专题07 几何模型：半角模型和十字架模型38种题型全归纳（精选近2年中考真题+模拟）（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题07几何模型：半角模型和十字架模型38种题型全归纳 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一正方形+半角模型+全等+相似+勾股定理 题型二正方形+半角模型+全等 题型三正方形+半角模型+等腰直角三角形+全等 题型四菱形+120°半角（60°半角）模型 题型五等腰直角三角形+半角模型 题型六等腰直角三角形+半角模型+旋转全等 题型七等腰三角形+120°等腰三角形+半角模型 题型八正方形+半角模型+全等+旋转2 题型九正方形+半角模型+反比例函数 题型十正方形+半角模型+动点+定值问题 题型十一正方形+半角模型+旋转全等+线段数量关系 题型十二四边形+半角模型+对角互补 题型十三正方形+半角模型+旋转全等+勾股定理 题型十四正方形+半角模型+三角函数+相似三角形 题型十五正方形+半角模型+相似三角形 题型十六正方形+半角模型+角平分线+全等 题型十七正方形+等腰直角三角形+半角问题综合+旋转全等 题型十八正方形+半角模型+多结论判断 题型十九半角模型综合 题型二十正方形+半角模型+折叠模型+全等三角形 题型二十一矩形+半角模型+勾股定理 题型二十二对角互补四边形+半角模型+线段和差关系 题型二十三四边形+半角模型+几何综合 题型二十四矩形+斜十字架模型+相似+特殊角度 题型二十五正方形+十字架模型+全等+垂直证明 题型二十六正方形+十字架模型+全等+相似+勾股定理 题型二十七正方形+十字架模型+相似+线段比例 题型二十八正方形+斜十字架模型+相似+线段比例 题型二十九多边形+十字架模型+全等/相似+比例计算与证明 题型三十矩形+斜十字架模型+相似+比例证明 题型三十一多边形+十字架模型+相似三角形+比例证明与最值计算 题型三十二多边形+十字架模型+全等/相似三角形 题型三十三正方形+正十字架模型+全等/相似+线段关系与函数表达式 题型三十四矩形+折叠模型+斜十字架模型+相似三角形+比例计算 题型三十五多边形+十字架模型+全等/相似+比例计算与证明 题型三十六正方形+斜十字架模型+全等三角形+角度条件综合 题型三十七多边形+十字架模型+全等/相似三角形+解三角形 题型三十八多边形+折叠模型+斜十字架模型+相似三角形+比例计算 题型一正方形+半角模型+全等+相似+勾股定理 1．（2025·江苏扬州·中考真题）问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析，45；（2）；（3）随点的运动，的度数不变，且为 【分析】（1）连接与格线的交点记为，先确定点为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明为等腰直角三角形，即可求解的度数； （2）延长至点，使得，连接，先证明，则，，那么，可得四边形是矩形，四边形为矩形，求出，由勾股定理得，则，那么，则，即可求解； （3）延长至点，使得，连接，同理，同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形，设正方形的边长为，，则，，由，得到，在中，由勾股定理得，求出，则，再同（2）即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求： 连接与格线的交点记为， 由网格可得，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴为格点，同理为格点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45； （2）延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）随点的运动，的度数不变，且为，理由如下： 延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， 同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵在中，， ∴ ， ∴（舍负）， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 题型二正方形+半角模型+全等 2．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 题型三正方形+半角模型+等腰直角三角形+全等 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，连接，作等腰直角三角形，，连接交于点G，交于点H．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】将绕点D顺时针旋转，得到，连接，证明，得出相等的边和角，利用勾股定理求出，，作于点K，最后利用勾股定理和线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 将绕点D顺时针旋转，得到，连接，则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵由勾股定理得，， ∴， 作于点K，则， ∴， ∴， ∵由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 题型四菱形+120°半角（60°半角）模型 4．（2026福建模拟预测）如图，在菱形中，，．将一块边长足够长的三角板的角顶点与点重合，三角板的外侧边缘分别与，交于点，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，连接，过点作于，由菱形的性质可得，，则与均为等边三角形，证明，得出，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，过点作于， ， ∵ 四边形为菱形，，， ∴，， ∴与均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五等腰直角三角形+半角模型 5．（2025·四川成都·一模）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，设，则，，则，利用等腰直角三角形的性质证明，由相似三角形的性质得出，进一步求出，再证明，由相似三角形的性质进一步即可得出． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴， ∵ ∴， 解得，（舍去） 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六等腰直角三角形+半角模型+旋转全等 6．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】 【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中，，，， ∴①． ∴． 又∵， ∴在中，②． ∵，， ∴③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到． 过点作交边于点，连接．    由旋转的特征得． 由题意得， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 又∵为正方形的对角线， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，    将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则． 则，， ， ， 在和中 ， ， ∴， 过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴， 即， 又∴， ∴， 即， 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．    由旋转的特征得． ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 同理可得． ， ， ， 又∵， ∴四边形为矩形． ， ， 在中，． ， 解得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键． 题型七等腰三角形+120°等腰三角形+半角模型 7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 题型八正方形+半角模型+全等+旋转2 8．（2025·四川绵阳·一模）在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的． 【题根分析】例如：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．解题思路：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点共线，易证之间的数量关系为． 【类比引申】 （1）如图2，中，，点是边上两点，．试猜想之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程） 【联想拓展】 （2）如图3，在中，，点均在边上，且，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理， 对于（1），将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据“边角边”证明，可得，再根据勾股定理得出答案； 对于（2），将绕逆时针旋转得△，由旋转的性质得，，再根据，可得，作，交延长线于点G，可求，再勾股定理得，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：． 将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即； （2）解：将△绕逆时针旋转得△， 则，， 同理（1）得， ∴． 过点F作，交的延长线于点G， 则， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 根据勾股定理，得． 9．（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ； （2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）10；（2）；（3）成立，证明见解析；（4） 【分析】  （1）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． （2）延长到点．使．连接，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （4）在上截取，使，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，可得结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 的周长 ， 故答案为：10； （2）． 证明：如图2所示，延长到点．使．连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）成立． 证明：如图3，延长到，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （4）， 理由如下：在上截取，使， ，， ，且，， ， ，， ∴， ， ，且，， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型九正方形+半角模型+反比例函数 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，反比例函数与边、分别交于M、N，若，，则k值为    【答案】 【分析】由反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点、，证得，即可得，可得，然后作于点，得为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可求得的值，继而可设正方形的边长为，则，则可得到点的坐标，继而求得答案． 【详解】解：∵点、都在反比例函数的图象上， ，即， ∵四边形为正方形， ， ， 在和中， ， ， ， 作于点，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 在 中，， ，即， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设正方形的边长为，则， ∵在中，， ， 解得（舍去）， ， ， ， ∴N点坐标为， 将点代入反比例函数，得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算． 题型十正方形+半角模型+动点+定值问题 11．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 题型十一正方形+半角模型+旋转全等+线段数量关系 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程． 题型十二四边形+半角模型+对角互补 13．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【分析】（1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长； （2）将绕点B逆时针旋转得，连接，先由旋转性质可得：，根据全等三角形的性质可得，，，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再根据平行线的性质可得，进而可证明，再利用勾股定理可求解； （3）先利用正方形的性质，结合，可得同H为中点，是等腰直角三角形，从而可得，再根据中位线定理可得，，从而可说明是等腰直角三角形，再根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，于是就有，进而求得，再证明，列出比例式，求得的值． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至， ∴，，，， ∴，， ∴点M在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴成立； ②∵，，， ， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为； （2），理由如下： 将绕点B逆时针旋转得，连接，如图： 由旋转性质可得：， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）过C作于H，连接，设交于K，如图： ∵四边形是正方形，， ∴H为中点，是等腰直角三角形， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形综合应用，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质． 题型十三正方形+半角模型+旋转全等+勾股定理 14．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 题型十四正方形+半角模型+三角函数+相似三角形 15．（2025·上海·模拟预测）如图，在正方形中，点、分别是边、上的点，且满足（参考材料：．） (1)设，，求证：； (2)连接交于，交于．求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】（1）通过旋转三角形，将分散的线段和角集中，构造全等三角形，再结合三角函数和角公式推导等式． （2）先证明四点共圆得出直角，得到等腰直角三角形，再证明三角形相似，利用相似三角形性质推导线段关系． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转，得到． ∵旋转， ∴，，，． ∵， ∴，即、、三点共线． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵，，， ∴，且，即． 根据，令，，则 ． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）证明：连接， 四边形是正方形， ， ，且， ， 点、、、四点共圆， ． 又， 是等腰直角三角形， ． 同理，． ， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数和角公式，熟练掌握这些知识是解题的关键． 题型十五正方形+半角模型+相似三角形 16．（2025·山东青岛·模拟预测）在正方形中，对角线相交于点O，点H，G为线段上两动点，且保持，延长交于点F，延长交于点E．    (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长到T，使得，连接，可证明，再证明，得到，进而证明，得到；可证明，得到，由此可证明； （2）连接，由勾股定理得到；由全等三角形的性质得到，；设，则，则可推出，求得，，则；可证明四点共圆，进而可证明是等腰直角三角形，得到；由相似三角形的性质得到，则可得到． 【详解】（1）证明：如图所示，延长到T，使得，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解；如图所示，连接，    在中，， ∴； ∵， ∴，； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型十六正方形+半角模型+角平分线+全等 17．（2025·福建南平·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 先由正方形的性质得到，，即可证明，得到，再证明得到，设，求出，，在中根据勾股定理建立方程，求解即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，， 即， 解得， ∴． 故选：D． 题型十七正方形+等腰直角三角形+半角问题综合+旋转全等 18．（2025·福建·模拟预测）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请你补充完整． 原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接则，请说明理由． 思路梳理 （1）， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ， 即点在一条直线上． 根据______，易证______，得． 类比引申 （2）如图，四边形中，，点分别在边上，若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． 联想拓展 （3）如图，在中，，点均在边上，且． ①试猜想线段之间的数量关系，请证明你的猜想； ②直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）①，理由见解析；② 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键： （1）利用旋转的性质，证明，即可； （2）同法（1）进行证明即可； （3）①把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论．②先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图， ，， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图， ， ，点，、共线， 则，， ， 即， 在和中， ， ≌， ； 故答案为：，； （2）当时，，理由如下： 如图， ，， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，， ，， ， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， 即； 故答案为：； （3）①，理由如下： 把旋转到的位置，连接，，如图，则，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ， ②，，， ， ， ∵， 的边上的高为， ． 题型十八正方形+半角模型+多结论判断 19．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在正方形中，是边上的一动点，连接，以点为顶点，为边作，交线段于点，且，连接，分别交，于点，，连接，，有以下结论：①；②；③且；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；①②如图，证明和，③利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断；④如图，将绕点顺时针旋转得到，证明，则，可作判断． 【详解】解：如图1， 四边形是正方形， ， ∵， ∴ ∴，故①正确 ， ， ， ， ， ，故②正确， ， ， 是等腰直角三角形， ∴且；故③正确， 如图2， 将绕点顺时针旋转得到，则，， ， ， 、、三点共线， 在和中， ， ， ，故④正确． 综上所述，其中正确结论的序号是①②③④ 故答案为：①②③④． 题型十九半角模型综合 20．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于G， （1）则 ； （2）若，，则 ． 【答案】 /45度 【分析】（1）根据题意可得点A，B，F，P均在以为直径的圆上，再由圆周角定理，即可求解； （2）连接，过点P分别作于点Q，于点K，可得四边形为矩形，从而得到，证明，可得，从而得到，进而得到，再由均为等腰直角三角形，可得，再由勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理解答即可．． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴点A，B，F，P均在以为直径的圆上， ∴； 故答案为： （2）如图，连接，过点P分别作于点Q，于点K， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 21．（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】 【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到 ． 【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论． 【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题． （1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ （2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________ （3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ 【实践应用】 （4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________ 【答案】（1）①5；②；（2）；（3）①；②；（4） 【分析】（1）①根据旋转得到，，根据勾股定理计算即可； ②同①可得答案； （2）将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交延长线于G，证明，得到，根据三角函数得到，，由勾股定理列出等式计算即可； （3）①将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交于G，证明，得到，根据三角函数得到，，则，由勾股定理列出等式计算即可； ②同①可得答案； （4）作交于M，交于N，交于H，根据三角函数得到，， ，根据等面积法计算即可. 【详解】（1）①∵将绕点逆时针旋转，得到，等腰， ∴，,, ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：5； ②同①可知， 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋，如图，得到，连接，作交延长线于G， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得 ∴ 整理得 故答案为：； （3）①将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交于G， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴ 由勾股定理可得 ∴ 故答案为：； ②同①可得，，，， ∵ ∴ 整理得 故答案为：； （4）如图，作交于M，交于N，交于H， 由（3）可知，， 由题意可知， ∴，， ∴， 解得 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 题型二十正方形+半角模型+折叠模型+全等三角形 22．（2025兰州市三模）问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动． (1)动手实践：如图①，已知正方形纸片，勤奋小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠．使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则___________度． (2)拓展应用：如图②，腾飞小组在图①的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，使得点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边的某一位置时，点N恰好落在折痕上． ①则___________度． ②设与的交点为点P，运用（1）、（2）操作所得结论，求证：． (3)解决问题：在图②中，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3) 【分析】（1）由折叠得到，结合正方形每个内角90°解答； （2）①由折叠 性质得到，设，得到，转化为解一元一次方程，解此方程即可； ②先证明是等腰直角三角形，得到，再证明，最后根据全等三角形的判定方法解答； （3）由得到，设MP=x，由含30°角的直角三角形的性质分别解出NP，NE，ME，AE的长，最后根据勾股定理解答． 【详解】（1）解：折叠 故答案为：； （2）①折叠 设 故答案为：； ②∵四边形是正方形，∴， 由折叠的性质得：． ∴，由操作一得： ∴是等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ 即 ∴ （3）正方形ABCD中，AB=3 设 ， 中， 中， 中， 中， （舍去） ． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠变换、三角形全等的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型二十一矩形+半角模型+勾股定理 23．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 【答案】（1）．（2）．（3），理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的． （1）设，则，延长到点，使，连接，证明，即可解答； （2）延长到点，使，连接，证明，，即可解答； （3）在上截取，连接，同理得，，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）三条线段间的数量关系为：，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二十二对角互补四边形+半角模型+线段和差关系 24．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，，根据勾股定理解出即可； （3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴点，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 题型二十三四边形+半角模型+几何综合 25．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①见解析  ② 【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可； （2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可； （3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可； ②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：过点E作于点K， ∵是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴    ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴    ， 根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 过点M作交于点L， 则，， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ②连接，， ∵，， ∴， 又∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点Q在与线段夹角为的射线上， ∴过点D作于点， 当点Q在时，最小， 这时． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型二十四矩形+斜十字架模型+相似+特殊角度 26．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【答案】(1)这两条路与等长，且它们相互垂直； (2)如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析． 【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解； （）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴这两条路与等长，且它们相互垂直； （2）解：能修建一条这样的直路，理由如下： 由（）得，， ∵米，米， ∴米，米，米， ∴， ∴， ∴， 又∵在中有， ∴， ∴， ∴， 如果另一端点在路段上， 则在中，， ∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时， 设，则在中，有， ∴， ∴， ∵， ∴能修建成这样的一条直路． 题型二十五正方形+十字架模型+全等+垂直证明 27．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图， 正方形 的边长为 分别在 上， 且 与 相交于点 ． 则 的长为（　　） A．1.4 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键；利用正方形的性质及已知可证明，则可得，再利用勾股定理求出，利用面积相等即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故选：B． 题型二十六正方形+十字架模型+全等+相似+勾股定理 28．（2025·四川成都·一模）如图，在正方形中，点为的中点，于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．结合题意得，再证明，由相似三角形性质即可得解． 【详解】解：在正方形中，点为的中点， ， 正方形中，， 又于点， ， ， ， ， ， ， ，， 则． 故答案为：． 题型二十七正方形+十字架模型+相似+线段比例 29．（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，作于点H，交于点G，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 首先利用正方形的性质进行角度转化，得到，再利用相似比求得的长度，即可求得的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型二十八正方形+斜十字架模型+相似+线段比例 30．（2024·甘肃甘南·中考真题）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； (2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)见解析 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到； （2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值． （3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进而可求出，即． 【详解】（1）解：猜想，理由如下： 设与的交点为G， ∵四边形是正方形，， ， ， ， ，， ． 在和中 ， ， ， ； （2）解：∵四边形是矩形， ， ， ∴， ， ∴； （3）解：如图，过点F作， ∴， ， ∴四边形是矩形, ， 又， ， ∴, ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型二十九边形+十字架模型+全等/相似+比例计算与证明 31．（2024·山东泰安·中考真题）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）如图：作于点M，再证可得，再证明四边形是矩形可得即可证明结论； （2）利用平行线分线段比例可得，再说明，进而得到；再由由平行四边形及折叠可得，，则即可证明结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下， 作于点， ， ， ， ， ， ， 又， ． ∴． 是矩形，， 四边形是矩形． ， ． （2）同学们的发现说法正确，理由如下， ， ，， 由折叠知， ， ， ， 由平行四边形及折叠知，， ， ，即点为的一个黄金分割点． 题型三十矩形+斜十字架模型+相似+比例证明 32．（2025·安徽亳州·一模）综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究． 【初步感知】如图1，点是正方形的边上一动点，过点作交于点．求证：； 【类比探究】如图2，点是矩形的边上一动点，连接交对角线于点，若线段是线段和的比例中项，求证：； 【拓展提升】如图3，的对角线相交于点，过点作交边的延长线于点，若，求线段的最小值． 【答案】初步感知：证明见详解；类比探究：证明见详解；拓展提升： 【分析】初步感知：由正方形性质得到，进而得到，再由得到，则，最后由相似三角形的判定定理即可得证； 类比探究：由矩形性质得到，，根据题中条件，结合相似三角形的判定定理得到，再由相似性质得到，在中，，等量代换即可得到，即，从而得证； 拓展提升：先由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，，从而确定求线段的最小值，就是求线段的最小值，由直线外一个定点与直线上一个动点之间的距离，垂线段最短可知，当时，线段有最小值，作出图形，由相似三角形的判定定理得到，列比例式代值计算求出即可得到线段的最小值． 【详解】解：初步感知：如图所示： 在正方形中，， ， ， ， ， ； 类比探究：如图所示： 在矩形中，，， 线段是线段和的比例中项， ， 则， ，， ， ， 在中，， ， 即在中，，则， ； 拓展提升：如图所示： ，， 在中，由勾股定理可得， 在中，对角线相交于点，则，， 点是定点、点是边上的一个动点，且，即求线段的最小值，就是求线段的最小值， 由直线外一个定点与直线上一个动点之间的距离，垂线段最短可知，当时，线段有最小值，如图所示： ，， ， 则， 即， 解得， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形综合，综合性较强，涉及正方形的性质、互余定义、相似三角形的判定与性质、矩形性质、比例中项定义、比例性质、垂直判定、勾股定理、平行四边形性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，熟记特殊平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 题型三十一多边形+十字架模型+相似三角形+比例证明与最值计算 33．（2025·广东广州·模拟预测）（1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由正方形的性质先证，得出，再证，得出，然后由平行线的性质得，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，先证，得出，，再证是等边三角形，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的长为． 【点睛】本题是相似三角形综合题，涉及：相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 题型三十二多边形+十字架模型+全等/相似三角形 34．（2025·四川乐山·二模）在正方形中，边长为3，点、分别是边、上的点，且，连接、． (1)如图1，与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，若点、分别是、的中点，求证：； (3)延长至点，连接，若，试求与的函数关系表达式． 【答案】(1)； (2)详见解析 (3) 【分析】（1）证，得出，，再证即可； （2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出，进一步即可证明结论成立； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，进一步得到即可． 【详解】（1）解：设与交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）连接并延长交于G，连接 ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵正方形的边长为3，， ∴， ∴； ∴， ∵ ∴ （3）过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明和准确计算． 题型三十三正方形+正十字架模型+全等/相似+线段关系与函数表达式 35．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． (2)如图，若为的中点，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，证明四边形为平行四边形，可得，然后求出，证明∽，利用相似三角形的性质解答即可； ②设，则，利用轴对称的性质求出，再在中利用勾股定理解答即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，利用勾股定理求出，可得，再利用直角三角形的性质和轴对称的性质证明即可． 【详解】（1）解：①过点作，交于点，交于点，如图， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，， 垂直平分， ， ． ， ． ， ∽， ， ； ②设，则． 点，关于对称， 垂直平分， ． 点为的中点， ， ， ． 在中， ， ， 解得：． 的长为； （2）过点作于点，如图， 为的中点， ． ， ． 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，． ． ． ． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型三十四矩形+折叠模型+斜十字架模型+相似三角形+比例计算 36．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 题型三十五多边形+十字架模型+全等/相似+比例计算与证明 37．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． (1)求证：； (2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）延长，，相交于点N，证明即可解答； （2）延长至点K，使得，连接，．证明得到，，从而，得到为等腰直角三角形，由得到，从而得到，进而推出，得到．设，，根据平行线分线段成比例得到，即整理，得，从而，，根据三角形的中位线定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到． 【详解】（1）证明：延长，，相交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴ （2）解：，证明如下： 延长至点K，使得，连接，． ∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由（1）有，又， ∴设，， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即 整理，得， ∴，， ∴， ∵在等腰中，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 题型三十六正方形+斜十字架模型+全等三角形+角度条件综合 38．（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及在正方形和菱形背景下利用这些知识解决问题．解题的关键在于利用正方形和菱形的性质找出证明全等三角形所需的条件．在（3）中，构造全等三角形是解题的关键步骤，通过合理的辅助线找到与已知条件相关的全等关系． （1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． （3）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出的长． 【详解】证明：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 题型三十七多边形+十字架模型+全等/相似三角形+解三角形 39．（2025成都市一模）如图，正方形中，点分别在上，G是上一点，连接，与交于点O． (1)当时， ①当点G与点A重合时，如图1，求证：； ②平移图1中线段，使G点与点D重合，F点在延长线上，此时．连接，取中点H，连接，如图2，求证：． (2)如图3，当时，若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质以及，可得，再由角边角的证明方法证明和全等，由此可证； ②作辅助线构造直角三角形，由此可得，再由角边角的证明方法证明和全等，由此可得，再根据边长可得点C为的中点，由中位线的性质可得，由此可证． （2）作辅助线构造平行四边形与，根据勾股定理可求，再由角边角证明和全等，由此可得，，再由边角边的方法证明和全等，再由勾股定理求解的长度，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②证明：在上截取，连接，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点C为的中点， 又∵点H为的中点， ∴， 又， ∴，即． （2）解：过点D作交于点K， 作，交延长线于点M，如图 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 整理可得，解得， ∴， 在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理解三角形，平行四边形的性质，解决本题的关键是作适当的辅助线，构造平行四边形与全等三角形． 题型三十八多边形+折叠模型+斜十字架模型+相似三角形+比例计算 40．（2025·山东·模拟预测）在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． (1)【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，求的长． (2)【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图4，在矩形中，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接交于点O．若，求折叠后重叠部分的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和直角三角形的性质得出相等的角和边，证明， 得出，利用勾股定理求出，最后利用等面积法进行求解即可； （2）过作，同（1）可证，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解； （3），则，利用勾股定理求出的值，求出相关线段的长度，证明，得出，利用勾股定理求出，连接，记，的交点为，先求得，再利用锐角三角函数比求出，求得，最后可求面积． 【详解】（1）解：由对折可得：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∴由等面积法得； （2）解：如图，过作，而四边形是矩形， ， 四边形为平行四边形， ， 由对折可得：， ， 同（1）可得：，， ， ， ，， ， ； （3）解：四边形是矩形， ，，， ， ，， 由折叠可设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ，， 由折叠可得：，， 由 (2) 的结论同理可得：，， ， ， 由勾股定理得， 如图，连接，记，的交点为， ，，， 由勾股定理得， ， 结合折叠可得：， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 折叠后重叠部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． $专题07几何模型：半角模型和十字架模型38种题型全归纳 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一正方形+半角模型+全等+相似+勾股定理 题型二正方形+半角模型+全等 题型三正方形+半角模型+等腰直角三角形+全等 题型四菱形+120°半角（60°半角）模型 题型五等腰直角三角形+半角模型 题型六等腰直角三角形+半角模型+旋转全等 题型七等腰三角形+120°等腰三角形+半角模型 题型八正方形+半角模型+全等+旋转2 题型九正方形+半角模型+反比例函数 题型十正方形+半角模型+动点+定值问题 题型十一正方形+半角模型+旋转全等+线段数量关系 题型十二四边形+半角模型+对角互补 题型十三正方形+半角模型+旋转全等+勾股定理 题型十四正方形+半角模型+三角函数+相似三角形 题型十五正方形+半角模型+相似三角形 题型十六正方形+半角模型+角平分线+全等 题型十七正方形+等腰直角三角形+半角问题综合+旋转全等 题型十八正方形+半角模型+多结论判断 题型十九半角模型综合 题型二十正方形+半角模型+折叠模型+全等三角形 题型二十一矩形+半角模型+勾股定理 题型二十二对角互补四边形+半角模型+线段和差关系 题型二十三四边形+半角模型+几何综合 题型二十四矩形+斜十字架模型+相似+特殊角度 题型二十五正方形+十字架模型+全等+垂直证明 题型二十六正方形+十字架模型+全等+相似+勾股定理 题型二十七正方形+十字架模型+相似+线段比例 题型二十八正方形+斜十字架模型+相似+线段比例 题型二十九多边形+十字架模型+全等/相似+比例计算与证明 题型三十矩形+斜十字架模型+相似+比例证明 题型三十一多边形+十字架模型+相似三角形+比例证明与最值计算 题型三十二多边形+十字架模型+全等/相似三角形 题型三十三正方形+正十字架模型+全等/相似+线段关系与函数表达式 题型三十四矩形+折叠模型+斜十字架模型+相似三角形+比例计算 题型三十五多边形+十字架模型+全等/相似+比例计算与证明 题型三十六正方形+斜十字架模型+全等三角形+角度条件综合 题型三十七多边形+十字架模型+全等/相似三角形+解三角形 题型三十八多边形+折叠模型+斜十字架模型+相似三角形+比例计算 题型一正方形+半角模型+全等+相似+勾股定理 1．（2025·江苏扬州·中考真题）问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 题型二正方形+半角模型+全等 2．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 题型三正方形+半角模型+等腰直角三角形+全等 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，连接，作等腰直角三角形，，连接交于点G，交于点H．若，则的长为 ． 题型四菱形+120°半角（60°半角）模型 4．（2026福建模拟预测）如图，在菱形中，，．将一块边长足够长的三角板的角顶点与点重合，三角板的外侧边缘分别与，交于点，，则四边形的面积是 ． 题型五等腰直角三角形+半角模型 5．（2025·四川成都·一模）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则 ． 题型六等腰直角三角形+半角模型+旋转全等 6．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，，∴___①___． ∴．又∵，∴在中，___②___． ∵，，   ∴___③___． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．      题型七等腰三角形+120°等腰三角形+半角模型 7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 题型八正方形+半角模型+全等+旋转2 8．（2025·四川绵阳·一模）在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的． 【题根分析】例如：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．解题思路：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点共线，易证之间的数量关系为． 【类比引申】 （1）如图2，中，，点是边上两点，．试猜想之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程） 【联想拓展】（2）如图3，在中，，点均在边上，且，若，求的长． 9．（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ； （2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系． 题型九正方形+半角模型+反比例函数 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，反比例函数与边、分别交于M、N，若，，则k值为    题型十正方形+半角模型+动点+定值问题 11．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 题型十一正方形+半角模型+旋转全等+线段数量关系 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ． 题型十二四边形+半角模型+对角互补 13．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 题型十三正方形+半角模型+旋转全等+勾股定理 14．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 题型十四正方形+半角模型+三角函数+相似三角形 15．（2025·上海·模拟预测）如图，在正方形中，点、分别是边、上的点，且满足（参考材料：．） (1)设，，求证：； (2)连接交于，交于．求证：． 题型十五正方形+半角模型+相似三角形 16．（2025·山东青岛·模拟预测）在正方形中，对角线相交于点O，点H，G为线段上两动点，且保持，延长交于点F，延长交于点E．    (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 题型十六正方形+半角模型+角平分线+全等 17．（2025·福建南平·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 题型十七正方形+等腰直角三角形+半角问题综合+旋转全等 18．（2025·福建·模拟预测）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请你补充完整． 原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接则，请说明理由． 思路梳理 （1）， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ， 即点在一条直线上． 根据______，易证______，得． 类比引申 （2）如图，四边形中，，点分别在边上，若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． 联想拓展 （3）如图，在中，，点均在边上，且． ①试猜想线段之间的数量关系，请证明你的猜想； ②直接写出的面积． 题型十八正方形+半角模型+多结论判断 19．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在正方形中，是边上的一动点，连接，以点为顶点，为边作，交线段于点，且，连接，分别交，于点，，连接，，有以下结论：①；②；③且；④．其中正确结论的序号是 ． 题型十九半角模型综合 20．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于G， （1）则 ； （2）若，，则 ． 21．（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】 【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到 ． 【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论． 【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题． （1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ （2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________ （3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ 【实践应用】 （4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________ 题型二十正方形+半角模型+折叠模型+全等三角形 22．（2025兰州市三模）问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动． (1)动手实践：如图①，已知正方形纸片，勤奋小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠．使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则___________度． (2)拓展应用：如图②，腾飞小组在图①的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，使得点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边的某一位置时，点N恰好落在折痕上． ①则___________度． ②设与的交点为点P，运用（1）、（2）操作所得结论，求证：． (3)解决问题：在图②中，若，请直接写出线段的长． 题型二十一矩形+半角模型+勾股定理 23．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 题型二十二对角互补四边形+半角模型+线段和差关系 24．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 题型二十三四边形+半角模型+几何综合 25．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 题型二十四矩形+斜十字架模型+相似+特殊角度 26．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 题型二十五正方形+十字架模型+全等+垂直证明 27．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图， 正方形 的边长为 分别在 上， 且 与 相交于点 ． 则 的长为（　　） A．1.4 B．2.4 C．2.5 D．3 题型二十六正方形+十字架模型+全等+相似+勾股定理 28．（2025·四川成都·一模）如图，在正方形中，点为的中点，于点，则的值为 ． 题型二十七正方形+十字架模型+相似+线段比例 29．（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，作于点H，交于点G，若，，则的长为 ． 题型二十八正方形+斜十字架模型+相似+线段比例 30．（2024·甘肃甘南·中考真题）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； (2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 题型二十九边形+十字架模型+全等/相似+比例计算与证明 31．（2024·山东泰安·中考真题）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 题型三十矩形+斜十字架模型+相似+比例证明 32．（2025·安徽亳州·一模）综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究． 【初步感知】如图1，点是正方形的边上一动点，过点作交于点．求证：； 【类比探究】如图2，点是矩形的边上一动点，连接交对角线于点，若线段是线段和的比例中项，求证：； 【拓展提升】如图3，的对角线相交于点，过点作交边的延长线于点，若，求线段的最小值． 题型三十一多边形+十字架模型+相似三角形+比例证明与最值计算 33．（2025·广东广州·模拟预测）（1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 题型三十二多边形+十字架模型+全等/相似三角形 34．（2025·四川乐山·二模）在正方形中，边长为3，点、分别是边、上的点，且，连接、． (1)如图1，与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，若点、分别是、的中点，求证：； (3)延长至点，连接，若，试求与的函数关系表达式． 题型三十三正方形+正十字架模型+全等/相似+线段关系与函数表达式 35．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． (2)如图，若为的中点，，求的值． 题型三十四矩形+折叠模型+斜十字架模型+相似三角形+比例计算 36．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 题型三十五多边形+十字架模型+全等/相似+比例计算与证明 37．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． (1)求证：； (2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 题型三十六正方形+斜十字架模型+全等三角形+角度条件综合 38．（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 题型三十七多边形+十字架模型+全等/相似三角形+解三角形 39．（2025成都市一模）如图，正方形中，点分别在上，G是上一点，连接，与交于点O． (1)当时， ①当点G与点A重合时，如图1，求证：； ②平移图1中线段，使G点与点D重合，F点在延长线上，此时．连接，取中点H，连接，如图2，求证：． (2)如图3，当时，若，求的长． 题型三十八多边形+折叠模型+斜十字架模型+相似三角形+比例计算 40．（2025·山东·模拟预测）在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． (1)【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，求的长． (2)【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图4，在矩形中，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接交于点O．若，求折叠后重叠部分的面积． $