2.4 抛物线的标准方程与性质（基础版+提高版）讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

课 题 抛物线的标准方程及其性质 级别 教学目标 1、掌握抛物线的定义 2、抛物线的标准方程形式及其相应的焦点和准线 3、根据已知条件熟练的求出抛物线的标准方程 重 点 1、抛物线的定义及标准方程 2、抛物线的基本性质 3、直线和抛物线的位置关系 难 点 直线与抛物线综合 授课内容概要 ( 高三数学寒假课程 )【知识梳理】 1、 定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线， 2、 抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 顶点 （0，0） （0，0） （0，0） （0，0） 焦点 【常见结论】 1.（）的几何意义是抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）；表示通径(通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段)长，表示焦点到顶点的距离． 2.抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径. 通径的长为,通径是过焦点最短的弦. 3. 若抛物线的焦点弦为AB，，则 （1）；若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点. （2）|AB|=； （3）以AB为直径的圆与准线相切； 证明：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦AB的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切. （4）+=． 4.直线与抛物线的位置关系： 方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. (1)相交： 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件 (2)相切：直线与抛物线相切； (3)相离：直线与抛物线相离。 【注：a.直线与抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；b.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。】 5.a.遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率 b.在求直线与抛物线的相交弦的弦长时，直线与抛物线相交通过联立方程应用韦达定理来求解；若分别为A、B的纵坐标，则 【例题精讲】 考点一：抛物线的定义及运用 例1、平面内一动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则动点的轨迹是_____________，其方程是_________________. 【答案】抛物线 【解析】设动点P的坐标为（x，y），动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则 ， 当时，，矛盾，故得到只有一种情况得到，是正确的． 故答案为抛物线，方程为． 例2、（1）若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C （2）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，如果， 那么（ ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】A 例3、（1）点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知是抛物线的准线，交点， 由抛物线的性质可知, ， 如图，当在一条直线上时，取得最小值为， 利用点到直线距离公式可以求出， 所以的最小值为. 故选：B. （2）已知抛物线上的任意一点，记点到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 抛物线的焦点，准线，如图所示，过点作交轴于点，垂足为，则，，当且仅当三点共线时，取得最小值，故答案为. 【巩固训练】 1、已知点满足,设点M的轨迹是曲线C，求曲线C的方程． 【答案】 【解析】 由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线 ∴∴，所以曲线的方程为 2、已知在平面直角坐标系中有一定点，动点到轴的距离为，且，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由平面直角坐标系中有一定点，动点到轴的距离为，且满足， 即点到定点与到轴的距离相等， 根据抛物线的定义可得，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 可得，所以抛物线的方程为. 3、抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，当为最小时，则点的坐标 ，当为最大时，则点的坐标 ． 【解析】过向准线作垂线交于，则，所以当三点共线时，距离之和最小，此时的纵坐标为-2，代入抛物线得横坐标为，所以此时． 当三点共线时，取到最大值，此时直线：， 联立，得或． 4、已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】A 【解析】因为为抛物线的焦点，所以， 设，由抛物线的性质得：， ∴，故到的距离为4.故选：A． 5、已知直线，，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】抛物线，其焦点坐标，准线为也就是直线，故到直线的距离就是到的距离.如图所示， 设到直线的距离为，则，当且仅当三点共线时等号成立，故选B. 6、抛物线上的点到点和焦点F的距离之和的最小值为5，求此抛物线的方程。 【解析】：若在抛物线内，设为准线，作于点，交抛物线于点M， 则 ，所以 若在抛物线外，连接交抛物线于点M，则 又在抛物线外，，所以不合题意 综上，，所求抛物线方程为： 考点二：抛物线的标准方程和性质 例4、（1）抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为( ) A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】根据题意设出抛物线的方程， 因为点在抛物线上，所以有，解得， 所以抛物线的方程是：，故选B. （2）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值 ． 【答案】6 【解析】根据题意，由于双曲线的右焦点坐标为，因此可知抛物线的焦点,故答案为6 例5、（1）设抛物线y=2x2的焦点坐标是（　　 ） A．（1，0） B．（-1，0） C．（0，） D．（，0） 【答案】C （2）抛物线的焦点到其准线的距离为__________. 【答案】10 【解析】抛物线，， 则焦点到准线的距离为10. 故答案为：10. 例6、已知抛物线C：（）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆的切线，切点分别为点A，B.若，则p的值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】连接，如下图 因为F就是圆的圆心， 所以，且. 又，所以，那么， 所以是等边三角形 所以. 又，所以. 故选：C. 例7、若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上.故选：B 例8、若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2．故选：D． 【巩固训练】 1、抛物线的准线方程为_____________，焦点坐标为___________. 【答案】：, 2、经过点的抛物线的标准方程是________________. 【答案】： 3、抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是________________. 【答案】： 4、圆的圆心是抛物线的焦点，则__________． 【答案】-4 【解析】∵圆心为，∴，∴. 5、设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），线段FA与抛物线交于点B，且，则|BF|＝________． 【答案】 【解析】 由题得，设，则， ， 由得解得， 代入椭圆方程得，解得， 所以，， 所以， 6、抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：如图， 可得圆心也是抛物线的焦点， 过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得 故的周长， 由可得，. 的取值范围为 的周长的取值范围为 故选：. 7、已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为 |AP|2=x2+（y﹣a）2 =x2+y2﹣2ay+a2， ∵x2=2y， ∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0） =y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0）， ∴对称轴为a﹣1， ∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点， ∴a﹣1≤0解得a≤1， 又a＞0， ∴0＜a≤1， 故答案为：． 考点三：直线与抛物线综合 例9、若直线与抛物线仅有一个公共点，则实数____. 【答案】 例10、已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若，，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】解：根据条件可得F（1，0）， 则设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以E（0，﹣k），联立，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0， 则x1+x2＝，x1x2＝1， 因为，， 所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2， 即有λ1＝，λ2＝， 所以. 故选：D. 例11、已知抛物线的焦点为，点满足. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由条件易知在抛物线上，， 故，即抛物线的方程为； （2）易知直线斜率必存在，设，，， ①， 联立得即， 由得，且②， ③， 由①②③得，即直线. 例12、已知抛物线的焦点到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为， 焦点到直线的距离为， . 抛物线的方程为． （2）由题意可设，直线， 将直线的方程代入抛物线的方程，消去，得． 直线与抛物线相交于两点， ． 设，则. 是线段的中点，， 代入，解得． 又，，， 或． 直线的方程为. 点到直线的距离， 又，， ． 令，则． 或， ，即． 面积的取值范围为 ． 例13、已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，. （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由抛物线的定义可以， ,抛物线的方程为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为 当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. 当直线斜率存在时，设直线的方程为 设，将直线与抛物线联立得： 又， 即， ， ， 将①代入得， 即 得或 当时，直线为，此时直线恒过; 当时，直线为，此时直线恒过（舍去） 所以直线恒过定点. 【巩固训练】 1、过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有______条． 【答案】3 【解析】 当直线的斜率不存在时，该直线方程为与抛物线相切，只有一个交点， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线， 消去y得：， 当时，直线方程为，与抛物线只有一个交点， 当时，，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点， 所以过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有3条 故答案为：3 2、若直线与抛物线的两个不同交点都在第一象限，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 解：∵， 由，得，则直线过定点， 在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线的大致图象如图， ∵若直线与抛物线的两个不同交点都在第一象限， ∴由图可知，，即， 故答案为：． 3、已知点在抛物线上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为( ) A． B．1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【解析】由点在抛物线上，可得，， 抛物线方程为：， 由已知得，设点， 由题意直线AB斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为， 联立方程，消去x得：， ， 因为点A，B在抛物线C上，所以， ， ， 故选：C. 4、已知抛物线的顶点在原点，焦点为. （1）求的方程； （2）设为的准线上一点，为直线与的一个交点且为的中点，求的坐标及直线的方程. 【答案】（1）；（2）点或；或. 【解析】 （1）由题可设抛物线方程为，又∵焦点（−1，0）可得 ∴，∴ （2）设点坐标为，， ∵为中点，∴，∴ ∵在抛物线上，将代入得， ∴或 当时，由得； 当时，由得； ∴点或；∴ ∴直线方程或 5、已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．过点的直线与抛物线交于，两点． （1）若直线与圆：相切，求直线的方程； （2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析； 【解析】 （1）由题意知：且圆的半径为，圆心，即有在圆外， ∴设直线为，则圆心到直线的距离， 解之得：，即直线的方程为. （2）由过的直线与抛物线交于，两点，与轴的交点为，即斜率存在且，设直线为，有， 联立直线方程与椭圆方程，有，可得， 设，，即有， ，，，， 由，，可得，， ∴，即可得为定值 6、设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点． （1）用表示点到点距离； （2）设，，线段的中点在直线，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析. 【解析】（1）方法一：由题意可知：设， 则， ∴； 方法二：由题意可知：设， 由抛物线的性质可知：，∴； （2），，，则， ∴，∴，设的中点， ， ，则直线方程：， 联立，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的面积； （3）存在，设，，则，， 直线方程为，∴，， 根据，则， ∴，解得：， ∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且． ( 注：此表用作每次课的教学设计方案 ) ( 第 17 页 共 18 页 )抛物线的标准方程及其性质 学科网（北京）股份有限公司 $ 课 题 抛物线的标准方程及其性质 级别 教学目标 1、掌握抛物线的定义 2、抛物线的标准方程形式及其相应的焦点和准线 3、根据已知条件熟练的求出抛物线的标准方程 重 点 1、抛物线的定义及标准方程 2、抛物线的基本性质 3、直线和抛物线的位置关系 难 点 直线与抛物线综合 授课内容概要 ( 高三数学寒假课程 )【知识梳理】 1、 定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线， 2、 抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 顶点 （0，0） （0，0） （0，0） （0，0） 焦点 【常见结论】 1.（）的几何意义是抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）；表示通径(通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段)长，表示焦点到顶点的距离． 2.抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径. 通径的长为,通径是过焦点最短的弦. 3. 若抛物线的焦点弦为AB，，则 （1）；若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点. （2）|AB|=； （3）以AB为直径的圆与准线相切； 证明：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦AB的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切. （4）+=． 4.直线与抛物线的位置关系： 方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. (1)相交： 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件 (2)相切：直线与抛物线相切； (3)相离：直线与抛物线相离。 【注：a.直线与抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；b.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。】 5.a.遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率 b.在求直线与抛物线的相交弦的弦长时，直线与抛物线相交通过联立方程应用韦达定理来求解；若分别为A、B的纵坐标，则 【例题精讲】 考点一：抛物线的定义及运用 例1、动圆P与定圆外切，且与直线相切，求动圆圆心P的轨迹方程. 例2、（1）如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是（ ） A． B． C． D． （2）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 例3、点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为，则的值等于 ． 【巩固训练】 1、已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，,且的最小值为，则等于（ ） A．4 B． C．5 D． 2、已知是抛物线的焦点，、是该抛物线的两点，，则线段的中点到轴的距离为____________. 3、抛物线的动弦长为,则弦的中点到轴的最小距离为　　 　　． 4、已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 考点二：抛物线的标准方程和性质 例4、（1）以椭圆的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是____________. （2）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，，求抛物线的方程； 例5、方程与在同一坐标系中的图象大致是 ( 　　) A． B． C． D． 例6、已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是的中点，则p的值等于_________________. 例7、A，B是抛物线上两点.Ω是过A，B两点，半径为1的圆.l是抛物线的准线，M为Ω的圆心，O为坐标原点. （Ⅰ）若M在x轴上且Ω与l相切，求的面积； （Ⅱ）求的取值范围. 【巩固训练】 1、经过点的抛物线的标准方程是________________. 2、抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是________________. 3、已知以F为焦点的抛物线C：上的两点A、B满足，则|AB|________． 4、抛物线上的点到点和焦点F的距离之和的最小值为5，求此抛物线的方程。 5、抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，上动点到直线的最短距离为1，求抛物线的方程． 考点三：直线与抛物线综合 例8、若直线与抛物线仅有一个公共点，则实数____. 例9、点到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么的值（ ） A. B. C.或 D. 或 例10、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 例11、已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点. （1）证明：直线过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线交椭圆于、两点，、分别是、的面积，求的最小值. 例12、已知抛物线，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，. （1）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标和准线的方程； （2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与准线交于点.连接，过点作的垂线与准线交于点.求证：三点共线. 例13、已知椭圆的焦点与抛物线的焦点之间的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）设与在第一象限的交点为，过点斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为.设，试求的取值范围. 【巩固训练】 1、抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则______. 2、抛物线上的点到该抛物线焦点F的距离为2，设O为坐标原点，则的面积为______ 3、在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于不同的两点，. ①若为线段的中点，求直线的方程； ②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围. 4、已知椭圆长轴的两顶点为、，左右焦点分别为、，焦距为且，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3． （1）求椭圆的方程； （2）在双曲线上取点（异于顶点），直线与椭圆交于点，若直线、、、的斜率分别为、、、．试证明：为定值； （3）在椭圆外的抛物线：上取一点，、的斜率分别为、，求的取值范围． 5、在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为. （1）求轨迹为的方程 （2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围. 6、已知抛物线的焦点为，若△的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“核心三角形”. （1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？请说明理由； （2）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为4，求直线的方程； （3）已知△是“核心三角形”，证明：点的横坐标小于2. ( 注：此表用作每次课的教学设计方案 ) ( 第 17 页 共 18 页 )抛物线的标准方程及其性质 学科网（北京）股份有限公司 $ 课 题 抛物线的标准方程及其性质 教学目标 1、掌握抛物线的定义 2、抛物线的标准方程形式及其相应的焦点和准线 3、根据已知条件熟练的求出抛物线的标准方程 重 点 1、抛物线的定义及标准方程 2、抛物线的基本性质 3、直线和抛物线的位置关系 难 点 直线与抛物线综合 授课内容概要 ( 高三数学寒假课程 )【知识梳理】 1、 定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线， 2、 抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 顶点 （0，0） （0，0） （0，0） （0，0） 焦点 【常见结论】 1.（）的几何意义是抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）；表示通径(通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段)长，表示焦点到顶点的距离． 2.抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径. 通径的长为,通径是过焦点最短的弦. 3. 若抛物线的焦点弦为AB，，则 （1）；若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点. （2）|AB|=； （3）以AB为直径的圆与准线相切； 证明：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦AB的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切. （4）+=． 4.直线与抛物线的位置关系： 方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. (1)相交： 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件 (2)相切：直线与抛物线相切； (3)相离：直线与抛物线相离。 【注：a.直线与抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；b.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。】 5.a.遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率 b.在求直线与抛物线的相交弦的弦长时，直线与抛物线相交通过联立方程应用韦达定理来求解；若分别为A、B的纵坐标，则 【例题精讲】 考点一：抛物线的定义及运用 例1、动圆P与定圆外切，且与直线相切，求动圆圆心P的轨迹方程. 【答案】. 【解析】【解】如图，设动圆圆心，过点P作于点D， 作直线，过点P作于点，连接. 设动圆P的半径为R，由题知圆A的半径为1. ∵圆P与圆A外切，∴. 又∵圆P与直线相切，∴. ∵，即动点P到定点A与到定直线的距离相等， ∴点P的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线. 设抛物线的方程为，可知， ∴所求动圆圆心P的轨迹方程为. 例2、（1）如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选A. （2）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A. 例3、点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为，则的值等于 ． 【答案】或 【巩固训练】 1、已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，,且的最小值为，则等于（ ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】设点，则． ∴， ∴当时，有最小值，且最小值为． 由题意得，整理得，解得或． 又，∴，∴点B坐标为． ∴由抛物线的定义可得．故选B． 2、已知是抛物线的焦点，、是该抛物线的两点，，则线段的中点到轴的距离为____________. 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线为，过、分别作准线的垂线，则，，所以， 所以中位线， 所以则线段的中点到轴的距离为，故答案为： 3、抛物线的动弦长为,则弦的中点到轴的最小距离为　　 　　． 【解析】设，过向准线作垂线交于，则 显然，当三点共线时，取到最小值即为，所以到轴的最小距离为． 4、已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的焦点，设直线的方程为： 联立方程组，得 设，则有，即 由抛物线的定义可得 所以，当且仅当时等号成立 所以的最小值是故选：D 考点二：抛物线的标准方程和性质 例4、（1）以椭圆的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是____________. 【答案】y2=12x （2）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，，求抛物线的方程； 【答案】； 【解析】设点的坐标为，依题意的， 因为，即，，， 代入抛物线方程可得， 即（舍去）或；所以抛物线的方程为； 例5、方程与在同一坐标系中的图象大致是 ( 　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则方程为和，故A选项正确，C选项错误.令，则方程为和，故C,D两个选项错误.综上所述，本小题选A. 例6、已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是的中点，则p的值等于_________________. 【答案】 【解析】因为抛物线的准线方程为，所以由对称性得点， 代入圆的方程得，解得.故答案为： 例7、A，B是抛物线上两点.Ω是过A，B两点，半径为1的圆.l是抛物线的准线，M为Ω的圆心，O为坐标原点. （Ⅰ）若M在x轴上且Ω与l相切，求的面积； （Ⅱ）求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）抛物线的准线方程为， 半径为1的圆的圆心在x轴上且圆与准线相切，可得圆心，圆的方程为， 将圆的方程与抛物线方程联立得， ，消y得， 设交点，解得，由题意得点关于x轴对称， ，，则. （Ⅱ） , 又，所以，所以的取值范围为 【巩固训练】 1、经过点的抛物线的标准方程是________________. 【答案】： 2、抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是________________. 【答案】： 3、已知以F为焦点的抛物线C：上的两点A、B满足，则|AB|________． 【答案】 【解析】由题,不妨设在第一象限.作分别垂直于准线, 于如图. 设,由,可得：, 由抛物线的定义知,, ∴中, ,,故,所以直线的倾斜角为,斜率为. ∴直线方程为, 与抛物线方程联立消得 所以,故答案为：. 4、抛物线上的点到点和焦点F的距离之和的最小值为5，求此抛物线的方程。 【解析】：若在抛物线内，设为准线，作于点，交抛物线于点M， 则 ，所以 若在抛物线外，连接交抛物线于点M，则 又在抛物线外，，所以不合题意 综上，，所求抛物线方程为： 5、抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，上动点到直线的最短距离为1，求抛物线的方程． 【解析】显然，过抛物线开口向上，最小距离就可以为0了，所以抛物线一定开口向下，设为， 设点，则，所以， 所以，当时，， 所以抛物线方程为．（这题用的就是几乎纯代数的方法，转化为函数问题，也是一种转化思想，这种类型的题目可以如果学生掌握的不牢，可以用椭圆或双曲线再出几道类似的问题） 考点三：直线与抛物线综合 例8、若直线与抛物线仅有一个公共点，则实数____. 【答案】 例9、点到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么的值（ ） A. B. C.或 D. 或 【答案】D 例10、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 【答案】A 【解析】根据题意，抛物线的焦点坐标为. 若直线的斜率不存在，则两点关于焦点对称，故满足； 若直线的斜率不存在，设直线方程为 联立抛物线方程，可得 设，故，不可能等于2， 故此时不存在满足题意的直线.综上所述，满足题意的直线只有1条.故选：A. 例11、已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点. （1）证明：直线过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线交椭圆于、两点，、分别是、的面积，求的最小值. 【答案】（1）定点坐标为，证明见解析；（2）. 【解析】（1）先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为， 由于点在抛物线上，则， 联立，消去得，，即， 所以，关于的方程有两个相等的实根，此时， 因此，直线与抛物线相切，且切点为. 设点、， 则以为切点的切线方程为，同理以为切点的切线方程为， 两条切线均过点，，即， 所以，点、的坐标满足直线的方程，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，所以，直线过定点； （2）设点到直线的距离为，则. 由题意可知，直线不与轴重合，可设直线的方程为， 设、，由，得，恒成立， 由韦达定理得，， 由弦长公式可得， 由，得，恒成立. 由韦达定理得，， 由弦长公式得. ， 当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为. 例12、已知抛物线，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，. （1）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标和准线的方程； （2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与准线交于点.连接，过点作的垂线与准线交于点.求证：三点共线. 【答案】（1）抛物线的方程为，焦点坐标为，准线方程为（2）证明见解析 【解析】解：（1），则， 故抛物线的方程为：，其焦点坐标为，准线方程为： （2）设直线，联立，得，则， 设，，则，. 法1：直线，由得，故点，直线的斜率， 则直线的斜率，直线，则点，直线的斜率. 直线的斜率，由得，则， 所以三点共线. 法2：直线，由得，故点， 由，得.直线的斜率， 直线，得点，由，得. 直线的斜率.直线的斜率，由得， 由，得，则有.所以三点共线. 法3：（1）∵，∴，∴，∴，， ∴抛物线的标准方程为：， 则焦点坐标为：，准线方程为：. （2）设直线，联立得：，， 设，，∴直线， 当时，，∴，∴，∴，∴直线， 当时，，∴，∴，， ∴ ，∴，∴共线. 例13、已知椭圆的焦点与抛物线的焦点之间的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）设与在第一象限的交点为，过点斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为.设，试求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由椭圆，得，，，所以，椭圆的右焦点为， 抛物线的焦点为， 由题意可得，，，因此，抛物线的方程为； （2）联立椭圆和抛物线的方程，解得，可得点， 设点、，联立直线与椭圆的方程， 消去得，， 由题意可知，是关于的二次方程的一个根， 由韦达定理得，， ，直线的方程为， 联立直线与抛物线的方程，消去得， 由题意可知，是关于的二次方程的一个根， 由韦达定理得，， ， 所以，，因此，的取值范围是. 【巩固训练】 1、抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则______. 【答案】或 【解析】 由于抛物线的焦点为，则，可得，则抛物线的方程为， 设的方程为，设点、， 联立，消去得，， 由韦达定理得， 因此， 可得，所以， ，，即， 设，可得，即，解得或. 因此，或.故答案为：或； 2、抛物线上的点到该抛物线焦点F的距离为2，设O为坐标原点，则的面积为______ 【答案】 【解析】∵点在抛物线上，∴，∴抛物线的准线为，焦点为， ∴， 不妨设，∴，∴.故答案为：. 3、在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于不同的两点，. ①若为线段的中点，求直线的方程； ②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围. 【答案】（1）（2）①.② 【解析】（1）设，则．因为，所以， 因为，所以，即.所以曲线的方程为. （2）①若直线的斜率不存在，则与曲线无公共点，因此的斜率存在； 若的斜率为0，则与曲线只有一个公共点，因此的斜率不为0. 设， 由得，于是，解得且． 设，，则. 因为为线段的中点，所以． 又，所以， 因此，所以，符合且， 于是，此时直线的方程为. ②因为点，关于轴对称，所以，于是点到直线的距离为. 因为，所以.又， 所以. 因为，所以.又因为且，因此， 即面积的取值范围为. 4、已知椭圆长轴的两顶点为、，左右焦点分别为、，焦距为且，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3． （1）求椭圆的方程； （2）在双曲线上取点（异于顶点），直线与椭圆交于点，若直线、、、的斜率分别为、、、．试证明：为定值； （3）在椭圆外的抛物线：上取一点，、的斜率分别为、，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）证明过程见详解；（3）. 【解析】（1）因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3，所以， 所以，解得：，，，所以椭圆的方程：； （2）由（1）可知：、、、， 设点，则，整理得：， ； 设点，则，整理得：， . 又因为与共线，所以，，所以， 所以，所以为定值； （3）设，由，解得：， 由在椭圆外的抛物线：上一点，则， 则，（且）；，（且）， 则，（且）， 则，（且）， 令，（且），设，（且）， 则，所以在，上单调递增， 所以的取值范围：， 所以的取值范围. 5、在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为. （1）求轨迹为的方程 （2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围. 【答案】（1）；（2）当或时直线与轨迹恰有一个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点. 【解析】（1）设点，依题意，，即， 整理的，所以点的轨迹的方程为. （2）在点的轨迹中，记，， 依题意，设直线的方程为， 由方程组得 ① 当时，此时，把代入轨迹的方程得，所以此时直线与轨迹恰有一个公共点. 当时，方程①的判别式为 ② 设直线与轴的交点为，则由，令，得③ （ⅰ）若，由②③解得或. 即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点， 故此时直线与轨迹恰有一个公共点. （ⅱ）若或，由②③解得或， 即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点. 当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点. 故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点. （ⅲ）若，由②③解得或， 即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点. 故当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点. 综上所述，当或 时直线与轨迹恰有一个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点. 6、已知抛物线的焦点为，若△的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“核心三角形”. （1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？请说明理由； （2）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为4，求直线的方程； （3）已知△是“核心三角形”，证明：点的横坐标小于2. 【答案】（1）不存在，理由见解析.（2）.（3）证明见解析 【解析】（1）由于，即，即 ，所以第三个顶点的坐标为， 但点不在抛物线上，∴这样的“核心三角形”不存在. （2）设直线的方程为，与联立并化简得： 设，，， ，， 由（1）得，即，所以 由得：，， 代入方程，解得：，∴直线的方程为. （3）设直线的方程为，与联立并化简得：， ∵直线与抛物线相交，∴判别式， 即.，∴， 由，得， 即点的坐标为， 又∵点在抛物线上，∴，得， ∵，即，∴， ∴点的横坐标. ( 注：此表用作每次课的教学设计方案 ) ( 第 17 页 共 18 页 )抛物线的标准方程及其性质 学科网（北京）股份有限公司 $ 课 题 抛物线的标准方程及其性质 级别 教学目标 1、掌握抛物线的定义 2、抛物线的标准方程形式及其相应的焦点和准线 3、根据已知条件熟练的求出抛物线的标准方程 重 点 1、抛物线的定义及标准方程 2、抛物线的基本性质 3、直线和抛物线的位置关系 难 点 直线与抛物线综合 授课内容概要 ( 高三数学寒假课程 )【知识梳理】 1、 定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线， 2、 抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 顶点 （0，0） （0，0） （0，0） （0，0） 焦点 【常见结论】 1.（）的几何意义是抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）；表示通径(通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段)长，表示焦点到顶点的距离． 2.抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径. 通径的长为,通径是过焦点最短的弦. 3. 若抛物线的焦点弦为AB，，则 （1）；若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点. （2）|AB|=； （3）以AB为直径的圆与准线相切； 证明：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦AB的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切. （4）+=． 4.直线与抛物线的位置关系： 方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. (1)相交： 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件 (2)相切：直线与抛物线相切； (3)相离：直线与抛物线相离。 【注：a.直线与抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；b.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。】 5.a.遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率 b.在求直线与抛物线的相交弦的弦长时，直线与抛物线相交通过联立方程应用韦达定理来求解；若分别为A、B的纵坐标，则 【例题精讲】 考点一：抛物线的定义及运用 例1、平面内一动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则动点的轨迹是_____________，其方程是_________________. 例2、（1）若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 （2）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，如果， 那么（ ） A．8 B．10 C．6 D．4 例3、（1）点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（ ） A． B． C． D． （2）已知抛物线上的任意一点，记点到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为__________． 【巩固训练】 1、已知点满足,设点M的轨迹是曲线C，求曲线C的方程． 2、已知在平面直角坐标系中有一定点，动点到轴的距离为，且，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3、抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，当为最小时，则点的坐标 ，当为最大时，则点的坐标 ． 4、已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．4 B． C．8 D．16 5、已知直线，，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（ ） A．2 B． C．1 D． 6、抛物线上的点到点和焦点F的距离之和的最小值为5，求此抛物线的方程。 考点二：抛物线的标准方程和性质 例4、（1）抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为( ) A． B． C． D．或 （2）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值 ． 例5、（1）设抛物线y=2x2的焦点坐标是（　　 ） A．（1，0） B．（-1，0） C．（0，） D．（，0） （2）抛物线的焦点到其准线的距离为__________. 例6、已知抛物线C：（）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆的切线，切点分别为点A，B.若，则p的值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 例7、若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ） A． B． C． D． 例8、若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【巩固训练】 1、抛物线的准线方程为_____________，焦点坐标为___________. 2、经过点的抛物线的标准方程是________________. 3、抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是________________. 4、圆的圆心是抛物线的焦点，则__________． 5、设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），线段FA与抛物线交于点B，且，则|BF|＝________． 6、抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是( ) A． B． C． D． 7、已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________. 考点三：直线与抛物线综合 例9、若直线与抛物线仅有一个公共点，则实数____. 例10、已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若，，则（ ） A． B． C．1 D． 例11、已知抛物线的焦点为，点满足. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程. 例12、已知抛物线的焦点到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围． 例13、已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，. （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标. 【巩固训练】 1、过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有______条． 2、若直线与抛物线的两个不同交点都在第一象限，则实数的取值范围为________． 3、已知点在抛物线上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为( ) A． B．1 C．2 D．﹣2 4、已知抛物线的顶点在原点，焦点为. （1）求的方程； （2）设为的准线上一点，为直线与的一个交点且为的中点，求的坐标及直线的方程. 5、已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．过点的直线与抛物线交于，两点． （1）若直线与圆：相切，求直线的方程； （2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 6、设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点． （1）用表示点到点距离； （2）设，，线段的中点在直线，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ( 注：此表用作每次课的教学设计方案 ) ( 第 17 页 共 18 页 )抛物线的标准方程及其性质 学科网（北京）股份有限公司 $