (3)分别记、的面积为、，直线、的斜率为、.若且，求证：垂直于轴. 【变式7-1】（2025·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】（2025·上海静安·一模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 【变式7-3】（25-26高二上·上海松江·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 题型八 圆锥曲线新定义 【例8-1】（25-26高二上·上海徐汇·月考）新定义：在直角三角形中，直角边与斜边之差的绝对值中较小的一个称为该直角三角形的“正减值”；直角三角形两直角边之差的绝对值称为该直角三角形的“余减值”. (1)求证：当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； (2)设某直角三角形正减值的大小为，余减值的大小为，试判断“”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的什么条件并说明理由； (3)如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，，请选择图中任意几点连接（不添加点），构造出两个直角三角形，满足其中一个直角三角形的正减值与另一个直角三角形的余减值相同并说明理由. 【例8-2】（25-26高二上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． (1)判断点是否被直线分隔： (2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围 (3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 【变式8-1】（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求“共轭点对”中点所在直线的方程； (3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【变式8-2】（24-25高二下·上海杨浦·月考）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【变式8-3】（25-26高二上·上海松江·期中）由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比；如图1，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为A，B的椭圆；如图2，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为，的椭圆；若与相似，则称椭圆，是“相似椭圆”，三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”；若是，求出相似比；若不是，请说明理由，并找出椭圆的一个“相似椭圆”； (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (3)若椭圆与椭圆相似，相似比是，直线与椭圆，交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 二、填空题 4．（25-26高二上·上海闵行·期末）椭圆的长轴长为 . 5．（25-26高二上·上海浦东新·期末）抛物线的焦点坐标为 . 6．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 . 7．（25-26高二上·上海奉贤·期末）椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为 . 8．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为 ． 9．（25-26高二上·上海浦东新·月考）三角形三边长为4，6，8，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ． 10．（25-26高二上·上海·期末）已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是 . 11．（25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于 . 三、解答题 12．（25-26高二上·上海松江·期末）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 13．（24-25高二下·上海浦东新·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 14．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 15．（24-25高二下·上海·月考）已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025·上海徐汇·一模）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知抛物线，若第一象限的点、在抛物线上，抛物线焦点为，，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海金山·期末）如图，在等腰梯形中，为线段上的一点，以为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（   ） A．1.7 B．2.1 C．2.5 D．2.9 4．（25-26高二上·上海·期末）已知曲线，点为曲线上一动点，有如下两个命题：①点到直线的距离存在最小值；②点到直线的距离存在最小值； 则下列选项正确的是（    ） A．命题①、②都错误 B．命题①、②都正确 C．命题①正确、命题②错误 D．命题①错误、命题②正确 二、填空题 5．（25-26高二上·上海浦东新·月考）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 ． 6．（25-26高二上·上海·期末）设，已知.若对圆上任意一点，均为锐角，则的取值范围是 . 7．（25-26高二上·上海·期末）已知、分别是双曲线：（，）的左、右焦点，点、分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为 . 8．（25-26高二上·上海·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小.现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 .    9．（25-26高二上·上海·期末）设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则 ． 三、解答题 10．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.将在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线记为曲线. (1)直接写出抛物线和圆的方程； (2)设直线与曲线有不同于点的两个公共点、，且，求的值； (3)若过曲线上的动点（）的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点的右侧，求的最大值，并求取得最大值时点、的坐标. 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 12．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为 (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)如图，当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，求证曲线是椭圆，并求其离心率； (3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球､侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，求的最大值. 13．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为2，点是上位于第一象限内的一点． (1)求椭圆的方程； (2)设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标； (3)设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 14．（25-26高二上·上海徐汇·月考）如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为.已知点Q为双曲线右支上的一点，，且. (1)求：双曲线的离心率e； (2)若，，的面积满足，求：的值； (3)斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 15．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆锥曲线（复习讲义） 1.熟练掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质，明确各曲线核心参数的意义与关系；能灵活进行方程互化、参数求解，建立知识间的内在关联，形成完整的知识网络。 2.掌握坐标法、数形结合、分类讨论等思想方法，能运用这些方法解决直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，以及轨迹方程求解、最值与范围等综合问题，提升数学运算、逻辑推理和直观想象素养。 3.能综合运用圆与圆锥曲线的知识解决实际问题和跨章节综合题，理解解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，学会从几何特征到代数表示的转化，培养分析和解决复杂数学问题的能力。 知识点01 ：圆 1.标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程是. 2.点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 3.圆的一般方程 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径. 4.直线与圆的位置关系及判断 位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 判定方法：（1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： ①d>r⇔圆与直线相离； ②d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； ③⇔直线与圆相离. 5.求切线方程的常用方法 （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条. 6.利用直线与圆的位置关系求范围 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想． （2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 7.圆与圆位置关系及判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 知识点02：椭圆 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 知识点03：双曲线 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 知识点04：抛物线 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 题型一 求圆的方程 【例1-1】（25-26高二上·上海·期中）已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的标准方程为，， 由题意可得，解得， 故圆的标准方程为， 故答案为： 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆M经过两点，且圆心M在直线上. (1)求圆M的标准方程； (2)若直线过点，且被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 【详解】（1）设圆M的方程为：， 由题意得，解得， 圆M的标准方程为； （2）由（1）可知圆的圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线， 由被圆截得的弦长为，可得，则， 解得，所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 【详解】（1）圆的方程：， 其中恒成立，圆心为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 解得或， 所以圆的方程为或. （2）证明：圆的方程即：， 联立方程组：可得或， 则圆恒过定点和. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为，则 ，解得， ∴圆的一般方程为. （2）    由（1）得圆的圆心为，半径，圆半径为. 设，则，且的中点在直线上， ∴，解得, ∴圆的标准方程为. 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期中）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线l的方程为．过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点． (1)求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； (2)记（1）中的公共点为P，求证：P、M、、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程． 【详解】（1）联立Γ与l的方程， 得，该方程仅有一解． 故Γ与l有且仅有一个公共点． （2）依题意，直线的方程为， 联立椭圆可得，即， 于是，，，． 设圆的方程为，代入、P、M，可得： ，解得， 解得，，，此时圆方程为， 将点代入上述方程，得， 所以点N也在此圆上，故P、M，，N四点共圆． 题型二 直线与圆的位置关系 【例2-1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．与圆的位置关系不确定 【答案】B 【详解】因为的圆心为，半径为， 由直线与圆相离可知，圆心到直线的距离大于半径，即， 得到，所以点在圆内， 故选：B. 【例2-2】（24-25高二上·上海·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知：直线过定点 ，    曲线是以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得， 结合图像可知，当 时，直线 和曲线恰有两个交点. 故答案为：. 【例2-3】（25-26高二上·上海·期中）已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【详解】（1）圆的圆心为，半径为4， 关于直线对称点为， 圆关于直线的对称圆的方程为； （2）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时圆心到的距离为4，等于半径，故满足要求； 当过点的直线斜率存在时，设为， 由题意得，解得， 故直线方程为，即， 综上，切线方程为或. 【变式2-1】（25-26高二上·上海·期中）已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 【详解】（1）由可得， 故且，故，故直线恒过定点， 的圆心为，半径为， 则关于对称的点为， 故圆关于点对称的圆的方程为， （2）要使存在实数，使得直线与圆相离，则定点在圆外， 且，解得 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m，    (1)建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； (2)在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 【详解】（1）构建如下直角坐标系，则，，，    设所在圆方程为且， ，解得， 所以圆弧所在圆的方程，. （2）由题设知：，则，且在圆弧上， 所以，可得，故的长度为米. 【变式2-3】（25-26高二上·上海·月考）已知圆，过坐标原点的直线交圆于 两点，是圆心在直线上的投影，当直线绕转动时，点的轨迹是曲线. (1)求圆心的坐标； (2)设点，点在曲线上. 求的最小值； (3)若直线与曲线恰有一个公共点，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：由圆，可化为， 所以圆的圆心坐标为. （2）解：因为是圆心在直线上的投影，所以， 所以点的轨迹为以为直径的圆在圆的一端圆弧， 可得圆心坐标为，半径为，所以点的轨迹方程为， 设，点与间的距离为， 由圆的性质，可得的最小值为. （3）解：联立方程组，解得，即， 由（2）知：曲线的方程为且， 可得曲线为一段圆弧，如图所示，且圆心为，半径为， 因为直线与全只有一个公共点， ②当直线与曲线相切时，则满足， 解得或（舍去）； ②联立方程组 当直线过点时，可得， 当直线过点时，可得， 当直线介于直线与之间时，此时满足题意，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 题型三 圆与圆的位置关系 【例3-1】（25-26高二上·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 【例3-2】（25-26高二上·上海·期末）圆与圆相交，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由的圆心，半径为， 的圆心，半径为， 所以圆心距为， 因为圆与圆相交，所以， 即，则得， 又，所以解得：， 故答案为：. 【例3-3】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线被圆、圆、圆所截得弦长均等于，求出的值. 【详解】（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，.    【变式3-1】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆无交点，所以两圆外离或内含， 若外离：； 若内含：，或（舍）， 综上：. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 【详解】（1）由圆的方程可得两圆的圆心和半径分别为， 则， 又因为圆与圆相交，所以， 解得， 所以r的取值范围为； （2）由，消去得， ，解得， 设，则有， 所以， 由， 整理得， 又因，则可得； （3）设，，因,则， 因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 则点到直线的距离与点到直线的距离相等， 即， 依题意，对无穷多的成立， 所以或， 解得或， 即满足条件的点P的坐标有或. 题型四 求椭圆的标准方程 【例4-2】（25-26高二上·上海·期末）椭圆上有一点在抛物线的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在抛物线上，过作准线的垂线，垂足为，求的最小值． 【详解】（1）抛物线的准线的方程为：. 因为点在抛物线的准线上，所以，解得. 故抛物线方程为，焦点为. 因为抛物线的焦点也是椭圆焦点，所以. 因为点在椭圆上，所以， 又，所以. 整理得，即， 解得或（舍去），所以. 故椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，抛物线方程为，准线方程为，焦点.    根据抛物线的定义可知，，则. 根据几何性质，当，，三点共线时，取得最小值，即最小值为. 已知，， 根据两点间距离公式可得，， 因此的最小值为. 【例4-2】（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为 (1)求的标准方程； (2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【详解】（1）由题意得： ， 所以，则 ， 所以的标准方程为： （2）由题意设 联立，消去 得， 则， 则， 可得， 又直线与轴的交点为 ，且，则， 故， 整理得， 解得（负值舍去）.    【变式4-1】（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同两点，且直线的斜率之积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 则依题意有，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为， 由消去，得， 解得. 因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为， 同理可得， 故直线的斜率 当为直角三角形时，只有或， 于是或. 若，由，可得，从而； 若，由，可得，从而. 所以存在，直线的斜率为． （3）由（2）可知，直线l的斜率， 所以直线l的方程为， 即， 所以动直线l恒过定点． 【变式4-2】（25-26高三上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右顶点分别为､，右焦点为，且椭圆过点､，过点的直线与椭圆交于､两点（点在轴的上方）.      (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)设直线､的斜率分别为､，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为椭圆过点､，则有，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）知，,所以 因为，所以，则即， 即. 又点在上，将代入，解得， 又点在轴的上方，所以点的坐标为 （3）假设存在常数，使得. 由题意可设直线的方程为，点，且. 与联立得，，则. 又因为, 所以即. 所以存在常数，使得 【变式4-3】（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点.是E的左、右焦点.过的直线与E交于两点. (1)求E的标准方程； (2)若的内切圆半径为，求的方程； (3)点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由. 【详解】（1）由题意，解得， 则E的标准方程为. （2）由，且， 可得（其中为到直线的距离）. ，设，由，解得， 故或. （3）设，则， 将代入椭圆方程得， 所以， 直线的方程为， 令，得， 代入直线方程以及韦达定理可得， 即直线过定点， 面积， 当且仅当时取等号，故的最大值为. 题型五 求双曲线的标准方程 【例5-1】（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. （2）假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 【例5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，直线交双曲线右支于不同的两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过，求的取值范围； (3)若线段的垂直平分线过点，求的取值范围； 【详解】（1）点在上，，又，， 解得：，，， 双曲线的方程为：. （2）过点，，设，， 由得：， 与双曲线右支交于不同的两点， ，解得：，即的取值范围为. （3）设，，线段中点， 由得：， ，，，， ，， 与双曲线右支交于两点，， 线段垂直平分线所在直线斜率为，方程为， 又该直线过点，，整理可得：， 由得：，解得：或； 又，； ，，； 综上所述：，即的取值范围为. 【变式5-1】（25-26高三上·上海·月考）如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q. (1)求双曲线E的标准方程； (2)当时，求t的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【详解】（1）因为实轴长为4，则，所以， 因为离心率为，所以， 所以， 所以双曲线E的标准方程为 （2）设，由题意可知，故可设直线BC方程为， 联立，得， ， 解得， 由韦达定理得， 所以， 当时， 因为，所以， 因为，即或， 所以或，即t的取值范围为. （3）当时，由（2）得，，， 因为， 所以， 所以，整理的， 又， 所以， ， 因为，所以，， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以，满足题意， 综上，的最小值为. 【变式5-2】（24-25高二下·上海·月考）已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最大值； (3)是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）    抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为10. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得， 又，所以不存在. 因此，不存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 【变式5-3】（24-25高三上·上海宝山·月考）已知双曲线的虚轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，是双曲线上的动点，求的最小值； (3)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 【详解】（1）由题意可知，又渐近线方程为，所以， 易知双曲线的标准方程为. （2）设，， 因为或，对称轴为，所以当时取得最小值1. （3）设，，，，联立方程 得， ， 且，， 由，，三点共线得①， 由得，即②，由①②解得. 由可知，四边形是平行四边形， 所以，， ， 所以， 令，，则，令， 则， 所以在上单调递减，上单调递增，所以， 所以，当且仅当，即时取等号. 题型六 求抛物线标准方程 【例6-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 【例6-2】（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线， (1)若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； (2)若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为1， 所以， 故抛物线的标准方程为. （2）因为， 所以抛物线方程为，焦点坐标为 又因为直线过焦点且斜率为2. 所以直线的方程为： 设两交点坐标为、 联立方程得，化简得. 、 所以 又因为到直线的距离 所以. 【例6-3】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 【详解】（1）解：代入 ， 得解得， 所以准线方程是； （2）解：由， 可得， 设方程的两根为， 则，， 所以. 【变式6-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为焦点的抛物线的标准方程； (2)已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； (3)设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 【详解】（1）由双曲线，可得， 则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为； （2）设，则有， =，由， 当时，. （3）由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值或． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·月考）已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点， (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值. 【详解】（1）抛物线的顶点在原点，焦点为，所以； （2）如图，若，不妨设，则， 设抛物线的准线为，过点作垂足为，过点作，垂足为， 根据抛物线的定义知，则，故， 在中，，得， 所以，同理时， 综上，，则所求直线为. （3）根据题意，，斜率存在，且不为0， 设,， 由， ，同理得， ，， ，当且仅当时，面积取到最小值16. 【变式6-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线、，其中A、B为切点，设直线、的斜率分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若点P的纵坐标为1，计算的值； (3)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 【详解】（1）因为抛物线的顶点为原点，焦点在x轴上， 所以设抛物线方程为， 因为为焦点，所以， 所以抛物线方程为. （2）抛物线方程为，所以其准线方程为， 点是抛物线的准线上点，且纵坐标为1，所以 过作抛物线切线，由题知斜率存在且不为0，设其斜率为k， 则切线方程为， 联立， ，其两根为， 所以. （3）解：设点、， 下面证明抛物线在其上一点处的切线方程为， 联立可得， 即，即， 解得，所以，抛物线在其上一点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在其上一点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线、的方程可得，即， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 由可得，所以，直线过定点. 题型七 直线与圆锥曲线综合 【例7-1】（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点.    (1)若，求的值； (2)求面积的最大值. 【详解】（1）因为直线与轴交于点，所以. 设，由知为的中点，所以. 由方程组，消去得， 则，即，且, 将代入得，消去得， 因为，所以解得. （2）因为是椭圆的下焦点，所以， 到直线的距离. 由弦长公式知， 将代入得 ， 所以， 令，则， 所以，当且仅当，即，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 【例7-2】（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线，的离心率为，长轴长为．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，、是双曲线上两点，点也在双曲线上，直线、与轴分别交于点、，点在直线上．若、关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【详解】（1）双曲线的离心率为，长轴长为， ，解得，， ，， 双曲线的方程为：. （2）如图所示：   圆的方程为：，圆心，半径， ∵点是双曲线上的动点，是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，， ， 设，因为点是双曲线上的动点， ，去分母得，即， ， 当时，取得最小值，且， . （3）如图所示：    由题意知，直线的斜率存在，设，， 设直线的方程为， 联立得：，整理得， 则且， 则，， 直线的方程为， 令，可得，即， 同理可得， 为的中点，， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即， 则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又为直角三角形，且为斜边， 当为的中点时，. 【例7-3】（25-26高二上·上海·期末）如图所示，已知抛物线：，点是x轴正半轴上一点，过T的直线、分别与抛物线交于点、和点、，其中、在轴上方且在右侧，、在轴下方.    (1)若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标； (2)若直线的斜率为2且，求实数的值和的面积； (3)分别记、的面积为、，直线、的斜率为、.若且，求证：垂直于轴. 【详解】（1）根据抛物线的定义，点到抛物线焦点的距离为， 由题意得，所以， 代入抛物线方程得或（舍去）， 所以点的坐标为. （2）由题意得直线的方程为， 联立，则，， 则，，又，则，解得， . （3）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，，，， 又，，， 则， 又，则① 设直线的方程为， 联立，则，， 则， 同理可得，则②， 由①②得，，， 由得，即， 化简得， 将，代入得， 所以，即，即， 所以直线垂直于轴. 【变式7-1】（2025·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）联立，消去并化简得， 由题意可得，解得，因为， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或， 所以或. （3），设，， 联立，消去并化简得， ， ， 联立，解得， 所以， ， 代入点坐标及韦达定理得 ， ， 所以，使得. 【变式7-2】（2025·上海静安·一模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 【详解】（1）由双曲线的焦距为4，点在上， 可得，所以，且，又因为，即， 联立方程组，解得，，所以的方程为. （2）设直线l方程为，代入圆的方程整理得，直线与圆相切， 所以判别式，所以，切点位于轴上方，故. 将直线代入双曲线方程，整理得，解得， 两点的坐标分别为（）、（）， 从而； 另解：由题意设直线方程为，该直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得. 联立得 设，，则， （3）由题意直线与平行，由双曲线的对称性，易知=，四边形为平行四边形． 当直线垂直于x轴时，，此时四边形的面积为，不合题意，舍去； 设直线方程为，则直线方程为， 直线和的距离就是点到直线的距离， 设，，联立方程组，整理的， 则，且，， 又由双曲线的渐近线的方程为， 要使得过的左焦点的直线交的左支于点、，可得，() 则， 所以，化简可得， 解得，或，因为，所以， 故直线的方程为或． 另解：设直线方程为，代入双曲线方程得，整理得 ，(因为双曲线的渐近线斜率为，直线AB与双曲线左支交于两点，所以) ，，所以， 点到直线的距离，， 化简可得，解得，或，因为当时，直线AB斜率平方， 此时AB与双曲线左支只能交于一点，舍去，所以， 故直线的方程为，或． 【变式7-3】（25-26高二上·上海松江·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 【详解】（1）设椭圆的长半轴的长为，短半轴的长为，焦距为， 由椭圆的方程，可得，可得， 所以，即右焦点的坐标为，离心率， 所以椭圆右焦点的坐标为，离心率. （2）证明：当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为， 设联立， 整理可得：， 可得，， 所以的中点， 同理可得的坐标，即， 当，的横坐标不相等时，则， 所以的方程为， 整理可得 所以直线恒过定点. 当，的横坐标相等时，，即时，则轴， 且此时的方程为，显然也过， 当的斜率为时，直线的方程为， 当的斜率不存在时，直线的方程为， 可证得直线必过定点. （3）由（2）可得直线必过的定点， 可得 ， 设，则， 在上单调递减，所以， 所以面积的最大值为. 题型八 圆锥曲线新定义 【例8-1】（25-26高二上·上海徐汇·月考）新定义：在直角三角形中，直角边与斜边之差的绝对值中较小的一个称为该直角三角形的“正减值”；直角三角形两直角边之差的绝对值称为该直角三角形的“余减值”. (1)求证：当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； (2)设某直角三角形正减值的大小为，余减值的大小为，试判断“”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的什么条件并说明理由； (3)如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，，请选择图中任意几点连接（不添加点），构造出两个直角三角形，满足其中一个直角三角形的正减值与另一个直角三角形的余减值相同并说明理由. 【详解】（1）由定义设三边，则正减值， 则， 因，则，得，得， 即，则正减值的最大值为， 此时， 则该三角形为等腰直角三角形，余减值为0最小. 故当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； （2）既不充分也非必要条件，证明如下： 设，则“正减值”，“余减值”， 则三边成等差数列的充要条件为，即； 的充要条件为， 即; 显然是的既不充分也非必要条件， 综上，“”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的既不充分也非必要条件； （3）连接OT，则两三角形为△OFT和△OTM， 因为点分别是和的中点， 所以， ， 综上：△OFT的余减值和△OTM正减值大小相同. 【例8-2】（25-26高二上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线． (1)判断点是否被直线分隔： (2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围 (3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线． 【详解】（1）点，直线，则， 所以点被直线分隔. （2）由直线是曲线的分隔线，得方程组无解，即方程无解， 而当且仅当时，方程无解，因此； 显然点在曲线上，， 因此点被直线分隔， 所以实数的取值范围是. （3）设点，依题意，，则曲线的方程为， 显然当时，方程无解， 点都在曲线上，且，即点被直线分隔， 因此直线为曲线的分隔线； 设过原点的直线，由消去得， 令函数，当时，， 函数的图象连续不断，则函数在上有解，即方程有实数解， 当时，方程有实数解，即直线与曲线有公共点， 因此直线不是曲线的分隔线， 所以经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线，即. 【变式8-1】（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求“共轭点对”中点所在直线的方程； (3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【详解】（1）依题意，椭圆的另一焦点为， 因此 ， 于是， 所以椭圆的标准方程为. （2）设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上， 依题意，直线l的方程为，整理得， 所以直线的方程为. （3）由（2）知，直线：，由，解得或，则，， 设点，，则，两式相减得， 又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分， 设点到直线的距离为d，则四边形的面积， 而，则有， 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值， 由消去y得， 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离， 所以. 【变式8-2】（24-25高二下·上海杨浦·月考）在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【详解】（1）渐近线，夹角为． （2）设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． （3）设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 【变式8-3】（25-26高二上·上海松江·期中）由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比；如图1，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为A，B的椭圆；如图2，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为，的椭圆；若与相似，则称椭圆，是“相似椭圆”，三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”；若是，求出相似比；若不是，请说明理由，并找出椭圆的一个“相似椭圆”； (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (3)若椭圆与椭圆相似，相似比是，直线与椭圆，交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上． 【详解】（1）椭圆不是“相似椭圆”，理由如下： 椭圆中，，，， 椭圆中，，，， 因为，所以椭圆的“焦顶三角形”不相似， 所以这两个椭圆不是“相似椭圆”； 假设椭圆的一个“相似椭圆”为， 该椭圆焦距为， 则由“相似椭圆”定义得，取， 则椭圆的一个“相似椭圆”为； （2）不妨令两个椭圆均为焦点在轴上的椭圆， 且椭圆方程分别为和, 必要性：若两个椭圆是“相似椭圆”，则其“焦顶三角形”的三个对应角相等， 由题中图知若， 因为，，所以， 又因为，， 所以； 充分性：若离心率相等，则，所以， 则，，则； 同理，，， 则，所以， 所以椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”， 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）由题可得与椭圆的相似比为的相似椭圆的方程为， 设，，，各点坐标依次为，，，， 将代入椭圆方程得， ， ，， ； 同理将代入椭圆的方程得， 得，，， ，线段，中点相同， ，由，可得线段的中点是点N，=， ，所以， ，化简得，满足式， ，即点在定曲线上． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， ，则准线方程为. 故选：D 2．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 故焦点坐标为. 故选：B 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，所以， 故圆与圆相交. 故选：B. 二、填空题 4．（25-26高二上·上海闵行·期末）椭圆的长轴长为 . 【答案】10 【详解】因为椭圆的方程为，所以得， 所以长轴长为， 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海浦东新·期末）抛物线的焦点坐标为 . 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点在y轴正半轴上，且，即， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 . 【答案】 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 可设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以，即， 则该双曲线的方程为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海奉贤·期末）椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为 . 【答案】6 【详解】椭圆的一个焦点坐标为,得椭圆的焦点在轴上, 则,且, 由,得 故答案为： 8．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海浦东新·月考）三角形三边长为4，6，8，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】由双曲线定义可得，，得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海·期末）已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是 . 【答案】直角三角形 【详解】椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，， 由椭圆与双曲线的定义，得，解得， 因此，由椭圆、双曲线有相同焦点，得，， 即，则，即，， 所以是直角三角形. 故答案为：直角三角形 11．（25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于 . 【答案】 【详解】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 故答案为：. 三、解答题 12．（25-26高二上·上海松江·期末）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 【详解】（1）由题意可得，解得，， 故双曲线的方程为； （2）联立，则， 设, 则，， 故弦长为， 解得. 13．（24-25高二下·上海浦东新·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 【详解】（1）由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． （2），又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 14．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【详解】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 15．（24-25高二下·上海·月考）已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 【详解】（1）设的中点为，则由中点坐标公式有， 则，，设直线的斜率，则， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程为. （2）设，则由已知有， 由有：， 所以圆，圆心， 圆，圆心， 因为圆和圆外切，所以，解得， 因为，所以. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025·上海徐汇·一模）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知抛物线，若第一象限的点、在抛物线上，抛物线焦点为，，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 由题可知的斜率存在，设的斜率为． 因都在轴上方，由题意知， 由抛物线定义 则， 由弦长公式可得， 所以，解得. 故选：C． 3．（25-26高二上·上海金山·期末）如图，在等腰梯形中，为线段上的一点，以为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（   ） A．1.7 B．2.1 C．2.5 D．2.9 【答案】B 【详解】如图，以的中点为原点，建立直角坐标系， 设：（，），. 则，. 过作于，因为是等腰梯形，且，，， 则，，所以，则. 所以， 设（），则， 得. 又点在双曲线上， 所以， 整理得：， 所以， 因为，所以. 所以. 故选：B 4．（25-26高二上·上海·期末）已知曲线，点为曲线上一动点，有如下两个命题：①点到直线的距离存在最小值；②点到直线的距离存在最小值； 则下列选项正确的是（    ） A．命题①、②都错误 B．命题①、②都正确 C．命题①正确、命题②错误 D．命题①错误、命题②正确 【答案】D 【详解】分析曲线  ： ， 根据，的符号分情况讨论： 当， 时，(双曲线右支在轴上方部分)； 当， 时， (单位圆右半圆在轴下方部分)； 当， 时，（不表示任何图形）； 当 时， (双曲线下支在轴左侧部分)； 曲线由以上曲线组合而成，如图： 命题①：直线与曲线的位置关系如图所示，该直线与单位圆右半圆、双曲线右支均相离， 且两支双曲线均有相同的渐近线，故点到直线的距离无最小值； 故命题①错误. 命题②：由图可知点到直线的距离存在最小值. 先计算圆的圆心到直线 的距离为， 则点到直线的距离的最小值为， 故命题②正确. 故选：D. 二、填空题 5．（25-26高二上·上海浦东新·月考）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 ． 【答案】3 【详解】由椭圆可得，所以， 所以， 设，， 则，， 在中，， 即， 所以，所以，所以， 即， 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海·期末）设，已知.若对圆上任意一点，均为锐角，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设点，由题意可得向量，，则， 若为锐角，则，即， 由表示为原点到圆上点距离的平方，则， 可得，结合题设可得. 故答案为： 7．（25-26高二上·上海·期末）已知、分别是双曲线：（，）的左、右焦点，点、分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为 . 【答案】 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接， 如图所示：由，根据对称性可知，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形， 由，定义（），则， 由双曲线定义，，且， 所以，，， 因为， 中，，且， ，得， 即，所以， 在直角三角形中，， 即，解得，即. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小.现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 .    【答案】 【详解】    如图所示，不妨设椭圆的焦点在轴上，分别为椭圆的左，右焦点， 延长交于点，连接. 因为，且三点共线，可知点和点关于直线对称， 则点为的中点，且. 又因为为的中点，所以 ， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，故. 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 所以该椭圆的焦距为. 故答案为： 9．（25-26高二上·上海·期末）设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则 ． 【答案】或或 【详解】设双曲线方程为，焦点为、， ，，且因为P在右支上，所以，设点（）， 因为为等腰三角形，即或， 因为为等腰三角形，即或或， 如图所示，    先对如下情况一一讨论， 若，，，解得； 若，，所以， 所以，即，解得， 所以，解得； 若，，根据可得， 又因为，所以，也即，矛盾，故该情况舍去； 若，，可得，矛盾，该情况舍去； 若，，则在中，，， 故可得，代入双曲线方程可得，解得或，由于，所以； 若，，则在中，，矛盾，故该情况舍去； 综上所述，或或． 故答案为：或或． 三、解答题 10．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.将在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线记为曲线. (1)直接写出抛物线和圆的方程； (2)设直线与曲线有不同于点的两个公共点、，且，求的值； (3)若过曲线上的动点（）的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点的右侧，求的最大值，并求取得最大值时点、的坐标. 【详解】（1）抛物线按平移得到， 将代入得到，解得， 所以：； 则，所以圆心，半径为， 所以：. （2）由题可知直线过点A，分别与抛物线和圆各有一个交点，分别记为， 联立直线与（），解得， 所以由，得或； 联立直线与（），解得， 所以由，得； 综上，点，所以， 得，而，所以. （3）情况1：在半圆上，在第一象限的抛物线上， 则直线为和处的切线. 在处，切线斜率，所以直线方程设为，即， 直线与圆相切，所以原点到直线l的距离为，解得， 此时直线方程为，与轴的交点在右侧，符合题意； 且由于，所以， 由得，所以，由计算得到； 情况2：都在轴下方的半圆上， 此时； 综上，最大值为1，此时，. 11．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      12．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为 (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)如图，当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，求证曲线是椭圆，并求其离心率； (3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球､侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，求的最大值. 【详解】（1），， 则圆柱内空余部分的体积为：. （2）当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，则平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线， 如图，在曲线上任取一点，过作平行于圆柱的母线的直线，交上方球与圆柱相切的圆于点,交下方球与圆柱相切的圆于点. 则与球相切，与球相切， 又∵两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，， ∴，， ∴，即曲线上任意一点到，的距离和为定值， ∴，为椭圆的两焦点，故. 且长轴长为，短轴长为，所以，所以离心率为； （3）其轴截面，如下图所示， , 则， ∴，解得 考虑大球及小球在底面上的投影，如下图所示， ， ∴，即， ∵ ∴下方空余位置最多可放15个， ∴. 13．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为2，点是上位于第一象限内的一点． (1)求椭圆的方程； (2)设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标； (3)设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由椭圆的短轴长为2可得，， 由离心率为可得，， 又，所以，， 椭圆的方程为． （2）由（1）可知，，， 所以直线的方程为，即. 设，则……①，且， ， 点到直线的距离， ， 因为，所以……②， 联立①②，且，解得，. 故点的坐标为． （3）设，，，. 直线的方程为， 由，得， 有，解得，， 所以， 当时，直线的方程为， 由，得， 所以，解得，， 所以，经检验，当时，结论也成立， 由，得， ， ， . 所以 ， 令，解得， 此时， 故存在满足条件，此时，定值为． 14．（25-26高二上·上海徐汇·月考）如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为.已知点Q为双曲线右支上的一点，，且. (1)求：双曲线的离心率e； (2)若，，的面积满足，求：的值； (3)斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【详解】（1）∵，∴ 即，∴， 即， ∴离心率. （2）设圆的半径为，由，得， 所以，即，解得. （3）假设存在，设点，使， 由（1）可知双曲线方程为：， 斜率为的直线过点，直线方程为， 联立方程组， ， 即有两个不相等根， ∴，且,即且， 故，且， 因为，所以，故， 所以， 整理得， 即， 即， 故，对任意的恒成立， 所以，方程组无解， 故在轴上不存在这样的定点. 15．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 【详解】（1）点在抛物线上，代入得. 抛物线的焦点为，准线为. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，故. （2）抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. （3）设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，，则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $