专题01 勾股定理与最值（举一反三专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题01 勾股定理与最值（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 【题型1 几何最值(利用垂线段最短求最值)】 1 【题型2 几何最值(利用两点之间线段最短求最值)】 4 【题型3 数形结合求最值】 8 【题型4 化体为面求最值】 14 【题型5 拼接求最值】 18 【题型1 几何最值(利用垂线段最短求最值)】 【例1】（2025·福建厦门·二模）如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， ，E是的中点， ， ， ， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（    ）   A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“点到直线的距离，垂线段最短”是解题的关键． 在边上移动，由点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在边上移动，当时，最短， ， ， ， ∴的最小值是5， 故选：A． 【变式1-2】（2025·湖南郴州·二模）如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，勾股定理等知识；当时，线段的长取得最小值，利用勾股定理求得，，再由角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值， ∵，，， ∴， ∵平分，， ∴， 即的最小值为3． 故答案为：3． 【变式1-3】如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点A关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可得，由勾股定理可得，根据，可得当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴； ∵， ∴当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型2 几何最值(利用两点之间线段最短求最值)】 【例2】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，在长方形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是最短线路问题，长方形的性质，轴对称的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，在BA的延长线上截取，连接则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接， 在长方形中，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，即的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴． ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【变式2-1】（2025·内蒙古·二模）如图，两条平行线之间的距离为2，线段在上滑动，且，C为上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质求线段和的最小值，过点B作点B关于直线的对称点，连接交于点，可得出当点A，，三点共线时，值最小，此时，利用轴对称的性质得出，，再利用勾股定理即可得出． 【详解】解：过点B作点B关于直线的对称点，连接交于点， 当点A，，三点共线时，值最小，此时， 根据轴对称的性质可知，， ∵两条平行线之间的距离为2， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为：， 故答案为： 【变式2-2】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在长方形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，证明，易得，即有，作点关于点的对称点，连接，当三点共线时，可有，此时取最小值，然后根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于点的对称点，连接， 则，当三点共线时， 可有，此时取最小值， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平行四边形的性质，轴对称—最短路线，勾股定理，作于，由题意可得在平行于且与距离为的直线上运动，作关于直线的对称点，连接，，则，、、三点共线，结合，得出当且仅当，，，依次共线时取等号，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴在平行于且与距离为的直线上运动， 作关于直线的对称点，连接，， 则，、、三点共线， ∵， ∴， ∴，当且仅当，，，依次共线时取等号， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型3 数形结合求最值】 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小师想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．则、长分别表示为，．最后利用几何知识可得代数式的最小值为，根据以上材料，可求代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】构造如下：设，，，，则，过点D作，交的延长线于点H，结合题目方法解得即可．本题考查了勾股定理，长方形的判定和性质，三角形不等式求最值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设，，，，则， 则， 根据， 当三点共线时，取得最小值， 过点D作，交的延长线于点H， ∵，， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】请构图求出代数式的最小值为 ． 【答案】10． 【分析】可作BD=8，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，C为BD上一点，连接AC、CE．当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为AE的长.然后构造长方形AFDB，Rt△AFE，利用长方形和直角三角形的性质可求AE的值． 【详解】解：如图所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，DB=8，C为BD上一点，连接AC、CE． 设CD=x，则BC=8-x, ∴AC=，CE=， ∴AC+CE=+， 当A、C、E三点共线时，AC+CE取到最小值，最小值为AE的长． 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得长方形ABDF，则DF=AB= 4，AF=BD=8． ∴EF=4+2=6， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE===10． ∴的最小值为10. 故答案是：10. 【点睛】本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键． 【变式3-2】（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 ． （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最小值． （3）方法应用：若，求y的最大值． 【答案】（1）13；（2）5；（3） 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可； （3）如图所示，，，，，，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （2）如图，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为5； （3）如图，，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， ∴要想的值最大，则的值最大， ∴根据三角形三边关系可知，当A、D、B三点共线时，的值最大，最大值为， 延长，交于点F， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 在直角三角形中，， 即y的最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质与判定，三角形三边关系的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． 【变式3-3】（24-25八年级下·广东·期中）在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是 ；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是 ． 【答案】 16 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质， 先根据三点共线时最小，再根据等腰直角三角形的性质得出答案；将原式整理为，画出图形，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值，然后根据直角三角形的性质和勾股定理可得答案． 【详解】解：当点A，P，D三点共线时最小， 此时， ∴， ∴， 根据勾股定理，得，， 则， ∴． 这个代数式得最小值是； 根据题意，得， 如图所示，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值. 当点A，P，D三点共线时最小， 此时，则， ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得则， ∴. 在中，， ∴， ∴． 这个代数式得最小值是16． 故答案为：；16． 【题型4 化体为面求最值】 【例4】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出的长，比较即可获得答案． 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图， 此时； ②如图， 此时， ③如图， 此时， 又∵， ∴需要爬行的最短路程为． 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ） A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 【答案】D 【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可得出结论． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出台阶的表面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图所示 （分米） 答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是20分米． 故选：D 【变式4-2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最短为 ． 【答案】34 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴， 根据勾股定理得：， ∴这圈金属丝的周长最小为． 故答案为：34． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：A． 【题型5 拼接求最值】 【例5】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；过点作于点，如图，先计算出，则，，于是利用勾股定理可计算出；把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，，根据旋转的性质得到，，，，则可判断为等边三角形，所以，由于当且仅当、、、共线时取等号，所以的最小值为，即的最小值为，过点作于点，如图，计算出，则，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的最小值． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， ， ， ， 在中，， 把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，， ，，，， 为等边三角形， ， ， 当且仅当、、、共线时取等号 的最小值为，即的最小值为， 过点作于点，如图， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 【变式5-1】如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．易证PA+PB+PC=PC+PF+EF，因为PC+PF+EF≥EC，推出当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，求出EC的长即可解决问题． 【详解】解：将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC． 由旋转的性质可知：AB=BE=3，BP=BF，∠PBF=60°=∠ABE， ∴△PBF是等边三角形， ∴PB=PF， ∵PA=EF， ∴PA+PB+PC=PC+PF+EF， ∵PC+PF+EF≥EC， ∴当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小， ∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，BE=BC， ∴EC=BC=， ∴PA+PB+PC的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式5-2】如图，在中，，，，、分别为边、上两个动点．且，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，两点之间线段最短；过点作，截取，过点作交的延长于点，连接，证明得出，当在线段上时，，则的最小值为的长，进而求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，截取，过点作交的延长于点，连接， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴当在线段上时，，则的最小值为的长， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∵， ∴， 在中， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，若三个村庄、、构成，其中，，．现选取一点打水井，使点到三个村庄、、铺设的输水管总长度最小，输水管总长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，将绕点顺时针旋转得到，得出是等边三角形，进而得出当四点共线时，取得最小值，最小值为的长，过点作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而在中，勾股定理，。即可求解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点共线时，取得最小值，最小值为的长， 如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即的最小值为：， 故答案为： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理与最值（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 【题型1 几何最值(利用垂线段最短求最值)】 1 【题型2 几何最值(利用两点之间线段最短求最值)】 2 【题型3 数形结合求最值】 3 【题型4 化体为面求最值】 4 【题型5 拼接求最值】 5 【题型1 几何最值(利用垂线段最短求最值)】 【例1】（2025·福建厦门·二模）如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（    ）   A．5 B．6 C．8 D．10 【变式1-2】（2025·湖南郴州·二模）如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为 ． 【变式1-3】如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【题型2 几何最值(利用两点之间线段最短求最值)】 【例2】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，在长方形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 ． 【变式2-1】（2025·内蒙古·二模）如图，两条平行线之间的距离为2，线段在上滑动，且，C为上任意一点，则的最小值为 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在长方形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，则的最小值为 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ． 【题型3 数形结合求最值】 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小师想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．则、长分别表示为，．最后利用几何知识可得代数式的最小值为，根据以上材料，可求代数式的最小值为 ． 【变式3-1】请构图求出代数式的最小值为 ． 【变式3-2】（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 ． （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最小值． （3）方法应用：若，求y的最大值． 【变式3-3】（24-25八年级下·广东·期中）在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是 ；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是 ． 【题型4 化体为面求最值】 【例4】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ） A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 【变式4-2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最短为 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【题型5 拼接求最值】 【例5】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 【变式5-1】如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为 ． 【变式5-2】如图，在中，，，，、分别为边、上两个动点．且，连接、，则的最小值是 ． 【变式5-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，若三个村庄、、构成，其中，，．现选取一点打水井，使点到三个村庄、、铺设的输水管总长度最小，输水管总长度的最小值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $