拓展专题1.1 用转化思想求多边形的角度问题（2知识点+7考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题1.1 用转化思想求多边形的角度问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：转化思想概念 转化思想可以把不可解的问题转化为已学知识范围内可解的问题，通过转化可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单甚至模式化的问题。转化思想在本章的应用主要体现在多边形的多角和问题，常通过连接两项点或对角线将复杂图形问题转化为三角形、四边形或其他多边形问题来解决。 知识点2：常用到的两个基本图形公式 (1) 基本图形①公式：； (2) 基本图形②“8字形”公式：。 类型1 直接利用三角形外角性质进行转化 1．某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是 度． 【答案】36 【分析】根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案． 【详解】∵正五角星（是正五边形的五个顶点） ∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且 ∴正五边形内角和为： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：36． 【点睛】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 2．如图所示，求图中的度数之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，多边形内角和．熟练掌握三角形外角的性质，多边形内角和是解题的关键． 如图，由题意知，①，②，③，得， ，整理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，①， ②， ③， 得， ， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，求的度数是 ．    【答案】/540度 【分析】本题考查了多边形内角与外角，根据三角形的内角和定理把求角的和的问题转化为求多边形的内角和的问题．连接，则，则图中所求的几个角的和是五边形的内角和． 【详解】解：连接．    在与中，， ， 在五边形中 ． 故答案为：． 4．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为 ． 【答案】540° 【分析】由图知∠A＋∠B＋∠C＋∠1＝360°，∠2＋∠3＋∠F＋∠G＝360°，根据∠3＝∠D＋∠E，∠1＋∠2＝180°可得∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝720°，即可得出答案． 【详解】解：如图， 四边形ABCN中，∠A＋∠B＋∠C＋∠1＝360°， 四边形MNGF中，∠2＋∠3＋∠F＋∠G＝360°， ∵∠3＝∠D＋∠E，∠1＋∠2＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝720°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°． 故答案是：540°． 【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握四边形的内角和与三角形的外角的性质． 类型2 直接利用“8字形”公式进行转化 5．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 6．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 7．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 8．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）2∠E＝∠A+∠C，理由见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理：，结合对顶角相等可得结论． （2）利用（1）中结论，设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y，可得∠A+x=∠E+y，∠C+y=∠E+x，两式相加可得结论． 【详解】解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）结论：2∠E＝∠A+∠C． 理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E， ∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y， ∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x， ∴∠A+∠C＝∠E+∠E， ∴2∠E＝∠A+∠C ． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 9．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 【答案】900° 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 【详解】解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°， 故答案为：900°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 【答案】1080° 【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 【详解】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 3．如图所示，求的度数. 【答案】. 【分析】首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解． 【详解】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F， 又∵∠1+∠2+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解定理是关键． 4．如图，求的度数. 【答案】. 【分析】根据三角形的内角和定理即可求解 【详解】解：连结， BC与DE相交成对顶三角形， ， 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键 5．如图，在直角中，是的平分线，,的延长线与的平分线交于点，求的度数. 【答案】 【分析】设，则，，，根据三角形ABO与三角形DFO的内角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案. 【详解】解：设，则， 在直角中，， ∵是的平分线， ∴， 在直角中，. ∵, 又∵， ∴， 即， ∴. 【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键. 6．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可． 【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°， ∴∠2+∠3=120°， 即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°， ∵∠B+∠C=120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起． 7．如图，求的度数. 【答案】. 【分析】连接CD，将转化为四边形CDEF的内角和即可求出答案. 【详解】解：如图所示，连接CD. 由对顶三角形得，， ∴. 【点睛】本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是解题的关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题1.1 用转化思想求多边形的角度问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：转化思想概念 转化思想可以把不可解的问题转化为已学知识范围内可解的问题，通过转化可以把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单甚至模式化的问题。转化思想在本章的应用主要体现在多边形的多角和问题，常通过连接两项点或对角线将复杂图形问题转化为三角形、四边形或其他多边形问题来解决。 知识点2：常用到的两个基本图形公式 (1) 基本图形①公式：； (2) 基本图形②“8字形”公式：。 类型1 直接利用三角形外角性质进行转化 1．某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是 度． 2．如图所示，求图中的度数之和为 ． 3．如图所示，求的度数是 ．    4．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为 ． 类型2 直接利用“8字形”公式进行转化 5．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 7．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 8．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 9．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 3．如图所示，求的度数. 4．如图，求的度数. 5．如图，在直角中，是的平分线，,的延长线与的平分线交于点，求的度数. 6．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 7．如图，求的度数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $