精品解析：广西崇左市2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则的最小值为（ ） A. 36 B. 12 C. 9 D. 18 4. “”是“不等式对恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，一个扇形纸片的圆心角为，，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心与弧的中点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 若函数为偶函数，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 8. 某生物实验室需制备无血清培养液，要求成品中杂质含量不超过．现有一批培养液，初始杂质含量为．已知每通过超滤膜过滤一次，杂质含量可减少至过滤前的．要使该批培养液达到实验要求，则至少需要过滤的次数为（记，）（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的图象经过第三象限 10. 已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递增区间为 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若，则为定值 D. 若是三条边的边长，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的元素个数为______，子集个数为______． 13. 为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 14. 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若角的终边经过点，求； （2）计算：. 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知函数. （1）设的图象恒过点，求点的坐标； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若的定义域为，求，的值. （2）当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若在上单调，求的最小值. 19. 已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点． （1）求的长度及的值； （2）设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围； （3）若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定得出选项. 【详解】“”的否定为. 故选：B. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性，结合零点存在定理即可得解. 【详解】因为在上单调递增， 所以在上单调递增，则至多有一个零点， 又，， 所以在上有且只有一个零点， 即的零点所在的区间为. 故选：C. 3. 若，且，则的最小值为（ ） A. 36 B. 12 C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】直接使用基本不等式即可得解. 【详解】因为，且，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为18. 故选：D 4. “”是“不等式对恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二次不等式恒成立求得等价条件，再利用集合与充要条件的关系即可得解. 【详解】对于“不等式对恒成立”， 有，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“不等式对恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 如图，一个扇形纸片的圆心角为，，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心与弧的中点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知为半径，求解扇形面积再减去的面积即可. 【详解】由题意知圆心与弧的中点恰好重合，则和互相垂直平分， 由，且 即知为等腰直角三角形，故四边形是正方形， 因为半径，， 所以. 阴影部分的面积为扇形面积减去的面积， 即， 故选：B. 6. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，然后弦化切即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 7. 若函数为偶函数，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，然后根据奇偶性列方程即可得解. 【详解】， 因为为偶函数，所以，即， 当时，A正确，经检验BCD都不满足. 故选：A. 8. 某生物实验室需制备无血清培养液，要求成品中杂质含量不超过．现有一批培养液，初始杂质含量为．已知每通过超滤膜过滤一次，杂质含量可减少至过滤前的．要使该批培养液达到实验要求，则至少需要过滤的次数为（记，）（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】依题意列出不等式，再由对数运算法则计算，解不等式可得结果. 【详解】设过滤次后杂质含量为， 初始杂质含量为，每次过滤后杂质含量变为过滤前的， ，要求， 列不等式：变形得： 两边取对数： ， ， 代入不等式：，化简得：为整数，故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的图象经过第三象限 【答案】AB 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，可得到关于的方程，进而求得的值，再根据的值逐一分析选项. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得，所以选项A正确，选项B正确； 由，得，所以选项C错误； 又，所以其图象不经过第三象限，所以选项D错误. 故选：AB 10. 已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递增区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像求出，结合余弦函数的图像与性质依次判断选项即可. 【详解】由图可得，由，得． 由，得， 因为，所以，A正确． 由A的分析可得， 令，得， 所以图象的对称轴方程为，C错误． ，B正确． 令，得， 所以的单调递增区间为，D正确． 故选：ABD 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若，则为定值 D. 若是三条边的边长，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数定义可判断A；根据奇偶性和复合函数单调性判断的单调性，结合对称性和可判断B；利用对称性可判断C；先判断的单调性，然后结合三角形构成条件即可判断D. 【详解】对A，因为恒成立， 所以的定义域为， 又，所以， 所以 ， 所以是奇函数，正确； 对B，因为是奇函数，所以， 所以， 因为在上单调递增，且恒成立， 所以由复合函数单调性可知在上单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 由平移变换可知在上单调递增， 因为当时，恒成立，所以，所以， 所以恒成立，错误； 对C，由可知，当时，， 所以，正确； 对D，因为在上单调递增，且为增函数， 所以在上单调递增， 若是三条边的边长，则，所以，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的元素个数为______，子集个数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用自然数的概念及集合中满足的条件，确定集合中的元素，再利用集合的子集个数计算公式即可求解. 【详解】，为自然数，故当时满足条件， 故集合的元素个数为， 子集个数为. 故答案为：①；② 13. 为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 【答案】 【解析】 【分析】算出年度碳排放量，然后结合收费标准计算即可. 【详解】由题知，该数据中心年度碳排放量为， 因为， 所以该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为元. 故答案为： 14. 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性性质可知在内单调递减，结合题意可知函数在上是单调递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递减，且在内单调递增， 可知在内单调递减， 又因为在定义域内单调递增，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 可知在内单调递减， 由题意可知：函数在上是单调递减， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若角的终边经过点，求； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正切函数的定义及终边上的点求得，再由诱导公式求函数值； （2）应用指数幂和对数的运算性质化简求值即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）由 . 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据角的象限，利用同角三角函数的平方关系直接计算可得； （2）利用两角差的余弦公式直接计算即可； （3）利用二倍角公式展开，然后将代入的值即可得解. 【小问1详解】 因为，且， 所以， . 【小问2详解】 由（1）可得. 【小问3详解】 由（1）可得： . 17. 已知函数. （1）设的图象恒过点，求点的坐标； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数是奇函数，理由： 由题意得函数的定义域为， 且， 因为，即， 所以函数是奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由，代入计算即可求解. （2）根据奇函数定义判定即可； （3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解， 【小问1详解】 令，则，可得， 故函数的图象恒过点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，函数， 不等式在上恒成立， 即当时，， 因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 当时，函数有最大值，即， 所以的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若的定义域为，求，的值. （2）当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若在上单调，求的最小值. 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 由，得. 假设存在，使得在内存在最大值，且最大值大于1， 则在内存在最大值，且最大值大于， 则，即，此不等式组无解， 则假设不成立，故不存在，使得在内存在最大值，且最大值大于1. （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为0，3是关于的方程的两个实数根即可； （2）将问题转化为在内存在最大值，且最大值大于，利用一元二次函数的性质求解； （3）按照在上单调性进行分类，求出关于的不等式即可求出最值 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以关于的不等式的解集为， 则0，3是关于的方程的两个实数根， 则，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若在上单调递增，在上单调递增， 则在上单调递增，且在上恒成立， 则，得， 则，当且仅当，时，等号成立. 若在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，且在上恒成立， 则，得， 则， 当且仅当，时，等号成立. 因为，所以的最小值为. 19. 已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点． （1）求的长度及的值； （2）设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围； （3）若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）代入点坐标求出解析式，然后可得的坐标，即可得解； （2）转化为在区间上的最小值大于在上恒成立，然后利用平方关系转化为在上恒成立，解不等式即可； （3）令，然后解方程，然后直接求出相应，结合题意即可得解. 【小问1详解】 将点坐标代入函数解析式可得：，即， 又，所以，所以， 易知，函数的最大值为3，最小值为，周期为， 记，则，所以. 令得， 所以或，即或， 由图可知，，所以 【小问2详解】 对任意的，任意的，恒成立， 等价于在区间上的最小值大于在上恒成立. 由（1）可知，，当时，， 所以，所以，即， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 由余弦函数性质可知，. 【小问3详解】 ， 令，则， 解得或，即或， 即或（舍去），所以， 所以或或或， 即或或或， 则方程的非负实数根由小到大为， 因为方程在上恰有3个不相等的解， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $