1.4 垂直平分线 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第4节 垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过对现实情境的分析,掌握线段垂直平分线的性质定理,并能运用全等三角形完成严谨推导. 2.通过逆向思考互逆命题的方法,探究并证明线段垂直平分线的判定定理,理解“两点确定一条直线”在判定中的应用. 3.通过例题分析与多证法探究,能运用线段垂直平分线的性质与判定解决等腰三角形相关问题,并能关联等腰三角形“三线合一”等旧知识,初步感知三角形三边垂直平分线的交点特征，体会知识的延伸性. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 咱们平时取快递都很熟悉吧？假设某小区的东、西门口各有一个快递驿站,就是图上的A和B,物业计划在中央主干道MN上新建一个智能快递柜，为了让东、西门的居民取件一样方便,要求这个快递柜到A、B两个驿站的距离完全相等. 问题1:线段AB是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 线段AB是轴对称图形，它的垂直平分线是它的对称轴. 追问:如果快递柜建在主干道MN上,并且到A、B距离相等,你能在草稿纸上标出快递柜P的大致位置吗？ 4 问题构建 如果这条主干道MN,恰好就是线段AB的垂直平分线,那MN上的任意一点到A、B的距离都相等吗？ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA=PB 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC ∴△PCA≅△PCB（SAS） ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等） 如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 5 问题构建 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 问题2：我们得到了“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”,你能写出这个命题的逆命题吗？ 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 追问1:逆命题是真命题吗？如何判断？ 追问2:要证“到线段AB两端点距离相等的点P在AB的垂直平分线上”，需证哪两个结论？ 不确定，需要尝试规范证明 满足条件的点P所在直线垂直AB，且把线段AB平分. 问题构建 证明命题:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 已知点P是平面内一点,且PA=PB.求证点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:分类讨论 情况1：点P在线段AB上 ∵PA=PB ∴点P是线段AB的中点 ∴点P在线段AB的垂直平分线上​ 问题构建 情况2：点P不在线段AB上 如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C 在Rt△PCA和Rt△PCB中： PA=PB,PC是公共直角边 ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL） ∴AC=BC ∴点C是线段AB的中点 ∴PC垂直平分AB 证明命题:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 已知点P是平面内一点,且PA=PB.求证点P在线段AB的垂直平分线上. 问题构建 定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.求证:直线AO垂直平分线段BC. 证明： ∵AB=AC ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 同理,点O在线段BC的垂直平分线上 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线） 你还有别的证明方法吗？ 协作破冰 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.求证:直线AO垂直平分线段BC. 证明：在△ABO和△ACO中 ∴△ABO≌△ACO(SSS) ∴∠BAO=∠CAO(全等三角形对应角相等) ∵AB=AC,根据等腰三角形“三线合一”性质顶角平分线AO同时是底边BC上的高和中线，即AO⊥BC且AO平分BC 因此,直线AO垂直平分线段BC. 协作破冰 问题3:三角形三边的垂直平分线会交于一点吗？动手画一画. 三角形三边垂直平分线交于一点，区别在于： 锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部； 直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点上； 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部； 协作破冰 问题4:三角形三边的垂直平分线会交于一点,这个交点到三角形三个顶点的距离有怎样的关系？ 以锐角三角形ABC为例，连接OA、OB、OC. ∵点0在AB、AC、BC三条边的垂直平分线上 ∴OA=OB=OC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等) 追问:此时图中出现了哪种熟悉的图形？ 三个等腰三角形：△AOB、△AOC、△BOC. 协作破冰 问题5:观察右侧郑州市公园分布图的截图，你在图中找到哪几个公园？ 月季公园、五一公园、碧沙岗公园 追问1:为了监测公园的建立对城市空气净化程度的改善效果，市政公司打算在距离三个公园距离相等的位置建一座空气质量监测站，你能帮助市政提供一些建议吗？ 把三座公园抽象为三个点，会形成一个三角形，借助我们学习的垂直平分线的逆定理可以找到空气质量监测站的位置. 教师示范 追问2:需要画出几条边的垂直平分线？为什么？动手试一试. 只需要画2条，可以规范证明. 观察右侧中图,OP垂直平分AB，OM垂直平分AC 观察最右侧图形 OA=OB,OA=OC 所以OB=OC 本例证明过程中，垂直平分线定理及其逆定理都有涉及，解决了生活中的问题，数学来源于生活，并服务于生活. 教师示范 课本39页第8题： 如图,某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇中心A为出发点设计了三种连接方案： （1）AB+BC； （2）AD+BC（D为BC的中点）； （3）OA+OB+OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点） 要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ 巩固拓展 设等边三角形ABC的边长为a 方案（1）：计算AB+BC的长度 因为△ABC是等边三角形,其边长为a,所以AB=BC=a,则AB+BC=a+a=2a. 方案（2）：计算AD+BC的长度 因为△ABC是等边三角形,D为BC的中点,根据等边三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，BD=​BC= a 在直角三角形ABD中,根据勾股定理,可得AD=​​a 又因为BC=a,所以AD+BC≈(0.866+1)a=1.866a 巩固拓展 方案（3）：计算OA+OB+OC的长度 因为O为△ABC三边的垂直平分线的交点,∠BAO=30°,AD过点O，且AO=2OD.由方案（2）可知OA= 因为OA=OB=OC,所以OA+OB+OC=a≈1.732a 综上，应选方案（3） 当堂检测 第2题图 1.如图，在四边形中，垂直平分，垂足为 ， 下列结论不一定成立的是( ) D B. 平分 C. D. 当堂检测 2.如图，在中，是 的垂直平分线， ，为 的中点. （1）求证： . 解：证明：连接 . ，为 的中点， 垂直平分 . . 垂直平分， . . 当堂检测 （2）若 ，求 的度数. 解： ， . . ， . . 当堂检测 第3题图 3.【转化思想】如图，在中， ， ，垂直平分，为直线 上的任意一点， 则 的最小值是( ) A 8 B. 10 C. 12 D. 14 反思总结 1.本节课学习的线段垂直平分线的性质与判定,和我们之前学过的全等三角形、轴对称图形等知识有哪些关联？ 2.我们从“线段垂直平分线的性质”出发,通过逆向思考得到了它的“判定定理”,这种“正向探究—逆向推导”的思维方式，你还能想到数学中哪些类似的例子？ 3.结合本节课的知识,你如何理解“‘点在线段垂直平分线上’与‘点到线段两端点距离相等’是等价的”这一结论？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第34页 第1,2题 二、素养类作业 课本P38页 第4题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $