专题02 三角形中的特殊模型之风筝模型与翻角模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理三角形倒角模型知识体系，将“8”字模型、“A”字模型及三角板模型按“模型来源-条件结论-证明过程”分层呈现，用对比表格归纳基础型与拓展型（如加角平分线）的差异，清晰展现内角和定理、外角定理等核心知识点的内在联系。 讲义亮点在于“真题-模型-应用”的递进式练习设计，如结合2025年福建中考三角板摆放题、河南期末“8字模型”角平分线拓展题，引导学生从图形特征抽象模型，培养推理意识与几何直观。基础题巩固模型结论，综合题（如五角星角度求和）提升迁移能力，助力分层教学，为教师精准复习提供实用资源。

专题02.三角形中的倒角模型之风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.鹰爪（风筝）模型 4 模型2.翻角模型 7 11 ‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．则的度数为 　　； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）； 【详解】解：（1），理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置，． ，，， 即；故答案为：； （2），理由如下：设与交于点，如图②， ，，，； （3） 延长交的延长线于，由（2）中结论可知，如图③， （4） ，．，．故答案为：； （24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动，①当时，则　 ；②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【详解】解：（1）①如图1中，连接．，， ， ，，．故答案为：； ②由①可知，，故答案为：． （2）结论：．理由：如图2中， ，，． （3）结论：．理由： 如图3中，当在 内部时，，， ，． 当在四边形内部时，． 图1 图2 图3 图4 1）鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 模型1.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·江苏常州·期末）画，在的两边上分别取点、，是平面内一点（点不在直线、、上），连接、．分别记、、为、、（本题中涉及的所有角均不超过）(1)若点在图1所示位置，则______（用含、、的代数式表示）； (2)若点在图2所示位置，则与、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解∶连接，则，， ∴， ∴，即， ∴，故答案为：； （2）解：连接，则，， ∴， ∴，即， ∴∴； 例2（24-25浙江·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．     (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）猜想：，理由如下： ∵，，∴， （2）∵，，， ∴， ∵、分别平分与，∴，， ∴，∴， （3）、与的数量关系为：，理由如下： ∵、分别是四边形外角、的角平分线， ∴，， 由(1)可知:，， ∴，∴，故答案为：． 例3（24-25八年级上·重庆·期末）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则 ；②，，之间的数量关系为： ． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【详解】解：（1）①如图1中，连接．，， ， ，，．故答案为：； ②由①可知，，故答案为：． （2）结论：． 理由：如图2中，，，． （3）结论：． 理由：如图3中，当在 内部时，，， ，． 当在四边形内部时，同理得：． 模型2.翻角模型 例1（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： ∵沿折叠后，点的对应点为，∴，，， 在中，，在中，， ∴，即，故选：B． 例2（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠可得，，∴， ∴，∴，故选 ：．    例3（24-25江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      【答案】（1），（2）；（3）；（4）位置不改变，． 【详解】（1）结论： 理由：连接，         沿折叠A和重合，∴∵， ∴． （2） 理由：连接， 沿折叠A和重合，∴ ∵， ∴； （3）如图，延长，交于点Q，延长，交于点，则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ∴，∴，∵，∴； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ∴，，    由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即∴， ∴， ∴，∴，∴． 1．（24-25·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【详解】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴故选C 2．（24-25·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将沿直线m翻折，交于点E、F，如图所示： 由折叠的性质可知：，根据外角的性质可知：，， ，，故选：C． 3．（24-25·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】．根据折叠的性质，得到，， 因为，所以， 因为，所以．故选C． 4．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：由折叠得，， 又∵，， ∴，∴．故选：A． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，将三角形纸片沿直线折叠，使点落在四边形的内部的处，若，，则 ． 【答案】/度 【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得． 又，，，故答案为：． 6．（25-26·四川达州·八年级校考期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，故①正确，②不正确； ∵多边形的外角和是，∴，故③④不正确，故答案为：①． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图：点，分别是的、边上的点，将纸片沿折叠使点落在点处，①若，，则的度数为 ． ②若，始终保持在，边上时（不和点重合），，，且为锐角，当点落在内部时，则 ．（用含有，的代数式表示）    【答案】 ； ． 【详解】①由折叠性质可得： ；； ②当点落在内部时，由折叠性质可得：    ． 8.（24-25八年级上·山东威海·期末）在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下；由题意知，， ∵，∴； （2）解：，理由如下；如图②，记的交点为， 由题意知，，∵， ∴，即； （3）解：如图备用图，由题意知，， ∴，故答案为：． 9.（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）中，，点D和点E分别是边和上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则________；若点P在线段上运动，如图（2）所示，则之间的关系是________________．(2)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．若点P运动到外，如图（4）所示，则的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)； (2)，理由见解析；不成立， 【详解】（1）解：∵，， ∴．∵，，∴； ∵，∴；故答案为：，； （2）解：，理由如下，如图，设交于点F， ∵，，∴；不成立，如图，设交于点G， ∵，，， ∴， ∴． 10．（24-25·福建泉州·七年级下校联考期中）中，，点、分别是边、上的两个定点，点是平面内一动点，令，，． 初探：(1)如图，若点在线段上运动， ①当时，则______ ；②、、之间的关系为：______ ． (2)再探：若点运动到边的延长线上，如图，则、、之间有何关系？并说明理由． (3)拓展：请你试着给出一个点的其他位置，在图中补全图形，写出此时、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)．理由见解析(3)．理由见解析 【解析】(1)①如图1中，连接PC．∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α， ∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°． ②由①可知，∠1+∠2＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，故答案为130，70°+∠α． (2)结论：∠1＝70°+∠2+∠α． 理由：如图2中，∵∠1＝∠C+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，∴∠1＝70°+∠2+∠α． (3)结论：∠1+∠2＝430°﹣∠α．理由：如图3中， ∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α， ∴∠1+∠2＝430°﹣∠α． 11．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？小红利用类比思想开始了探究． 尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？ 解：数量关系：． 理由：∵与分别为的两个外角， ∴．∴． ∵三角形的内角和为，∴． ∴． 小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题． (1)初步应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则=______； (2)拓展提升：请聪明的你帮小红解决下列问题．如图3，在中，分别平分外角，小红很容易推导出与的数量关系为． 如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得：在纸片中剪去， ∵，，∴，故答案为：； （2）解：数量关系为：，理由如下：如图，延长线段、线段交于点， ， ∵通过图3可知，∴，即， ∵，又∵， ∴，∴． 12．（24-25·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，中，，，．点是边上的定点，点在边上运动，沿折叠，折叠后点落在点处．下面我们来研究折叠后的有一边与原三角形的一边平行时的值．    (1)首先我们来研究边．因为和的、相交，所以只有一种可能的情况（如图2），，此时 ． (2)其次，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时（如下图），则 ．           当时（如下图），则 ． (3)最后，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时， ．当时， ． 【答案】(1)(2)或；(3)或； 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，故答案为：； （2）解：当（1）时（如图3），      ∵，，∴， ∴； 当（2）时，∵， ∴，故答案为：或； 当时，，故答案为：； （3）解：当时，或，故答案为：或； 当时，，故答案为：． 13．（24-25·河南南阳·七年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．求证：． 小丽的证法 小红的证法 证明： 如图2，连接并延长至点M， ， （    依据    ）， 又∵， ， ∴． 证明： ∵， （量角器测量所得）， ∴， （计算所得）． ∴（等量代换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________； (2)下列说法正确的是____________． A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理 B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理 D．小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理 (3)如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系． 【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 (2)A(3)不成立， 【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确； （3）不成立， 是的一个外角，， 为的一个外角，， （或）． 14．（24-25·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 【答案】（1），（2），（3） 【详解】解：（1）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，，， ∴，整理得，， ∵，，∴，即； （2）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即；故答案为：； （3）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即． 15.（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）中，，点D、E分别是边，上的点，点P是一动点．令，，．    (1)若点P在线段上，如图①所示，且，则________； (2)若点P在斜边AB上运动，如图②所示，则，，之间有何关系？猜想并说明理由； (3)若点P在斜边BA的延长线上运动，如图3所示，则，，之间有何关系，并说明理由； (4)若点P运动到形外（只需研究④情形），请直接写出，，之间的关系． 【答案】(1)(2)，理由见解析 (3)或或．(4) 【详解】（1）如图，连接，，， ，       ，，，故答案为：； （2）连接，，， ， ，，；故答案为：； （3）如图1，，； 如图2，，；如图3，，．       故答案为：；；． （4）如图所示，，， ，．故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【答案】【理解】（）或；（）；（）或； 【拓展】或． 【详解】【理解】（）根据“好友角”定义可得： 的“好友角”的度数为或，故答案为：或； （）∵和互为“好友角”，，∴，∵和互补，∴， 联立，解得，故答案为：； （）如图，连接， ∵，，∴，∴由折叠性质可知， ∵，， ∴，即， ∵和互为“好友角”，∴或， ∴或； 【拓展】∵平分，，∴，， ∵，，∴， ∵与互为“好友角”，∴或， 则或，∵，∴或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.三角形中的倒角模型之风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.鹰爪（风筝）模型 4 模型2.翻角模型 7 11 ‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．则的度数为 　　； （24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动，①当时，则　 ；②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 图1 图2 图3 图4 1）鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 模型1.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·江苏常州·期末）画，在的两边上分别取点、，是平面内一点（点不在直线、、上），连接、．分别记、、为、、（本题中涉及的所有角均不超过）(1)若点在图1所示位置，则______（用含、、的代数式表示）； (2)若点在图2所示位置，则与、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； 例2（24-25浙江·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．     (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 例3（24-25八年级上·重庆·期末）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则 ；②，，之间的数量关系为： ． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 模型2.翻角模型 例1（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（   ）    A． B． C． D． 例3（24-25江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      1．（24-25·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 2．（24-25·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，将三角形纸片沿直线折叠，使点落在四边形的内部的处，若，，则 ． 6．（25-26·四川达州·八年级校考期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图：点，分别是的、边上的点，将纸片沿折叠使点落在点处，①若，，则的度数为 ． ②若，始终保持在，边上时（不和点重合），，，且为锐角，当点落在内部时，则 ．（用含有，的代数式表示）    8.（24-25八年级上·山东威海·期末）在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 9.（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）中，，点D和点E分别是边和上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则________；若点P在线段上运动，如图（2）所示，则之间的关系是________________．(2)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．若点P运动到外，如图（4）所示，则的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的关系式． 10．（24-25·福建泉州·七年级下校联考期中）中，，点、分别是边、上的两个定点，点是平面内一动点，令，，． 初探：(1)如图，若点在线段上运动， ①当时，则______ ；②、、之间的关系为：______ ． (2)再探：若点运动到边的延长线上，如图，则、、之间有何关系？并说明理由． (3)拓展：请你试着给出一个点的其他位置，在图中补全图形，写出此时、、之间的关系，并说明理由． 11．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？小红利用类比思想开始了探究． 尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？ 解：数量关系：． 理由：∵与分别为的两个外角， ∴．∴． ∵三角形的内角和为，∴． ∴． 小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题． (1)初步应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则=______； (2)拓展提升：请聪明的你帮小红解决下列问题．如图3，在中，分别平分外角，小红很容易推导出与的数量关系为． 如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．) 12．（24-25·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，中，，，．点是边上的定点，点在边上运动，沿折叠，折叠后点落在点处．下面我们来研究折叠后的有一边与原三角形的一边平行时的值．    (1)首先我们来研究边．因为和的、相交，所以只有一种可能的情况（如图2），，此时 ． (2)其次，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时（如下图），则 ．           当时（如下图），则 ． (3)最后，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时， ．当时， ． 13．（24-25·河南南阳·七年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．求证：． 小丽的证法 小红的证法 证明： 如图2，连接并延长至点M， ， （    依据    ）， 又∵， ， ∴． 证明： ∵， （量角器测量所得）， ∴， （计算所得）． ∴（等量代换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________； (2)下列说法正确的是____________． A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理 B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理 D．小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理 (3)如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系． 14．（24-25·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 15.（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）中，，点D、E分别是边，上的点，点P是一动点．令，，．    (1)若点P在线段上，如图①所示，且，则________； (2)若点P在斜边AB上运动，如图②所示，则，，之间有何关系？猜想并说明理由； (3)若点P在斜边BA的延长线上运动，如图3所示，则，，之间有何关系，并说明理由； (4)若点P运动到形外（只需研究④情形），请直接写出，，之间的关系． 16．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $